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文档简介
第一单元函数的单调性
一、学习目的
通过本节课的学习,了解函数单调性的概念,同时还要掌握运用一阶导数对函数在某一区
间上的单调性的判别方法.
二、内容讲解
1.本章概述
从这一讲开始讲第3章导数应用.在上一章的总结中指出,导数是特别重要的,不仅在本
课程中有很多应用,并且在将来的工作中也有很多应用.
这一章中,重要讲导数在两方面的应用:
1.导数在研究函数时的应用;2.导数在经济中的一些应用
例1股市及股市曲线
在生活中,随着经济的发展,同学们或多或少都会接触股市.在股市上,人们特别关注股市
曲线,关心在哪一段时间股市在上升,哪一段时间股市会下降;或者在哪一个时间达成峰值,
哪一个时间达成低谷,低谷的值是多少?
例2生产场景及生产曲线
产量
在工业管理中,关心投入
与产量之间的关系,产量
随投入变化的情况,何时投入
在下两讲中就是要讨论这个问题.
2.单调性判别
下面一方面讨论
(-)定义3.1―函数的单调性.
什么叫函数的单调性?
1.1节中定义函数的单调性为:一个函数在一个区间之间随着自变量的增长,函数值也在
增长,叫做单调增长的;假如随着自变量的增长,函数值却在减少,叫做单调减少的.从函数自
身或图形,都能判断函数的单调性,但有时还需要用导数工具判别单调性.
先考察y=f,它的图形是抛
物线.
在x>0处,函数单调上升;
在“C八函断的涵KR冬
当在X〉0这一边的每一点处都
有切线时,切线的特性是:切线与X
轴正向的夹角一定小于90°.
当在x<0这一边的每一点处都
有切线时,
切线的特性是:切线与x轴正向
的夹角一定大于90。.
y'=2x
当尤>0时,y'=2x>Q
当x<0时,y'=2x<0
(二)函数单调性定理3.1
设函数y=f(x)在区间&句上连续,在区间(a,份内可导.
(1)假如无€(m6)时,则f(x)在[a,6]上单调增长;
⑵假如尤e(a力)时,则加)在[a,一上单调减少.
意义:运用导数的符号判别函数的单调性.
说明:(1)闭区间[a,切换成其它区间,如(a,b),(-8,加,3+8).
(2)使定理结论成立的区间,称为尸=/(力的单调区间.
问题思考:若在区间4切内,/'(X)三°,则/U)一定是什么函数?同学们考虑的怎么样呢?
下面请同学回答这个问题.
学生甲:由于这个函数的导数是0,所以这个函数也是0.
学生乙:我不批准这种说法.根据第2章所讲的导数公式,当函数是常数时,它的导数是
0.我认为问题中的/应当是常数C.
想一想:这两位同学中,哪一位回答是对的的?
在判断哪一位同学的回答是对的的之前,先复习定理3.1.
定理3.1设函数y=f(x)在区间上连续,在区间(a,8)内可导.
(1)假如尤e(a力)时,/(%)>(2)0,则/(x)在[a,例上单调增长(不减);
(2)假如“w(a,。)时,》(x)〈(如0,则f(x)在[a用上单调减少(不增).
“单调增长”与“单调不减”之间的区别在哪里呢?
单调增长是自变量变大,函数值也变大;而单调不减是自变量变大,函数值不变小,即函数
值也变大或函数值保持相等.所以,单调增长与单调不减是有一些差别的.
修改后的定理3.1如下:
定理3.1,设函数月U)在区间[a,b']上连续,在区间(a,b)内可导
(1)假如正伍,8)时,(Q)»0,则f(x)在[a,。上单调不减;
(2)假如%€(%6)时,则於)在[a,一上单调不增.
由此我们可以说第二位同学的回答是对的的,下面给出证明.
结论:若/'(x)三0,xe[a,b]/j/(x)=c.
证:/'(幻三°=>f(x)既单调不增又单调不减n八幻=c
问题思考:单调函数的导数也是单调的吗?请举例说明.
