第八章 阻抗和导纳

第八章阻抗和导纳第1页，共118页，2023年，2月20日，星期三第八章阻抗和导纳第2页，共118页，2023年，2月20日，星期三

第三篇转入动态电路的变换（域）分析，这类方法题材广泛，内容丰富。本书只涉及其中的相量分析法和复频域（s）分析法、在“信号与系统”和其他有关课程中将会学到更多的变换方法。

引入“变换”思路，并体会到它带来的巨大好处是本篇的主旨。从第八章至第十一章为正弦稳态的相量分析法。在第六章中，我们曾求解过简单电路的正弦稳态问题，当时是用待定系数法求解电路微分方程的特解得出答案的，即便电路很简单，也感到很麻烦。当我们把时间t的正弦函数变换为相应的复数（相量）后，解微分方程特解的问题就可以简化为解代数方程的问题，且可进一步设法运用电阻电路的分析方法来处理正弦稳态分析问题，这就需要引入阻抗和导纳这两个相量分析中的重要参数，本章将说明这些问题。第3页，共118页，2023年，2月20日，星期三教学内容§8-1变换方法的概念§8-2复数§8-3振幅相量§8-4相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式§8-5三种基本电路元件VCR的相量形式§8-6VCR相量形式的统一—阻抗和导纳的引入§8-7正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比—相量模型的引入第4页，共118页，2023年，2月20日，星期三§8-8正弦稳态混联电路的分析§8-9相量模型的网孔分析和节点分析§8-10相量模型的等效§8-11有效值有效值相量§8-12两类特殊问题相量图法第5页，共118页，2023年，2月20日，星期三本章基本内容1、正弦量、相量和有效值的基本概念2、电路定律的相量形式3、阻抗和导纳的概念4、正弦稳态电路的计算第6页，共118页，2023年，2月20日，星期三教学目的1、深刻理解正弦量、相量和有效值的概念；2、熟练掌握R，L，C元件伏安关系的相量形式；3、深刻理解阻抗与导纳的概念和性质;4、熟练掌握正弦稳态电路的计算方法；5、会借助相量图计算正弦稳态电路的响应。第7页，共118页，2023年，2月20日，星期三§8－1变换方法的概念变换方法的基本思路如图8-1所示，均可分为三个步骤：原来的问题变换域中较易的问题变换原来问题的解答变换域中问题的解答反变换求解直接求解图8-1变换方法的思路1.把原来的问题变换为一个较容易处理的问题。2.在变换域中求解问题。3.把变换域中求得的解答反变换为原来问题的解答。第8页，共118页，2023年，2月20日，星期三原来运用变换思路来求解问题的例子。例如，求解满足方程式的实数x问题。直接求解是很困难的，如果对（8-1）式的两端取对数后再做，求解就很容易。取对数后，得因此解得借助对数表就能顺利地进行解算。上述计算过程大家并不陌生。实际上，它就是一种变换方法，对照图8-1，这一计算过程可表如图8-2所示。第9页，共118页，2023年，2月20日，星期三x2.35=5（8-2）式取对数（变换）x=1.983（8-3）式求反对数（反变换）求解？第10页，共118页，2023年，2月20日，星期三（8-2）式可看作是（8-1）式的变换，变换不仅改变了数值（lg5当然与5不同）还改变了数值间的运算方式。（8-1）式左端的指数运算变换成（8-2）式左端的乘法运算。求解（8-2）式并不困难，其结果如（8-3）式所示。但这一结果还是“变换域中的解答”，并非就是我们所要的结果。为得到这一结果，还需进行反变换，即对（8-3）式两端取反对数，最后得出解答。从上例可注意到，我们所说的变换，实际上是一个函数y=lgx，它是一种对每一正实数x和另一实数y之间指定的运算规则。它们应具有一一对应的性质。第11页，共118页，2023年，2月20日，星期三§8－2复数一、复数的概念其中，为虚数单位，j2＝-1。1、直角坐标形式设A为一复数，a1及a2分别为其实部及虚部，则实部：虚部：注意：虚部是指a2，而不是指ja2。第12页，共118页，2023年，2月20日，星期三2、极坐标形式又根据欧拉恒等式（8-6）式可进一步写作（8-7）式可简写作可读为“a在一角度θ”。复数A在复平面上可以用有向线段来表示。在原点O与点A之间连一直线。把这直线的长度记作a，称为复数A的模，模总是取正值。在这直线A端加上箭头，把它和实轴正方向的夹角记作θ，称为复数A的辐角。这样，复数A在复平面上就可以用有向线段来表示，也就是说用模a和辐角θ来表示。根据这一表示方式，可以得到复数的另一形式：第13页，共118页，2023年，2月20日，星期三二、复数的四则运算若则因此，复数的加、减运算必须用直角坐标形式进行。1、相等：若两复数的实部和虚部分别相等或模和辐角分别相等，则这两复数相等。例如：若a1＝ReA、b1＝ReB，a2＝ImA、b2＝ImB，且

