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文档简介
2022年吉林省辽源市成考专升本高等数学一自考测试卷(含答案及部分解析)学校:________班级:________姓名:________考号:________
一、单选题(20题)1.曲线y=lnx-2在点(e,-1)的切线方程为()A.A.
B.
C.
D.
2.方程z=x2+y2表示的曲面是()
A.椭球面B.旋转抛物面C.球面D.圆锥面
3.
4.
5.
6.
7.
8.
A.f(x)
B.f(x)+C
C.f/(x)
D.f/(x)+C
9.设y=f(x)在(a,b)内有二阶导数,且f"<0,则曲线y=f(x)在(a,b)内().A.A.凹B.凸C.凹凸性不可确定D.单调减少
10.下列各式中正确的是()。
A.
B.
C.
D.
11.A.A.3
B.5
C.1
D.
12.f(x)在x=0有二阶连续导数,则f(x)在x=0处()。A.取极小值B.取极大值C.不取极值D.以上都不对
13.
14.设f'(x)为连续函数,则等于()A.A.
B.
C.
D.
15.A.A.sinx+sin2B.-sinx+sin2C.sinxD.-sinx
16.
17.
18.平面π1:x-2y+3x+1=0,π2:2x+y+2=0的位置关系为()A.垂直B.斜交C.平行不重合D.重合
19.A.A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面
20.设y=exsinx,则y'''=
A.cosx·ex
B.sinx·ex
C.2ex(cosx-sinx)
D.2ex(sinx-cosx)
二、填空题(20题)21.设z=tan(xy-x2),则=______.
22.
23.交换二重积分次序∫01dx∫x2xf(x,y)dy=________。
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.y=lnx,则dy=__________。
37.
38.已知平面π:2x+y-3z+2=0,则过点(0,0,0)且与π垂直的直线方程为______.
39.过点M0(1,-2,0)且与直线垂直的平面方程为______.
40.
三、计算题(20题)41.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量,则
42.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
43.求曲线在点(1,3)处的切线方程.
44.
45.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
46.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
47.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
48.求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
49.证明:
50.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
51.
52.
53.
54.
55.求微分方程的通解.
56.
57.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
58.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
59.
60.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
四、解答题(10题)61.
62.设
63.
64.
65.
66.求方程y''-2y'+5y=ex的通解.
67.求微分方程y+y-2y=0的通解.
68.
69.设
70.
五、高等数学(0题)71.在下列函数中,在指定区间为有界的是()。
A.f(x)=22z∈(一∞,0)
B.f(x)=lnxz∈(0,1)
C.
D.f(x)=x2x∈(0,+∞)
六、解答题(0题)72.
参考答案
1.D
2.B旋转抛物面的方程为z=x2+y2.
3.D
4.B
5.C
6.B
7.D
8.A由不定积分的性质“先积分后求导,作用抵消”可知应选A.
9.A本题考查的知识点为利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性.
由于在(a,b)区间内f"(x)<0,可知曲线y=f(x)在(a,b)内为凹的,因此选A.
10.B
11.A本题考查的知识点为判定极值的必要条件.
故应选A.
12.B;又∵分母x→0∴x=0是驻点;;即f""(0)=一1<0,∴f(x)在x=0处取极大值
13.B
14.C本题考查的知识点为牛-莱公式和不定积分的性质.
可知应选C.
15.D
16.D
17.A
18.A本题考查的知识点为两平面的位置关系。两平面的关系可由平面的法向量n1,n2间的关系确定。若n1⊥n2,则两平面必定垂直。若n1//n2,则两平面平行,其中当时,两平面平行,但不重合。当时,两平面重合。若n1与n2既不垂直,也不平行,则两平面斜交。由于n1={1,-2,3},n2={2,1,0),n1,n2=0,可知,n1⊥n2,因此π1⊥π2,故选A。
19.C本题考查的知识点为二次曲面的方程.
20.C本题考查了莱布尼茨公式的知识点.
由莱布尼茨公式,得(exsinx)'''=(ex)'''sinx+3(ex)''(sinx)'+3(ex)'(sinx)''+ex(sinx)'''=exsinx+3excosx+3ex(-sinx)+ex(-cosx)=2ex(cosx-sinx).
21.
本题考查的知识点为二元函数的偏导数.
z=tan(xy-x2),
22.(-33)(-3,3)解析:
23.因为∫01dx∫x2xf(x,y)dy,所以其区域如图所示,所以先对x的积分为。
24.(03)(0,3)解析:
25.
26.
解析:
27.
28.本题考查的知识点为重要极限公式。
29.
30.2xsinx2;本题考查的知识点为可变上限积分的求导.
31.
32.y=xe+Cy=xe+C解析:
33.
34.-24.
本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值.
若f(x)在(a,b)内可导,在[a,b]上连续,常可以利用导数判定f(x)在[a,b]上的最值:
35.
36.(1/x)dx
37.1/6
38.
本题考查的知识点为直线的方程和平面与直线的关系.
由于直线与已知平面垂直,可知直线的方向向量s与平面的法向量n平行.可以取s=n=(2,1,-3),又已知直线过点(0,0,0),由直线的标准式方程可知
为所求.
39.3(x-1)-(y+2)+z=0(或3x-y+z=5)本题考查的知识点为平面与直线的方程.
由题设条件可知应该利用点法式方程来确定所求平面方程.
所给直线l的方向向量s=(3,-1,1).若所求平面π垂直于直线l,则平面π的法向量n∥s,不妨取n=s=(3,-1,1).则由平面的点法式方程可知
3(x-1)-[y-(-2)]+(z-0)=0,
即3(x-1)-(y+2)+z=0
为所求平面方程.
或写为3x-y+z-5=0.
上述两个结果都正确,前者3(x-1)-(y+2)z=0称为平面的点法式方程,而后者3x-y+z-5=0称为平面的一般式方程.
40.y=2x+1
41.由等价无穷小量的定义可知
42.需求规律为Q=100ep-2.25p
∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p,
∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
43.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
44.
45.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
46.由二重积分物理意义知
47.
48.
49.
50.函数的定义域为
注意
51.
52.由一阶线性微分方程通解公式有
53.
则
54.
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