答案不一定.例如函数f(x)=x3在区间(一8,+8)内是单调增长函数,但是其导数((x)=3x2在
区间(-8,+00)内不是单调函数.又如g(x)=ex及其导数g'(x)=ex在区间(-8,+8)内都是单调函数.
三、例题讲解
例1判别13+1的单调性.
[分析]函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断,在学了定理3.1后,就
解::定义域为(-00,+°°),"(无)=3/>0,%€(—8,+8),且/0
二)在(-8,+8)上单调增长.
从图形上可以看出这个函数的确在整个定义域上是单调增长的.
例2求y=2x'-9『+12x—6的单调区间.
[分析]一方面求出定义域,再运用定理3.1(运用导数作为工具)判断该函数在哪个范
围内单调增长,哪个范围内单调减少,即判断在哪个范围内导数大于0,在哪个范围内导数小
于0.因此,规定出使导数等于0的点(分界点),再作判断.
解::定义域为(一°°,+°°),V=6%2-18x+12;
x2—3x+2=0;x-l)(x-2)=0;x\=1,X2=2
,单调增长区间为,+8);单调减少区间为[1,2].
y
在右图形中XI=1,0=2是分界点,在区间(一8,1]内,函数是单调增长的;而在区
间[1,2]内,函数单调减少;在区间[2,+8)内,函数是单调增长的.
y~
例3求.1+x的单调区间.
,(1+X)—X1
y=~~7\?2-\2
解:定义域为(-8,T),(—1,+8),(1+X)一(1+X)-
X(-8,一1)-1(-1,+8)
y'+X+
yXX
单调增长区间为(-8,-1),(-1,+°0)
从图形中看出,该函数的确在整个定义域内是单调增长的.
归纳:求函数单调区间的环节:
①拟定/(制的定义域;②求/'(X)=0和/(x)不存在的点,并组成若干子区间;
③拟定:(X)在每个子区间内的符号,求出f(X)的单调区间.
例4当x>0时,试证1n(l+
2
[分析]先建立一个函数尸(x),将问题转化为函数单调性讨论的问题;再运用导数判断F(x)
的单调增长性,得到要证明的结论.
1X2
1F\x)=-----(!-%)=——>0
证:尸(%)=ln(l+%)—(X-1)•••1+x1+x
,户(x)单调增长.又尸(0)=0,故当x〉0时,尸(x)>0;即ln(l+x)x-^x2.
四、课堂练习:求函数〃%)=x-e'的单调区间.
分析:求函数./U)的单调区间的环节为:1.拟定函数/(x)的定义域.
2.求出函数f(x)在其定义域内13)=。的点和导数不存在的点,将这些点由小到大排列,把定义
域提成若干子区间.
3.拟定了'(X)在每个子区间内的符号.通常的做法是:在该子区间内任取一点沏,鉴定广(xo)的符号,
由于/(%)在该子区间内单调,故的符号就是广(x)在该子区间内的符号.
4.根据每个子区间内,'(X)的符号,拟定f(x)的单调增减性,得到f(x)的单调区间.运用幕函数和指
数函数求导公式求之.
a,_ct—\f
[(1隔函数求导公式:若y=x,则y=ax;(2)指数函数求导公式:若丫=廿,则'=e\解:由于
xv
f(x)=x—e"的定义域为(-8,+8),且/(.=(x—e>)=-(e*,-1-eo]
五、课后作业
1.已知函数y=/(x)的导数如下,问函数在什么区间内单调增长?
(1)/(x)=x(x-2);(2)/(x)=(x+l)2(x+2);(3)/(x)=x3(2x-l);(4),(x)=——-~r
(x+1)
2.求下列函数的单调区间:
(1)式x)=f-5x+6;(2)f(A:)=—;(3)f(x)=x4—2x2+1;(4).4x)=x?—Inx
1(1)(一8,0],[2,+8);(2)[-2,+8);(3)(-8,0]15'+8)(4)(-1,+8).2.⑴(一00,*]是单
2
调减少区间,[g,8)是单调增长区间;(2)(-00,0),(0,8)是单调减少区间;(3)(—00,—1],[0,1]是单调减
少区间,[一L5JL+8)是单调增长区间;(4)(0,与-]是单调减少区间,[三,8)是单调增长区间.