a1＝b1，a2＝b2则A＝B2、加减运算：几个复数的相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加或相减。例如:第14页，共118页，2023年，2月20日，星期三复数的加减运算也可以在复平面上用图形来表示（几何意义）。求两复数之和的运算在复平面上是符合平行四边形求和法则的。这是表明复数之和的一种很方便的方法，以后经常用到。第15页，共118页，2023年，2月20日，星期三3、乘法运算：复数相乘时，其模相乘，其辐角相加。4、除法运算：复数相除时，其模相除，其辐角相减。第16页，共118页，2023年，2月20日，星期三注意：一般来说，复数的乘、除运算用极坐标形式进行较为简便，但在作理论分析、公式推导时往往需要用直角坐标形式来进行乘除运算。第17页，共118页，2023年，2月20日，星期三或第18页，共118页，2023年，2月20日，星期三或第19页，共118页，2023年，2月20日，星期三作业：P548-1,8-2第20页，共118页，2023年，2月20日，星期三§8－3振幅相量一、正弦函数信号的三特征从RC电路的正弦响应的求解可知，求微分方程比较麻烦，特别是常数Um和ψ的确定。而且电路越复杂，求解越麻烦。时间t的正弦函数，以正弦电压为例，可表为

正弦激励下电路的稳定状态称为正弦稳态。由于在正弦稳态电路中，各个电压、电流响应与激励均为同频率的正弦波，正弦波的三特征降为两个特征，从而利用欧拉恒等式，可把给定ω的正弦函数变换为复平面上的相量。相量分析法实质上是一种专用以分析正弦稳态电路的变换方法。第21页，共118页，2023年，2月20日，星期三二、正弦函数在复平面上的表示—相量法欧拉恒等式为式中θ为一实数（单位为孤度），可以把这一公式推广到θ为t的实函数的情况，如θ＝ωt，其中ω为常量，单位为rad/s。这样便得到这一式子把一个实变数的复指数函数和两个实变数t的正弦函数相联系，这样就可以把时间t的正弦函数变换为复数。由上式可得：设正弦电压为第22页，共118页，2023年，2月20日，星期三就可以把它写作其中是一个与时间无关的复值常数，其模为该正弦电压的振幅，辐角为该正弦电压的初相。这一复值常数称为电压振幅相量，同样也有电流振幅相量。为了简便，在不致引起误解时，常称为相量。相量只是一个复数，但它具有特殊的意义，它是代表一个正弦波的，为了与一般的复数有所区别，在这相量的字母上端需加一点。第23页，共118页，2023年，2月20日，星期三变换简单易行。例如，已知则由（8－11）式可得该电压的相量为相反，如已知相量是正弦波的变换式，并非正弦波本身，这就好比５和lg5间第24页，共118页，2023年，2月20日，星期三不能划等号是一样的。以电压为例，相量及其所对应的正弦波之间的完整关系由（8－10）式表明。这一关系可用双箭头符号表示。也就是说，若则时间t的正弦函数属时域，相量属复数域，给定频率的正弦时间函数和复数（相量）之间有着一一的对应关系，也可用图8－6表明。频率为ω的正弦函数集合相量的集合变换反变换图8－6时域与相量域的映射第25页，共118页，2023年，2月20日，星期三注意：(1)相量是一个表示时域正弦函数到复数域变换的的特殊复数,二者具有一一对应关系，但两者间不能画等号。(2)电压(流)相量是一个不随时间变化的复常数,其模为正弦电压(流)的振幅Um(Im),相角为正弦电压(流)的初相角ψ。(3)作为一个复数，相量在复平面上可用有向线段表示，如图8－8所示。相量在复平面上的图示称为相量图。利用相量图可以进行相量加减运算或比较相量间的相位关系。第26页，共118页，2023年，2月20日，星期三第27页，共118页，2023年，2月20日，星期三故得代表i3的相量为这三个电流的相量图如图8-9所示。第28页，共118页，2023年，2月20日，星期三第29页，共118页，2023年，2月20日，星期三作业:P558-3第30页，共118页，2023年，2月20日，星期三§8－4相量的线性性质和基尔霍夫定律

