电教论文：用几何画板解析几何知识

021年安徽省中小学电教论文

用几何画板解析几何知识蔡丽

（六安市梅山路小学，2369402056@）

摘要：2011

版《义务教育数学课程标准》中指出：数学课程的整体设计应充分考虑现代信息技术对教学方式的改进，在信息技术辅助下建立更为开放多元的老师与学生

以及学生与学生之间的关系，激发学生的学习兴趣和学习积极性。本文通过几何画板软件来辅助整理复习教学，试图通过几何画板易交互性与形象直

观性来突破教学重难点，展示知识间的内在联系，渗透数学基本思想；培养学生的空间观等。

关键词：几何画板整理复习

动态演示

交流探究2011版《义务教育数学课程标准》中指出：数学课程的整体设计应充分考虑现代信

息技术的整合与应用基于信息技术丰富数学学习内容，开发适合学生数学学习的资源，应用信息技术手段帮助教师教学和学生学习，把信息技术作为教师教学的实用载体，提

高工作效率，同时也把信息技术作为学生日常学习数学和解决有关数学实际问题的得力助手，提高学习的有效性；应用信息技术改进教师教学与学生学习的方式，方便教师教

与学生学，不受时空的限制，突破原有教育环境的约束，建立更为开放多元的师生、生生关系，激发学生学习数学的兴趣，使学生积极主动地投入到现实的数学学习，在数学

知识的海洋中探索。下面以多媒体工具《几何画板》在小学数学《平面图形的面积整理复习》为例，来

说说我是怎么利用它来提高课堂效率，较好地引导学生在新的情境中进行思考、探索，使学生亲身体验“做数学”的一些具体做法和思考。

一、在点线运动中，了解知识来龙去脉六年级学生已了解面积与物体表面大小的联系，复习课开始导入是从学生薄弱的几

何知识的角度导入，如（图1、图2），通过点动成线，线动成面的转化，让学生体验平面图形知识之间的联系，让学生了解知识的来龙去脉，形成知识的网络体系。

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图

1（点动成线）

图

2（线动成面）点和线，线和面看似是极其简单，要说清关系却不容易。关键在于这个“动”，如

何动？如何描述才能让学生更深刻地理解。单纯靠讲，把一种抽象转化成另一种抽象是比较费劲的。基于几何画板，能够直观地展示点线运动的轨迹，揭示点与线、线与面之

间的关系，让学生亲眼感受到线是由无数个点组成，面由无数条线组成，而且它们不同的运动方式产生不同的线与面。从而把点线面的关系清晰完整地展示出来。

二、在平面图形之间的相互转化中，掌握知识间的内在联系整理复习课的一个重要特点就是要建构网络，新课往往是单个知识点学习，因此学

生常常“只见树木不见森林”，而整理复习课教学时，我们可以在学生已经掌握牢固基础知识点的基础上，引导学生联系各个知识点之间的关系，通过分析，判断和推理，构

建一个具有内在联系知识网络体系，达到融会贯通的高度。为了达到本节课教学目的，教师通过如下问题:你认为平面图形之间有什么联系？(前测问题第一题)

平面图形整理复习前测问题1234、你认为平面图形之间有什么联系？

、你能说说有曲线组成的圆和直线组成多边形的区别和联系吗?、圆的面积推导你还记得吗？怎样把圆分割才能更接近长方形？

、

你会做下面题吗？会做的同学能说清道理吗？（如下图

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首先，引导学生课前去思考、探索、分析与整理，在让学生把整理好的思路在复习课上充分交流、展示后，老师通过几何画板课件动态演示学生思考的过程，形象地展现

出平面图形之间联系，使零碎的平面图形的面积知识统一于梯形面积公式之中，提高学生的学习效率，同时培养学生发现问题、分析问题解决问题的能力。（如图3）

图3（梯形上底长度变化）当平面图形的某一种属性发生变化的的时候，就会由这种图形转变成那种图形，这

种变化我们就可以利用几何画板来实现了，以图3梯形为例，拖动其中的B点，改变其中的边的长短，就能变化成小学阶段四种常见的四边形，以及他们之间的关系。当然，

拖动也不是随意的而是让学生先思考再操作。比如：对于一个梯形的来说，要使它成为平行四边形，需要拖动B点向右移动a=12

厘米时，就形成平行四边形；要使平行四边

形变成长方形，只要拖动

A、B

点使线段

AE

与

BF

垂直两条平行线就有

4

个直角；要使梯形变成三角形只要B点向左移动a=0厘米就可以了。

接着，教师提问：“既然不同的四边形之间有着密切的联系，那么它们面积公式之间有什么联系呢？”