第二单元函数极值
第一讶函数极值及存在条件
一、学习目的
通过本节课学习,理解极值概念和极值存在的必要条件,掌握极值的判别方法和极值的求
fe.
二、内容讲解
(1)极值概念
定义3.2——极值概念
设函数/(x)在点xo的某邻域内有定义.假如对该邻域内的任意一点x(x*xo),恒有/
(》产合)f(xo),则称f(xo)为函数"X)的极大(小)直称X。为函数"X)的极大(小)值点.
函数的极大值与极小值统称为函数的极值,极大值点与极小值点统称为极值点.
大家看下面这个图形:
在一个坐标平面中画出一条曲线,即给出一个函数,并找出一些特殊点XI,X2,X5
和两个端点.
哪些点是极大值点呢?可以看到小是极大值点,X4也是极大值点.
端点6是不是极大值点呢?极大值点是指它的函数值要比周边的值都大,而端点6的
右边是没有函数值,所以它不是极大值点.
再找一找哪些是极小值点?X2是一个极小值点,X5也是一个极小值点.
X3是极大值点还是极小值点呢?不是,它不是极值点,由于找不到一个小范围,使它的函数
值成为最大或最小.
(2)极值求法
下面运用这个图形来解决如何求极值点的方法.
分析函数在极值点处具有什么特性.
XI是极大值点,曲线在这一点处是较光滑的,切线是存在的,并且切线是一条水平线;X5
是极小值点,曲线在这一点处也是较光滑的,切线也是存在的,也是一条水平线.由此可得到,
若曲线在一点处是较光滑的,而这一点是极值点,那么它的切线一定是水平的,即它的导数
为0.
定理3.2一一极值点必要条件
假如点无。是函数f(X)的极值点,且/'(xo)存在,则/'(xo)=O使/'(xo)=O的点,称为
函数/(x)的驻点.
定理3.2表达,假如一个点是极值点,并且在可导的条件下,这个点一定是驻
这样,极值点可以在驻点或不可导点处找到.
说明:1.若/(X。)不存在,则X0不是.为X)的驻点.
2.定理3.2是极值存在的必要条件.
根据刚才的分析,函数的极值点或者是不可导点,或者是驻点.但是,驻点并不一定是极
y=^
值点.例如:函数在心=0
处,/(xo)=O,由图可知,xo=O不是极值点.
因此,请大家想一想:
极值存在的充足条件是什么?
回答这个问题之前,我们先借助于几何直观来分析.
从这个图形中很容易的看出,函数/(x)在点xo处达成极
大,xo是极大值点.当然,函数在这一点处切线是存在的,函数
在这一点是可导的,并且满足极值的必要条件/(xo)=0.
特性:点xo的左边曲线是上升的,即导数值大于0;右边
曲线是下降的,即斜率小于0.
由此可知,在可导的条件下,极值点的左右两边的导数符号
是不同样的.
从图形上显然看出xo也是极大值点,但在这一点处导数不存在,这个极大值点是不可导点.
特性:在点X0的左右两边的曲线都是可导的情况下,若点X0是极大值点,则它左边的导数
大于0,右边的导数小于0.
由这两个图可知,若xo是函数/(x)的驻点或不可导点,且在点xo的左、右两边的导数由
正变负,则XO是极值点,并且是极大值点.这一结论具有一般性,它是充足条件的一部分.
再看极小值点.从图中很容易发现X0是极小值点.由
于X。是/'(x)的可导点,所以满足极值的必要条件/(xo)=O.
若X0是极小值点,则它的右边曲线的斜率大于0,即导数值
大于0;而在左边,它的斜率小于0,即导数值小于0.所以,一
个驻点是极小值点时,它的左、右两边的导数符号也是不同样
的.
xo是这个函数极小值点,但是不可导点.它所具有的特性是:在可导的条件下,次右边的导
数大于0,xo左边的导数小于0.
