2022-2023学年宁夏回族自治区石嘴山市高二年级下册学期第一次月考数学（理）试题【含答案】

2022-2023学年宁夏回族自治区石嘴山市高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为A． B．C． D．【答案】D【分析】通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.【详解】由函数的图象可知，当时，单调递减，所以时，，符合条件的只有D选项，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题.2．（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据定积分的运算法则进行求解即可.【详解】.故选：D.3．已知随机变量的概率分布为，其中是常数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据概率和为，求得参数，再求，则问题得解.【详解】因为，解得.故.故选：【点睛】本题考查根据分布列求参数值，属基础题.4．把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有（

）A．18种 B．12种 C．9种 D．6种【答案】B【分析】先确定1号盒子的选择情况，再确定剩下盒子的选择情况，进而根据分布计数原理求得答案.【详解】由于1号盒子不能放1号和2号球，则1号盒子有3号球、4号球2种方法，则剩下3个盒子各放一个球有种方法，一共有种方法.故选：B.5．小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】D【解析】根据条件概率，即可求得在第一个路口遇到红灯，在第二个路口也遇到红灯的概率．【详解】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件“小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件则，，故选D.【点睛】本题考查了条件概率的简单应用，属于基础题．6．若＝18，则m等于（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】D【详解】由A＝m(m－1)(m－2)(m－3)＝18·，得m－3＝3，m＝6.7．函数的导数为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据复合函数的求导法则以及导数的乘法运算法则求解出原函数的导数.【详解】解析：因为，所以，所以，故选：B.8．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（

）．A．420 B．180 C．64 D．25【答案】B【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，讨论A，D同色和异色，根据乘法原理可得结论．【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行区域有5种涂法，有4种涂法，，不同色，有3种，有2种涂法，有种，，同色，有1种涂法，有3种涂法，有种，共有180种不同的涂色方案．故选：B．【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.9．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题知过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小，再根据导数的几何意义求解即可.【详解】解：过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.设切点为，，所以，切线斜率为，由题知得或（舍），所以，，此时点到直线距离.故选：C10．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．11．如图，已知电路中有个开关，开关闭合的概率为，其它开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设开关闭合为事件，，由所设事件表示事件灯不亮，利用概率乘法公式求其概率，再利用对立事件概率公式求事件灯亮的概率.【详解】设开关闭合为事件，，则事件灯不亮可表示为，由已知，，∴

