2022-2023学年山东省青岛市市北区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省青岛市市北区八年级（下）期中数学试卷1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.若实数a与b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中一定成立的是(

)A.a−1<b−1 B.a3>b3 C.3.以下4个命题中，正确的是(

)A.真命题的逆命题不可能是假命题

B.存在两边分别相等的两个直角三角形全等

C.用反证法证明命题“三角形中不能有两个角是直角”，首先要假设“这个三角形中有两个角是直角”

D.三角形三内角的角平分线必相交于三角形内一点，这一点到三角形三顶点的距离相等4.下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是(

)A.x(a−b)=ax−bx B.ax+bx+c=x(a+b)+c

C.5x2−10x=5(5.如图，在△ABC中，∠A=90∘，点D是边AC上一点，DA=3，若点D到BC的距离为3，则下列关于点D的位置描述正确的是(

)

A.点D是AC的中点 B.点D是∠B平分线与AC的交点

C.点D是BC垂直平分线与AC的交点 D.点D与点B的距离为56.将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15∘后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是cm2.A.12.5

B.2536

C.257.如图，∠ACB=90∘，将Rt△ABC沿着射线BC方向平移5cm，得到△A′B′C′，已知BC=3cm，AC=4cm，则阴影部分的面积为(

)A.14cm2

B.16cm2

C.8.如图，已知直线y=mx过点A(−2,−4)，过点A的直线y=nx+b交x轴于点B(−4,0)，则关于x的不等式组nx+b≤mx<0的解集在数轴上表示正确的是(

)A.

B.

C.

D.

9.用不等式表示“x的一半减去3所得的差不大于1”______.10.因式分解a−a3=11.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D、E，若AC=4，BC=2，则线段AE的长度等于______.

12.有足够多如图的长方形和正方形的卡片，如果分别选取1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，可不重叠、无缝隙拼成右图的长方形，则运用拼图前后面积之间的关系可以写出一个因式分解的式子：______.

13.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40∘，则这个等腰三角形的底角度数是______.14.某初中举行知识抢答赛，总共20道抢答题.抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错或不抢答1题扣1分，小刚参加了抢答比赛，要使最后得分不少于50分，那么小刚至少要答对______道题.15.如图，点C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下结论：①AD=BE；②PQ//AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤线段AD绕着点C顺时针旋转60度可与线段BE重合；⑥△CPQ为等边三角形；正确的有______.(填序号)16.如图，△ABC各顶点的坐标分别为A(−2,4)，B(−4,2)，C(−1,2).

①平移△ABC，使其顶点A平移到点A1(−1,0)，画出平移后的△A1B1C1；

②若△A1B1C1看作是由△ABC经过一次平移得到的，则平移的距离为______；

③将△ABC17.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

如图，已知等腰三角形△ABC的底边长为....，顶角∠A的角平分线长为.....求作：等腰三角形△ABC.18.分解因式.

(1)−a3b219.解不等式(组)

仔细观察以下小明同学解不等式的过程：

2x−13>3x−22−1

解：2(2x−1)>3(3x−2)−6………第一步

4x−2>9x−6−6………第二步

4x−9x>−6−6+2………第三步

−5x>−10………第四步

x>2………第五步

(1)第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；

(2)直接写出该不等式的正确解集：______；

(3)要使不等式组{2x−120.如图，已知BD为∠ABC的平分线，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，且PM=PN.求证：AD=CD.21.甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元(x>300).

(1)请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；

(2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．22.如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD=CF.

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)当∠F=______度时，△ABC是等边三角形？请证明你的结论.23.每年的5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况.他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如表).根据信息，解答下列问题.信息

1.快餐的成分：蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物；

2.快餐总质量为400克；

3.脂肪所占的百分比为5%；

4.所含蛋白质质量是矿物质质量的4倍.(1)若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；

(2)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值.24.如图1，将两个相同的三角形纸片△ABC和△DEC重合放置，其中∠C=90∘.

(1)操作发现

如图2，若∠B=∠DEC=30∘，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转，当点D恰好落在AB上时：

①请判断线段DE与AC的位置关系，并给出证明；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，S1与S2的数量关系是______；

(2)猜想论证

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，请你证明小明的猜想；

(3)拓展探究

如图4，若BC=3，AC=2，当△DEC答案和解析1.【答案】B

解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；故A不符合题意；

B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故B符合题意；

C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故C不符合题意；

D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形；故不D符合题意．

故选：B.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2.【答案】B

解：A、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故A错误；

B、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故B正确；

C、不等式的两边都乘以−1，不等号的方向改变，故C错误；

D、当c>0时，ac>cb；当c<0时，ac<bc，故D错误；

故选：B.