归纳:只要次满足极小值点的必要条件,那么在xo左右两边函数可导的条件下,左右两边
的导数符号是不同样的,并且从左到右,导数的符号从负的变为正的.
在这种情况下,刈不是极值点.在3左右两边函数可导的条件下,两边的切线方向是一致
的.也就是说,尽管xo满足了极值点的必要条件/(刈)=0,但在次的左右两边,导数不变号,
因此可以肯定X0不是极值点.X0也不是函数的极值点,且在X0左右两边,导数的符号是同样
的.
由上面的分析可以归纳出判别极值点的充足条件.
y
定理3.3——极值点的充足条件
设函数/U)在点xo的邻域内连续并且可导(兀的可以不存在).假如在点工。的左邻域内
/'(X)>(<)0,在点xo的右邻域内/'(x)<(>)0,那么心是,无)的极大(小)值点,且/
(X0)是/(X)的极大(小)值.
假如在点X。的邻域内,/'(X)不变号,那么X。不是f(x)的极值点.
问题思考:若X。是f(x)的极值点,则一定有广(xo)=O吗?举例说明.不一定.例
如,1(左)=国,*6(—8,+。。),那么,40是/(X)的极值点.但在x=0处,/(X)不存在.
三、例题讲解
例1设函数产e'-x+l,求驻点.
[分析]驻点就是使导数等于()的点.
解:=ev—1,由,=ev-l=0,得x=0
注意:这里求出的40不能说是函数的一个极值点,只能说是函数的一个驻点.可导函数
『(xo)=O是点心为极值点的必要条件,但不是充足条件.
例2设y=x-ln(l+x),求极值点.
[分析]一方面求定义域,然后运用必要条件求驻点和不可导点,再运用充足条件进行判
别,拟定极值点.
yr=]-=0
解:定义域(T+8),-1+X,解得X=0(驻点)
X(-1,0)0(0,+8)
—0+
极小值点
在40的左右两边,V的符号由负变正,故x=0是极小值点.
例3设>=(/一尢+7求极值点.[分析]一方面求定义域,然后运用必要条件求驻点和
不可导点,再运用充足条件进行判别,拟定极值点.
解:定义域(―8,+8);y=x3-1,4o处导数不存在,*=1是驻点.
X(-8,0)0(0,1)13+8)
-X-
y'+0
极小值点极大值点
在1=0的左右两边,V的符号由负变正,故尤=0是极小值点;
在*=1的左右两边,V的符号由正变负,故x=l是极大值点.
3
yx___X-4--
例4设.34,求极值.
[分析]一方面求定义域,然后运用必要条件求驻点和不可导点,再运用充足条件进行判
别,拟定极值点,最后写出极值.
解:定义域(一心+⑹,在x=0的左右两边V同号,故x=0不是极值点;
在户1的左右两边,V的符号由正变负,故x=l是极大值点.
X(-8,0)0(0,1)1Q,+8)
yf++0—
极大值^2
求函数极值的环节:
(1)拟定函数/(九)的定义域,并求其导数广(龙);
(2)解方程/(x)=0,求出/(x)在定义域内的所有的驻点;
(3)找出/(X)所有在定义域内连续但导数不存在的点;
(4)讨论/(x)在驻点和不可导点的左、右两侧附近符号变化情况,拟定函数兀r)的极值点;
(5)写出函数/(x)的极值点和极值.
四、课后作业
1.求下列函数的极值:
3-16
(1)/(x)=—X3-x;(2)f(x)=x9+—;(3)式工)=%2_1n(1+%);(4)f(x)=x2e-x
4x
y(l)=-l
1.⑴极小值4;(2)极小值.(2)=12;
,ZV3-1..V3.1+M
2222
(3)极小值;(4)/(0)min=0,/(2)max=4^
第二艺函数最值
一、学习目的
通过本节课学习,了解最大值、最小值的概念,知道极值与最值之间的关系,掌握最大值、
最小值问题的解决方法,纯熟掌握解决一些应用问题的方法,特别是求解经济应用问题最值的
方法.