的相量形式α第31页，共118页，2023年，2月20日，星期三第二步在变换域中把以上两相量相加，得第32页，共118页，2023年，2月20日，星期三

上述的例子反映了相量的一个重要性质，即一.线性性质表示若干个同频率正弦量（可带有实系数）线性组合的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。

由线性性质可得基尔霍夫定律的相量形式。第33页，共118页，2023年，2月20日，星期三由KCL可知：在任一时刻，流出电路节点的电流的代数和为零。设线性时不变电路在单一频率ω的正弦激励下(正弦电源可以有多个，但频率必须相同）进入稳态时，各处的电压、电流都将为同频率的正弦波。因此，在所有时刻，对任一节点KCL可表示为由线性性质得其中:为流出该节点的第k条支路正弦电流ik的振幅相量，K为该节点处的支路数。二.基尔霍夫定律的相量形式第34页，共118页，2023年，2月20日，星期三同理：在正弦稳态电路中，沿任一回路，KVL可表示为：结论：在正弦稳态电路中，基尔霍夫定律可直接用电流振幅相量和电压振幅相量写出。第35页，共118页，2023年，2月20日，星期三解:由已知:第36页，共118页，2023年，2月20日，星期三第37页，共118页，2023年，2月20日，星期三其中:第38页，共118页，2023年，2月20日，星期三作业:P558-7第39页，共118页，2023年，2月20日，星期三§8-5三种基本电路元件VCR的相量形式在关联参考方向下，线性时不变电阻、电容及电感元件的VCR分别为在正弦稳态电路中，这些元件的电压、电流都是同频率的正弦波。为适应使用相量进行正弦稳态分析的需要，下面将导出这三种基本元件VCR的相量形式。设要研究的元件接在一正弦稳态电路中，元件两端的电压和流过的电流为关联参考方向，可表示为：第40页，共118页，2023年，2月20日，星期三其中我们的任务是求出相量与的关系。一、电阻元件VCR的相量形式由图(a)所示电路，据欧姆定律u=Ri得由于R是常数，这一式子表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流同步变化，即是同相的。上式和图(c)表明的都是电压的时间函数与电流的时间函数之间的关系，称为时域式。第41页，共118页，2023年，2月20日，星期三据线性性质因此：这就是我们要求的电阻元件VCR的相量形式。它既能表明电压、电流振幅之间的关系，又能表明电压、电流相位之间的关系。包含两方面内容电压和电流振幅符合欧姆定律电压和电流是同相的第42页，共118页，2023年，2月20日，星期三对纯电阻电路可以不必用相量法。电阻VCR的相量关系式主要用于一般正弦稳态电路（含R、L、C等各种元件）的分析。第43页，共118页，2023年，2月20日，星期三二、电容元件VCR的相量形式由(8-28)电压与电流振幅之间的关系为:(8-26)电压与电流的相位关系为:(8-27)第44页，共118页，2023年，2月20日，星期三表明电压、电流振幅的关系不仅与C有关而且还与角频率ω有关，而电阻元件的这一关系是与ω无关的。当C值一定时，对一定的Um来说，ω越高则Im越大，即电流越容易通过；ω越低则Im越小，即电流越难通过。当ω＝0（相当于直流激励）时，Im＝0，电容相当于开路，这正是直流稳态时电容应有的表现。电流超前电压的角度为90°。电容电压、电流的时间函数表示式。若则第45页，共118页，2023年，2月20日，星期三三、电感元件VCR的相量形式对电感元件来说，考虑到它的VCR与电容的VCR存在对偶关系，因此，由电容VCR相量形式可得到电感VCR的相量形式。(8-31)表明电压、电流振幅的关系不仅与L有关而且还与角频率ω有关。当L值一定时，对一定的Im来说，ω越高，则Um越大；ω越低，则Um越小。当ω＝0（相当于直流激励）时，Um＝0，电感相当于短路。电流滞后电压的角度为90°。因此对电感来说：若则等效于:(8-32)(8-32)第46页，共118页，2023年，2月20日，星期三第47页，共118页，2023年，2月20日，星期三第48页，共118页，2023年，2月20日，星期三第49页，共118页，2023年，2月20日，星期三第50页，共118页，2023年，2月20日，星期三第51页，共118页，2023年，2月20日，星期三第52页，共118页，2023年，2月20日，星期三作业:P568-9第53页，共118页，2023年，2月20日，星期三§8-6VCR相量形式的统一