根据不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

3.【答案】BC

解：A、真命题的逆命题可能是假命题，不符合题意；

B、若两直角三角形的两直角边对应相等或两直角三角形的一直角边和斜边对应相等时，该两直角三角形全等，符合题意；

C、用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设“这个三角形中有两个角是直角”，符合题意；

D、三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等，不符合题意．

故选：BC.

根据命题的定义，反证法，直角三角形的判定定理以及线段垂直平分线的性质进行分析判断．

本题考查的是反证法的应用，掌握逆命题的概念、直角三角形全等的判定、线段垂直平分线的性质、反证法的应用是解题的关键．

4.【答案】D

解：A.是整式乘法，不是因式分解，A错误，故A不符合题意；

B.右边不是整式乘积的形式，B错误，故B不符合题意；

C.5x2−10x=5x(x−2)，C错误，故C不符合题意；

D.y2−1=(y+1)(y−1)，D正确，故D符合题意．

故选：D.5.【答案】B

解：如图所示：DE⊥BC于E，

∵DA=3，点D到BC的距离为3，

∴AD=DE，

∵∠A=90∘，

∴DA⊥BA，

∵DE⊥BC，

∴点D在∠B的角平分线上，

即点D是∠B的角平分线与AC的交点，

故选：B.

求出AD=DE，根据到角两边距离相等的点在这个角的平分线上得出选项即可．

本题考查了角平分线性质，点到直线的距离和线段垂直平分线的性质等知识点，能熟记到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解此题的关键．6.【答案】B

解：设AB与B′C′交于D点，

根据旋转性质得∠CAC′=15∘，而∠CAB=45∘，

∴∠C′AD=∠CAB−∠CAC′=30∘，

又∵AC′=AC=5(cm)，∠C′=∠C=90∘，

∴C′D=AC′⋅tan30∘=533(cm)，

阴影部分面积为：12×5×533=2537.【答案】A

解：在Rt△ACB中，AB=AC2+BC2=42+32=5(cm)，

∵AA′=BB′=5cm，

∴CB′=BB′−BC=5−3=2(cm)8.【答案】C

解：由图象可知，当−2≤x<0时，直线y=nx+b在直线y=mx下方，且都在x轴下方，

∴当−2≤x<0时，nx+b≤mx<0，

故选：C.

由图象可求解．

本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，理解图象是本题的关键．

9.【答案】12解：根据题意得：12x−3≤1.

故答案为：12x−3≤1.

根据“x的一半减去3所得的差不大于1”，可得出关于x10.【答案】a(1+a)(1−a)

解：a−a3=a(1−a2)

=a(1+a)(1−a).

故答案为：a(1+a)(1−a).

11.【答案】52解：连接BE，

∵DE垂直平分AB，AC=4，BC=2，

∴AE=BE，

设CE=x，则AE=BE=4−x，

在Rt△BCE中，

BC2+CE2=BE2，

即22+x2=(4−x)2，

解得x=32，

∴CE=4−3212.【答案】a2解：a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)，

故答案为：a13.【答案】65∘或25解：在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=40∘，

当BD在△ABC内部时，如图1，

∵BD为高，

∴∠ADB=90∘，

∴∠BAD=90∘−40∘=50∘，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=12(180∘−50∘)=65∘；

当BD在△ABC外部时，如图2，

∵BD为高，

∴∠ADB=90∘，

∴∠BAD=90∘−40∘=50∘，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

而∠BAD=∠ABC+∠ACB，

∴∠ACB=12∠BAD=25∘，

综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65∘或25∘14.【答案】18

解：设小军答对x道题，

依题意得：3x−(20−x)≥50，

解得：x≥1712，

∵x为正整数，

∴x的最小正整数为18，

即小军至少要答对18道题，

故答案为：18.

设小军答对x道题，由题意：总共20道抢答题，抢答对1题得3分，抢答错或不抢答1题扣1分，使最后得分不少于50分，列出一元一次不等式，解不等式即可．

15.【答案】①②③⑥

解：∵△ABC和△CDE是正三角形，

∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60∘，

又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，

∠BCE=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

AC=BC∠ACD=∠BCEDC=CE，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴AD=BE，故①正确；

∵∠BCD=180∘−∠ACB=120∘，

∴线段AD绕着点C顺时针旋转120度可与线段BE重合，故⑤错误，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAP=∠CBQ，

又∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180∘，

∴∠BCD=60∘，

在△ACP和△BCQ中，

∠CAP=∠CBQAC=BC∠ACP=∠BCQ，

∴△ACP≌△BCQ(ASA)，

∴AP=BQ，PC=QC，

∴△PCQ是等边三角形，

∴∠CPQ=∠CQP=60∘，

∴∠CPQ=∠ACB=60∘，

∴PQ//AE，故②③⑥正确；

若DE=DP，

∵DC=DE，

∴DP=DC，

∴∠PCD=∠DPC，

又∵∠PCD=60∘，

∴∠DPC=60∘与△PCQ是等边三角形相矛盾，假设不成立，

故④错误；

故答案为：①②③⑥．

由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得AD=BE，故①正确；由旋转的性质可得线段AD绕着点C顺时针旋转16.【答案】17解：①如图，△A1B1C1即为所求.