二、内容讲解
1.最大值、最小值及其求法
(1)极值与最值的区别:
极值是在其左右小范围内比较;最值是在指定的范围内比较
所以,说到最大(小)值,要使问题提得明确,就必须明确指定考虑的范围.假如在指定的范
围内函数值达成最大,它就是最大值.
这个函数在区间[a,b]内的极大值点是Xi,1;极
小值点是X2,Xs.现在要问这个函数在闭区间[“,6]上最
大值点是哪一个,那么应当是整个指定区间上曲线最
高处的点就是最大值点.从图中可以看出,端点6处的
X函数值最大,所以点。就是该函数在区间[。,6]上的最
大值点.
y
同样,从图中可以看出即是区间[a,6]上最小值
点.
若将人点往左移至与,从图中可以看出,最大值点是
九4,而最小值点仍然是尤2.
若将区间改为[々,%],则最大值点仍然是X”,最小
值点仍然是X2.
明确了最值点与极值点的区别后,最值点的求法
也就较容易得到了.
函数在吊力]上的最值点一定在端点、驻点和不可导点中.
(1)端点:a,b;(2)驻点:使/(x)=0的点;(3)不可导点:/(x)不存在的点.
2.函数的最值概念(定义3.3)
最值的求法:①极值是在局部范围内比较;②最值是在指定的范围内比较.
求函数最值的环节:
①求导数7%);
②解/(%)=0,求出f(无)的驻点;
③找出/(x)连续但/'(x)不存在的点;
④比较/(x)在驻点、导数不存在点和端点处的值,拟定最大值和最小值.
问题思考:函数最值一定是函数极值吗?何时极值一定是最值?
极大(小)值只是在极值点附近的局部最大(小)值,而最大(小)值是整个区间上的最大(小)值,它也
许在区间的端点处达成.因此,最大(小)值不一定是极大(小)值.
若于(X)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且/(X)在[a,b]上有唯一极大(小)值点,则fM在
■,刃上的极大(小)值就是最大(小)值.
三、例题讲解
例1求y=/一3f-9x+5在[-4,4]上的最大值和最小值.
[分析]也许成为最值点的是端的、驻点和不可导点.因此,先求驻点和不可导点,再比
较这些点和端点处的函数值的大小,拟定最大值和最小值.
解:y=3x2-6x-9=3(x'-lx-3)=3(x+l)(x-3)=0xi=-1,x
2=3
-4-134
y-7110-22-15
所以,最大值为y(-1)=10,最小值为y(-4)=-71.
说明:不用判别T,3是否为极值点,只要计算-4,-1,3,4处的函数值,拟定最大值和
最小值.
\_
例2求产x(x—l)3在12,2]上的最值点.
3——x=-
解:(X-1)=(尤-1)・=0,4(驻点),且尤=1处导数不存在,所以,最小值
2
点为尤=4,最大值点为尤=-2.
2
-212
4
31-3
y一2(-3户4(-4)02
44
例3将边长为30cm的一块正方形铁皮的四角截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折
所以心=5是V的极大值点,也是V的最大值点.即截掉的小正方形边长5cm时,所得方
盒的容积最大,最大容积为V=5(30-10)2=2023cm3
说明:
1,解应用问题,一方面要建立数学模型,建立模型的第一步是设变量,再用这个变量把
问题用数学语言描述出来.
2.假如F(x)在出,句上连续,在(a力)内可导,并且/是/(x)在(a,8)内的唯一驻
点,那么当xo是/(x)的极值点时,次一定是/(x)在出⑶上的最值点.
四、课堂练习
1.求下列函数的最大值和最小值:
X21
77~[一~JJ
(1)F(x)=x+«l—x,[-5,1];(2);(x)=l+x2
2.求200m长的篱笆所围成的面积最大的矩形尺寸.
3.在半径为R的半圆内,内接一矩形,问①矩形的边长为什么值时,矩形的面积最大?②矩
形的周长最大?
