高考研究报告-函数零点

函数零点问题的探究近年来，江苏高考始终保持对函数与导数部分的重点考查.函数的零点问题几乎是必考内容.高考中涉及到零点问题的有2013年江苏第19题，2014江苏第13题，2015年第13和第19题，2016年第19题，2017年第20题.此外还有2016年山东第15题，天津第14题，全国（=2\*ROMANII）第12题，全国（=2\*ROMANI）第21题，北京第20题，广东第19题，北京第14题，湖南第15题，天津第14题等.考题多以偏难或难题形式呈现.突破这一难点成为我们考得高分的有力保障.经过搜集、探讨、思索与总结，我把自己对这一类问题探讨的方法介绍给大家，为大家在高考中解决这类问题供应力所能及的一点帮助.一、引题（2013江苏高考）设函数，，其中为实数．（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．二、借助高等数学，分别参数，数形结合例题1（改编2013江苏高考）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为分析：分别参数得，转化为探讨函数与函数的交点有两个时，求的取值范围.画出函数的图像，采纳数形结合的方法.一个相识：当，时，，比如常见.这里，用到了高等数学中一个重要的法则——罗比塔法则（L'Hopital）设函数和满意下列条件：=1\*GB3①时，；=2\*GB3②在点的某去心邻域内和都可导，且的导数不等于0；=3\*GB3③时，存在或为无穷大.则时，.注：(1)本定理全部条件中，对的状况，结论依旧成立.(2)本定理第一条件中，时，结论依旧成立.罗比塔法则的简要运用：假如，，，那么.或者，假如，，，那么.变式1.（市摸底第20题改编）若对于随意，恒成立，则的取值范围为变式2.（周练十一第23题改编）若不等式对随意恒成立，则实数的取值范围为试一试：已知函数，当时恒成立，则实数的取值范围为当然我们也可以采纳其它的方法（如数形结合，零点存在性定理等）.三、巧用放缩，轻松运用零点存在性定理解答题中，运用数形结合不得分或少得分的问题摆在我们面前.比如：例题2已知函数，试探讨函数的零点的个数.分析：数形结合简洁，如图,可以看出共有两个零点.那么，解答题中我们应当如何处理呢？解：由题意得，（1）时，先减后增，，解得或（舍）即，故在上有一个零点；（2）时，=1\*GB3①时，无零点；=2\*GB3②时，先减后增，，所以，，令得，即，故在上有一个零点；综上可知，共有两个零点.下面我们利用放缩法探讨含有参数的函数零点问题.先熟识一个常用不等式.并记住它！例题3已知函数，试探讨函数的零点的个数，并说明理由.解：由题意得，（1）时，在上无零点；（2）时，在上单调递增，，当，令解得使得，故此时函数有一个零点；（3）时，所以，函数在单调递减，在上单调递增，=1\*GB3①时，无零点；=2\*GB3②时，一个零点；=3\*GB3③时，，又，上一个零点，当时，，令，，，所以，在也有一个零点.综上可知，时函数有2个零点.例题4已知函数有两个零点，求实数的取值范围.解：在这里，为了切合主题，我们探讨的状况.（1）当时，函数在单调递减，在上单调递增，而，还须要说明什么？（2）当时，，令，即，则，方程的根为，取小根恰好在之间，必有所以，函数在上有一个零点.综上，.例题5已知函数在上有且只有一个零点，求的取值范围.解：令,分别参数得，，设函数，则原题等价于在上有且只有一个零点，求的取值范围.，在上单调递减，单调递增，上单调递减，,当时，，故，令得即取有，所以在上有一个零点.所以，必有，解得.回到起先的问题，你能解决吗？已