②连接AA1，

由勾股定理得，AA1=12+42=17，

∴平移的距离为17.

17.【答案】解：由题意b>2a，所以只能使得等腰三角形的底边为a.

△ABC如图所示：

【解析】由题意b>2a，所以只能使得等腰三角形的底边为a.

本题考查-复杂作图、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．

18.【答案】解：(1)−a3b2+4a2b2−4ab2【解析】(1)先提取公因式，再用公式法因式分解即可；

(2)运用公式法因式分解即可．

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

19.【答案】五

不等式两边都除以−5，不等号的方向没有改变

x<22x+1<3(答案不唯一)x<1(答案不唯一)

解：(1)第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以−5，不等号的方向没有改变；

故答案为：五；不等式两边都除以−5，不等号的方向没有改变；

(2)该不等式的正确解集：x<2.

故答案为：x<2；

(3)∵2x−13>3x−22−1的解集是x<2，不等式组{2x−13>3x−22−1(ㅤㅤ)的解集只包含一个非负整数解，

∴在括号里添加的一元一次不等式可以为2x+1<3；

此不等式组的解集是x<1.

故答案为：2x+1<3；x<1(答案不唯一).

(1)根据不等式的性质可知第五步出现错误；20.【答案】证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，PM=PN，

∴∠ADP=∠CDP，

∵∠ADB+∠ADP=180∘，∠CDP+∠CDB=180∘，

∴∠ADB=∠CDB，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△CBD中，

∠ABD=∠CBDBD=BD∠ADB=∠CDB，

∴△ABD【解析】根据PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，PM=PN，易证∠ADB=∠CDB，从而证明△BAD≌△BCD，即可得出AD=CD.

本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，解此题的关键是推出△ABD≌△CBD，注意：全等三角形的对应边相等．

21.【答案】解：(1)在甲超市购物所付的费用是：300+0.8(x−300)=(0.8x+60)元，

在乙超市购物所付的费用是：200+0.85(x−200)=(0.85x+30)元；

(2)①当0.8x+60=0.85x+30时，解得x=600.

∴当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；

②当0.8x+60>0.85x+30时，

解得x<600，而x>300，

∴300<x<600.

即顾客购物超过300元且不满600元时，到乙超市更优惠；

③当0.8x+60<0.85x+30时，解得x>600，

即当顾客购物超过600元时，到甲超市更优惠．

【解析】(1)根据超市的销售方式可列式表示在甲超市购物所付的费用和在乙超市购物所付的费用；

(2)购物所需费用需分情况讨论，一般分为①两家超市购物所付费用相同，②到乙超市更优惠，③到甲超市更优惠，三种情况，分别计算即可．

此题的关键是用代数式列出在甲、乙两超市购物所需的费用，(2)用了分类讨论的方法，是解决此类问题常用的方法．

22.【答案】30

【解析】(1)证明：∵CD=CF，

∴∠F=∠CDF，

∵∠ADE=∠CDF，

∴∠F=∠ADE，

∵DE⊥AB，

∴∠F+∠B=90∘，∠ADE+∠A=90∘，

∴∠B=∠A，

∴△ABC是等腰三角形；

(2)解：当∠F=30度时，△ABC是等边三角形，理由如下：

∵DE⊥AB，

∴∠B+∠F=90∘，

∴∠B=90∘−30∘=60∘，

由(1)知△ABC是等腰三角形，

∴△ABC是等边三角形．

故答案为：30.

(1)由CD=CF，得到∠F=∠CDF，由垂直的定义得到∠F+∠B=90∘，∠ADE+∠A=90∘，由余角的性质得到23.【答案】解：(1)设这份快餐所含蛋白质的质量为x克，则含矿物质的质量为14x克，

400×5%=20(克)，

依题意得：x+20+14x+400×40%=400，

解得：x=176.

答：这份快餐所含蛋白质的质量为176克．

(2)设这份快餐所含蛋白质的质量为y克，则含矿物质的质量为14y克，含碳水化合物的质量为(400×85%−y)克，

依题意得：