—阻抗和导纳的引入

上节讨论了三种基本元件VCR的相量形式，在关联参考方向的前提下，它们是第54页，共118页，2023年，2月20日，星期三定义1—元件的阻抗第55页，共118页，2023年，2月20日，星期三定义2-元件的导纳(8-39)或(8-40)(8-44)第56页，共118页，2023年，2月20日，星期三定义3—L和C的电抗:定义Z=jX,X为电抗,定义4—L和C的电纳:定义Y=jB,即B=Im[Y]对电容：即:X=Im[Z]

对电容:对电感：对电感：第57页，共118页，2023年，2月20日，星期三定义5—阻抗定义的推广:不含独立源的单口网络的阻抗和导纳(1)第58页，共118页，2023年，2月20日，星期三说明:阻抗Z和导纳Y是用复数形式描述正弦稳态电路的原（主）参数，即是与RLC等时域基本电路参数对应的复数域参数。(3)对单个元件,其阻抗角分别为:第59页，共118页，2023年，2月20日，星期三作业:P568-11第60页，共118页，2023年，2月20日，星期三§8-7正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比—相量模型的引入一.电路相量模型的概念:对正弦稳态电路中的元件(RLC)用阻抗或导纳表示时的假想的电路模型。是一种运用相量能很方便地对正弦稳态电路进行分析计算的假想的模型。二.RLC正弦稳态电路的相量模型与电阻电路时域模型的类比

电阻电路RLC正弦稳态电路元件电阻R阻抗Z或导纳Y=1/Z欧姆定律基本形式适用范围电阻电路或正弦稳态RLC电路或只含电阻的一般单口网络含RLC的一般单口网络模型性质实际时域模型假想复数域模型第61页，共118页，2023年，2月20日，星期三三.运用相量模型分析RLC电路(相量分析法)的基本步骤：(1)写出已知正弦量的相量;(2)作原电路的相量模型,确定电路中各相量间的关系；(3)根据所求得的相量，写出相应的正弦时间函数。若单口网络的各元件系串联的，则其阻抗为若单口网络的各元件系并联的，则其导纳为第62页，共118页，2023年，2月20日，星期三第63页，共118页，2023年，2月20日，星期三各电压及电流的相量图表明了各电压、电流间的相位关系。第64页，共118页，2023年，2月20日，星期三第65页，共118页，2023年，2月20日，星期三作业:P568-13第66页，共118页，2023年，2月20日，星期三§8-8正弦稳态混联电路的分析作出正弦稳态电路的相量模型后，就可仿照电阻混联电路的处理方法来求输入阻抗或导纳、各支路电流相量以及电压相量等等。在求输入阻抗或导纳时，需注意以下几点：表8—1基本元件的阻抗和导纳