，∴

事件灯亮的概率，故选：A.12．某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l，左右两端均为半球形，其半径为r，若其表面积为S，则胶囊的体积V取最大值时(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】由圆柱和球的表面积公式将l用r和S表示出来，再代入圆柱体积和球体积公式，表示出胶囊的体积V，利用求导求出V的最大值及此时r的值.【详解】依题意，，故，当时，，取最大值．故选：A二、填空题13．由曲线，，以及轴所围成的面积为______．【答案】【分析】根据定积分的几何意义即可求解区域面积.【详解】曲线，，以及轴所围成的面积可表示：在上的定积分，被积函数为，所以.故答案为：.14．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)等于________．【答案】【详解】分析：由题意知，X～B（5，），由EX=5×=3，知X～B（5，），由此能求出D（X）．详解：由题意知，X～B（5，），∴EX=5×=3，解得m=2，∴X～B（5，），∴D（X）=5××（1-）=．点晴：二项分布X～B（n，p）则EX=np．DX=np(1-p)15．已知在的展开式中含有项，则求的系数是______．【答案】【分析】由二项式定理展开项的特点即性质求解即可.【详解】展开式的通项为：则的展开式含，若其展开式中含有项，则，故，所以的系数为.故答案为：.16．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】求出函数的导数，结合题意可知在上恒成立，即在上恒成立，从而构造函数，将问题转化为求函数的最值问题即可.【详解】因为函数在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立，设，则，当或时，，当时，，由，得，当或时，，当时，作出函数的大致图象如图：故为函数极小值点，此时函数也取得最小值，最小值为，故，经验证，当时，在上恒成立,仅在时取等号，适合题意，故实数的取值范围是，故答案为：三、解答题17．现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；(3)平均分成三个组每组两本．【答案】(1)60；(2)360；(3)15.【分析】（1）根据题意，由分步计数原理直接计算可得答案；（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，再将分好的三组分给3人，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，由平均分组公式计算可得答案．【详解】（1）根据题意，第一组3本有种分法，第二组2本有种分法，第三组1本有1种分法，所以共有种分法.（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，有种分法，再将分好的三组分给3人，有种情况，所以共有种分法.（3）根据题意，将6本书平均分为3组，有15种不同的分法．18．某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从8道题目中随机抽取3道回答，至少答对2道可以晋级.已知甲同学能答对其中的5道题.(1)设甲同学答对题目的数量为，求的分布列，(2)求甲同学能晋级的概率.【答案】(1)分布列见解析(2)【分析】（1）由题意可知甲同学答对题目的数量的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，从而可求出的分布列，（2）甲同学能晋级的概率，从而可求得结果【详解】（1）由题意可知甲同学答对题目的数量的可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以的分布列为0123（2）由题意可得甲同学能晋级的概率为19．已知展开式中第3项和第7项的二项式系数相等（1）求展开式中含的项的系数；（2）系数最大的项是第几项？【答案】(1)；(2)第3项或第4项.【分析】(1)利用二项式系数的性质求出n值，再求出二项展开式的通项即可求出指定项的系数；(2)利用(1)的信息根据系数最大列出不等式组即可作答.【详解】（1）依题意，，由组合数的性质得，于是得展开式的通项，由得，则，所以展开式中含的项的系数为；（2）令Tr＋1项的系数最大，由(1)得，即，整理得，解得，而，从而得或，所以展开式中系数最大项是第3项或第4项.20．已知函数．(1)当时，求函数的单调区间和极值；(2)讨论函数单调性．【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为；函数的极小值，无极大值(2)答案见解析【分析】（1）利用导数与函数的单调性、极值的关系求解，注意函数的定义域，即可得到答案；（2）利用导数与函数的单调性的关系求解，注意对的取值范围进行分类讨论，求解即可．【详解】（1）当时，，则，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，函数取得极小值，无极大值．（2），则，当时，，则单调递减；当时，当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．21．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.小胡、小陈两位同学参加学校组织的世界杯知识答题拿积分比赛游戏，规则如下：小胡同学先答2道题，至少答对一道题后，小陈同学才存机会答题，同样也是两次答题机会，每答对一道题获得5积分，答错不得分.小胡同学每道题答对的概率均为，小陈同学每道题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响.(1)求小陈同学有机会答题的概率；(2)记为小胡和小陈同学一共拿到的积分，求的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）利用对立事件及独立事件的概率乘法公式计算即可；（2）先求出变量取值的概率，然后列出随机变量的分布列，利用期望公式求解即可【详解】（1）记“小陈同学有机会答题”为事件，所以，所以小陈同学有机会答题的概率是.（2）的所有可能取值为0，5，10，15，20，所以，，，，，所以的分布列为：X05101520P所以.22．已知函数有两个零点，.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求导，对参数分类讨论，通过导数研究函数的零点情况，求得参数取值范围；（2）方法一：由题意得，令，两式相除得，欲证，即证，即证，记，通过导数研究函数的最值情况，即可证得不等式；方法二：令，代入化简得，，将不等式转化为，即证.记，通过求导，并对导数中的部分函数求导研究原函数的最值情况，证得不等式.【详解】（1）解：的定义域为，.①当时，，所以在上单调递增，故至多有一个零点，不符合题意；②当时，令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增，所以（i）若，则，故至多有一个零点，不符合题意；（ii）若，则，，由（i）