1.(1)最大々)一最小/(-5)=疾-5:⑶最大"5)一,⑴一5,最小f(o)=o.
2.当矩形的长和宽都是50nl时,围成的面积最大.
当
3.①当矩形的长和宽分别是正R和2时,矩形的面积最大;
②当矩形的长和宽分别是半氏]/?时,矩形的周长最大.
第三单元导数在经济分析中的应用
毅一艺边际与边际分析
一、学习目的
通过本节课学习,了解边际成本、边际收入、边际利润的概念,会求成本、收入、利润等
经济函数的边际值和边际函数.
二、内容讲解
边际与边际分析
定义3.4——边际成本
在引进导数概念时,我们己经接触过边际成本概念,譬如说在连续化生产的工厂中,可
以知道总成本与总产量之间的函数关系,由此可以求出平均成本,即总成本除总产量就是平
均成本.同时又引进了边际成本的概念,就是总产量达成一定期刻,再增长生产一个单位产
量时,单位成本增长量.下面具体看一个例子.
c(q)
q——产量;c(q)——成本函数;q——平均成本函数
c'(q)—产量为。时的边际成本函数
经济意义:产量为4时,再生产一个单位产品所增长的成本.
定义3.5一—边际收入
收入是销售量或产量的函数,因此也就有总收入、平均收入、边际收入等函数.设4一一销售
R⑷
量;氏①)——收入函数;q——平均收入函数
R'(q)——销售量为q时的边际收入函数
经济意义:销售量为。时,再生产一个单位商品所增长的收入.
定义3.6——边际利润
想一想利润是如何产生的?
已知成本c⑷,收入R⑷,那么利润W)=R⑷-C(“)
且边际利润L'(q)=R'(q)-c(q)
想一想边际利润的经济意义是什么?
这堂课我们讲了三个问题,即:
成本函数的导数称为边际成本;
收入函数的导数称为边际收入;
利润函数的导数称为边际利润.
思考题:当边际利润大于0,即“①。)>°的意义是什么?
答案:关于利润〃/,若"(%)〉(),即在销售量为4。时的边际利润大于0,它意味着增
长销售量,利润还能增长.
问题思考:平均成本与边际成本有何区别?
平均成本e是在不同的产量下每单位产量的成本,它是产量在范围[o,q]内的平均.边际成本c是产量
为4单位时,成本C0)的增量AC与产量的增量△4的比值当△"-()时的取值,也就是产量为“单位时总成
本C(4)的瞬时变化率.
三、例题讲解
例1一公司的每日成本C(千元)是日产量q(台)的函数。囚)=4()0+24+5而,求:(1)
当产量为400台时的成本;(2)当产量为400台时的平均成本;(3)当产量由400台增长到48
4台时的平均成本;(4)当产量为400台时的边际成本.
解(1)当产量为400台时的成本为:C(400)=4(X)+2x4(X)+5VW=i300(千元)
C(400)=1300=325
(2)当产量为400台时的平均成本为:400一年一'(千元/台)
(3)当产量由400台增长到484台时的平均成本:
C(484)-C(400)1478-1300,
---------------------=---------------=2n.1119A
484-400484-400(千元/台)
C'(q)=(400+2g+5旧=2+
(4)当产量为400台时的边际成本为:2羽
Cf(400)=2+:“=2.125
所以,2JOO(千元/台)
例2某产品的销售量4与单位价格P之间的关系为4=1200-3p
(1)写出收入函数R与夕之间的关系;
(2)计算销售量达成300时的收入;
⑶销售量由300增长至360时,收入增长了多少?
(4)在这个过程中平均多销售一单位时,收入增长多少?
(5)求销售量为300时的边际收入.