1.同一元件的阻抗与导纳互为倒数；同一对端钮间的阻抗与导纳互为倒数，即：2.记住基本元件的阻抗和导纳，如表8—1所示。第67页，共118页，2023年，2月20日，星期三3.凡是串联的元件，用阻抗来表征较为方便,可根据(8—51)式进行化简,得

凡是并联的元件，用导纳来表征较为方便，可根据(8—52)式进行化简,得

但在两个元件并联时，也可用下式进行化简:

第68页，共118页，2023年，2月20日，星期三解:写出已知正弦量的相量作相量模型如图b所示，其中：根据相量模型进行计算。输入阻抗电流第69页，共118页，2023年，2月20日，星期三第70页，共118页，2023年，2月20日，星期三作业:P578-16第71页，共118页，2023年，2月20日，星期三§8-9相量模型的网孔分析法和节点分析法解:作相量模型如图(b)所示，其中第72页，共118页，2023年，2月20日，星期三第73页，共118页，2023年，2月20日，星期三解:第74页，共118页，2023年，2月20日，星期三第75页，共118页，2023年，2月20日，星期三正弦稳态电路相量分析法分析小结:分析电阻电路的各种分析方法和电路定理都可推广用于分析电路的相量模型。差别仅在于所得到的电路方程为以相量形式表示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，而计算则为复数运算。要求熟练掌握正弦稳态电路的计算方法。第76页，共118页，2023年，2月20日，星期三作业：P588-18第77页，共118页，2023年，2月20日，星期三§8-10相量模型的等效本节介绍含/不含独立源的线性单口网络的串联和并联相量模型。给定单口网络N0ω如图(a)所示，下标“0”表示该网络不含独立源，其VCR为一.输入阻抗(串联相量模型)和输入导纳(并联相量模型)的定义其中Z为单口网络的输入阻抗，即等效阻抗。输入阻抗一般为复数，具有实部和虚部，亦即第78页，共118页，2023年，2月20日，星期三其中R称为输入阻抗的电阻分量，它并不一定只由网络中的电阻元件所确定，一般来说，它是网络中各元件参数和频率的函数；X称为输入阻抗的电抗分量，它并不一定只由网络中的动态元件所确定，一般来说，它是网络中各元件参数和频率的函数。因此，该单口网络可等效为一由R和jX串联的相量模型如图(b)所示。第79页，共118页，2023年，2月20日，星期三单口网络N0ω的VCR也可表为而其中G、B分别称为输入导纳的电导分量和电纳分量。因此，该单口网络的由G和jB并联的等效相量模型如图(c)所示。

Y为单口网络的输入导纳,即等效导纳。第80页，共118页，2023年，2月20日，星期三二.输入阻抗和输入导纳间的转换则由（8-58）式得即并联相量模型的电导与电纳分别为：注意：一般情况G并非是R的倒数，B则不可能是X的倒数。1.等效关系:2.已知Z求等效Y:

设已知第81页，共118页，2023年，2月20日，星期三物理意义：串联电路中的R和并联电路中的G，并非指同一电阻元件，而公式R＝1/G原是指同一个电阻元件的电阻参数与电导参数的关系，因而不能用于两个不同的电阻元件。B并非X的倒数，即使是指同一动态元件也不能认为X＝1/B。应根据Z＝1/Y来考虑，在单个动态元件时可得jX＝1/jB，因此X＝-1/B。第82页，共118页，2023年，2月20日，星期三3.已知Y求等效Z:设已知则由（8-58）式得即串联相量模型的电阻与电抗分别为：注意：一般来说R并非是G的倒数，X则不可能是B的倒数。第83页，共118页，2023年，2月20日，星期三4.注意：以上各式中的R、G、X、B等均为ω的函数，因此，只有在某一指定频率时才能确定R、G的数值和X、B的数值及其正、负号。等效相量模型只能用来计算在该频率下的正弦稳态响应。第84页，共118页，2023年，2月20日，星期三三.不含独立源的单口网络相量模型使用举例第85页，共118页，2023年，2月20日，星期三在这一频率时，电抗分量变为负值，说明等效相量模型的两串联元件的阻抗为4.35Ω的电阻和阻抗为-j11.02Ω的电容。并联相量模型中的两元件，其一为导纳等于0.03099S的电阻，另一为导纳等于j0.0785S的电容。第86页，共118页，2023年，2月20日，星期三四.含独立源的单口网络相量分析-戴维南定理及诺顿定理的运用第87页，共118页，2023年，2月20日，星期三第88页，共118页，2023年，2月20日，星期三作业:P608-24第89页，共118页，2023年，2月20日，星期三§8-11有效值有效值相量

周期电流、电压的瞬时值是随时间而变化的，在电工技术中，往往并不需要知道它们每一瞬间的大小，在这种情况下，就需要为它们规定一个表征大小的特定值。当直流电流I流过电阻时，在相同的时间T内消耗的电能为

PT＝RI2T

一.正弦量(周期波)大小的表征—有效值的定义

周期电流的有效值定义为在效应上(如电流的热效应,代表其作功能力)与周期电流在一个周期内的平均效应相等的直流量。考虑到周期电流（电压）和直流电流（电压）施加于电阻时，电阻都要消耗电能，以此为依据，可以为周期波规定一个表征其大小的特定值。设有两个相同的电阻R，分别通以周期电流i和直流电流I。当周期电流i流过电阻R时，该电阻在一个周期T内所消耗的电能为第90页，共118页，2023年，2月20日，星期三如果在周期电流的一个周期的时间内，这两个电阻R消耗的电能相等，也就是说，就平均作功能力来说，这两个电流是等效的，则该直流电流I的数值可用以表征周期电流i的大小，这一特定的数值I称为周期电流i的有效值。由得由有效值定义式可知：周期电流的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根，因此，有效值又称为方均根值。类似地，可得周期电压u的有效值(8－66)第91页，共118页，2023年，2月20日，星期三对正弦电流对正弦电压(8－68)(8－69)第92页，共118页，2023年，2月20日，星期三结论:1.2.大部分使用于50Hz的交流电表测读的都是有效值;对应的电压振幅相量为3.有效值一般用不带下标的大写字母如I、U表示。例：引用有效值后，以电压为例，正弦波也可表为：第93页，共118页，2023年，2月20日，星期三二.有效值相量说明:1.有效值相量是复数。今后，除非特别声明，本书所称的相量均系指有效值相量。相量图也是用有效值相量绘制。定义:电压有效值相量：电流有效值相量:

2.与振幅相量的关系:第94页，共118页，2023年，2月20日，星期三又故得第95页，共118页，2023年，2月20日，星期三解:今后，相量模型中除非特别申明，均系有效值相量。电路对电源的等效阻抗为1第96页，共118页，2023年，2月20日，星期三第97页，共118页，2023年，2月20日，星期三作业:P628-30,8-31第98页，共118页，2023年，2月20日，星期三§8-12两类特殊问题相量图法一.两类特殊问题是什么?有无简单计算方法?1.有效值的计算问题;2.相位差的计算问题。

答案:相量图法二.相量图法举例第99页，共118页，2023年，2月20日，星期三输出电压的有效值：输出电压的初相：相位差角：第100页，共118页，2023年，2月20日，星期三注意：