11
27
/?(?)=pq=~(1200-q)q=400q--q
解:(1)收入函数R与4之间的关系为:
1,
/?(300)=400x300——x3002
(2)销售量达成300时,收入为:3=90000
(3)销售量由300增长至360时,收入增长了:氏(360)一夫(300)=100800-90000
(4)在这个过程中平均多销售一单位时,收入将增长:
R(360)—R(300)10800
--------------------=---------=180
360-30060
12
R'(q)=(400q——q2)'=400——q
(5)由于33
所以,销售量为300时,边际收入为:R'(300)=200
例3某公司天天的产量均能售出,售价为490元/吨,其每日成本C与每日产量"之间的
函数为C(q)=2000+450^+0.02^
(1)写出收入函数;(2)写出利润函数;
(3)求利润函数的导数,并说明其经济意义.
解⑴收入函数为:R(4)=490q
(2)利润函数为:L(q)=H(4)-C⑷=4904-(2000+450q+0.02/)
=-2000+40^-0.02<72
(3)利润函数的导数为:〃⑷=(一2000+40"0.02q2),=40_()Eq
利润函数的导数称为边际利润,其经济意义为:当产量达成4时,,再增长单位产量后利润
的改变量.
例4某厂每月生产q(百件)产品的总成本为。⑷=4?+2乡+100(千元).若每百件的销售价格
为4万元,试写出利润函数,并求当边际利润为0时的月产量.
解:已知4(百件),C①)=/+24+100(千元),,=40(千元/百件)
(1)利润函数为:必)=40"(/+2”100)
(2)边际利润为〃①)=40-(2q+2)=38-24
令Z/(q)=0,即//(4)=38—2<7=0,得4=19
请大家从上述例题中归纳边际函数与导数的关系.
四、课堂练习
R(g)=800”JqNO)
某种产品的收入R(元)是产量g(吨)的函数4求:(1)生产200吨
该产品时的收入;(2)生产200吨到300吨时收入的平均变化率;(3)生产200吨时的边际收
入.
800(/--
分析:求产量为4=200吨时的收入只需将4=20°代入收入函数??(<7)=4求之;求产量从200
吨到300吨时的收入的平均变化率,只需先分别求出产量为200吨时的收入,产量为300吨时的收入,然后
AR(q)R(300)-R(200)
运用平均变化率公式=300-200求之.求产量为4=200吨时的边际收入,只需先求出边际
收入函数*⑷,然后将q=200代入边际收入函数R'(q),求出农仁⑼.
五、课后作业
1.某工厂每日产品总成本。(百元)与日产量q(kg)的关系为C⑷=4q+2北+500
求日产量为900kg时的边际成本.
2.某厂每月生产q(百件)产品的总成本为C(q)=/+2q+10O(千元).若每百件的销售价格
为4万元,试写出利润函数£(q),并求当边际利润为()时的月产量.
4—2
L30百元/kg.;2"⑷=3的-「100/=19百件
第工艺需求价格弹性
一、学习目的
通过本节课学习,了解需求弹性的概念,会求需求价格弹性.
二、内容讲解
定义3.7——需求价格弹性
设某产品的单位售价夕,该产品市场需求量q,则它的需求函数为GF(p)
需求函数的导数为:q'(p)
价格由。增长到p+、P,则需求由4(/?)增长到式夕+△〃).
△Pq(p+Ap)-q(p)
价格提高的比例p,需求改变的比例勺⑺
两个百分数之比(平均比率)
瞬时比率,即当八八。时,对需求影响的比例为
11m上x45+即…⑺J,(P)
Mq(p)△〃=4(,)=Ep
称为需求价格弹性,简称需求弹性,记为J.
边际问题和经济分析中的最值
边际成本、边际收入、边际利润;经济应用中的平均成本最小,收入、利润最大的问题.
需求价格弹性一一需求的变化是依赖于价格变化的,即当价格提高1%时,需求的变化是
比例.
问题思考:请写出需求价格弹性公式,解释它的经济意义.
需求价格弹性的公式是Ep=q(p)经济意义是:当价格下降(上升)1%时,需求将增长(减少)
的比例.
三、例题讲解
例1已知需求量g(单位:百件),价格〃(单位:千元),需求价格函数为:
式p)=15e3,2e[3,10],求当p=9时
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