让学生分小组讨论、交流、探究。学生利用几何画板的动态操作演示，很快就发现面积公式之间的联系：当梯形的上底变成0的时候，四边形就变成了三角形了。梯形面

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积：

S=(a+b)h÷2。当

b=

0，即为三角形，面积公式

S

=

ah

÷2。当

a=b，即为平行四边形面积.面积公S=ab。

最后，“教师又提问:直线围成的平面图形之间（长方形、正方形、梯形、平行四边形、三角形）有密切联系，那么它们和圆有联系吗？（前测第二题）

虽然课前让学生进行预习，但是此题对于学生来说既抽象又陌生，能回答出正确结果的人很少，教师通过几何画板的迭代，边演示边启发，学生边观察边猜想，随着正多

边形的边由少到多，逐渐地线由直变曲，图形由方变圆。（如下图）课件演示(圆是一个无限正多边形)

直曲图4（正多边形向圆转化）

在一个圆内画一个内接正三角形，随着单击次数的增加，圆不变，其内接图形从正三角形变化为正四边形、正五边形、正六边形，一直到正十边形、正二十边形，等等。

在这一过程中，可以引导学生观察圆内空白部分的变化情况，感受到正多边形随着边数的增加，不断向其外切圆逼近，从极限思想上看，就逼近成一个圆。

到底有多接近，可以同时显示具体的数据体现正多边形与圆的接近程度。图形旁边呈现的是圆与圆内接正多边形的面积和周长。左边是图，右边是数，在左边图发生改变

的同时，右边的各相关数据也发生了改变，而在这改变的过程中，从形方面来说，内接正多边形的面积和周长都越来越接近圆，但到底是多接近，还是数方面更"入微"，数与

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形的结合充分说明圆与多边形之间的内在的关系，除了区别还有联系，当正多边形的变数越来越大时，它就越来越逼近圆。

几何画板把这种小学难以想象和体验的思想“入微”地展现在学生的眼前，当内接图形从正三角形变化为正四边形、正五边形、正六边形，一直到正十边形、正二十边形，

等等。在这一过程中，学生惊奇、兴奋地感受到正多边形随着边数的增加，不断向其外切圆逼近，多边形的周长和面积不断地向圆的周长和面积逼近。

这些给学生视觉、内心、思想产生巨大的冲击作用，产生了强烈的记忆，为平面图形之间内在联系编织了一个清晰的“网”。

三、在推导圆面积公式时，进行了数学基本思想的渗透《新课标》把小学数学基本思想作为小学数学“四基”教学目标之一，而圆的面积

公式的推导承载着较多的数学基本思想。比如类比思想、极限思想、由方变圆的辩证思想等等，这些思想体现了学生积累的数学素养，它们是一节《圆的面积》推导新课无法

渗透和了解的。因此，本节复习课的一个重点是数学思想的整理。研究《圆的面积》的推导，这不是简单的重复，而是利用推导圆的面积公式，加深数学思想的渗透，拓展学

生的数学文化的视野。如下图5（课件演示）

曲转化

直图5（圆向长方形转化）

在日常教学中，大部分教师推导的过程是这样的，他们先把圆的面积平均分成4份，再平均分成8份和16份，分完以后把它拼成一个平行四边形，教师让学生看图并引导

他们思考:如果再继续这样分下去，就会拼成一个非常接近平行四边形的图形，平行四边52021年安徽省中小学电教论文

形的底其是一条曲线，因为平均分成的份数很多，于是在老师的引导下，学生就会把平行四边形底这条曲线看成是一条直线了，于是把它看成是长方形，紧接着就推导出圆的

面积公式了。今天我们利用几何画板就不一样了，它直观形象，速度快捷，便于操作，利于学生理解，省时省力。所用的时间与平均分成的份数多少无关，利用几何画板来画

图都是轻而易举的事情，例如平均分成32份，48份，64份或者更多的份数，再合成一个平行四边形，分的份数越多，最后就越接近长方形，从而变成长方形了，老师边用几

何画板演示边让学生观察图形，也可以让学生来亲自操作，学生很是开心，记忆也深刻，直观形象易于理解，这样推导圆的面积公式就自然而然形成了！

在几何画板的辅助下，学生亲身经历了线由曲变直，图形由圆变矩，进而得出圆的面积公式推导过程，这对渗透转化思想和极限思想是大有好处的。

四、在三角形等积变换中，有针对性地突破知识难点——高复习的目的之一是查缺补漏，使学生融会贯通地掌握已学的内容。因此在选择范例

时要尽量针对本章节知识重难点，正视学生的起点，有的放矢，提高数学课堂效率。（如图6图①）课件演示

图①图②

A点左移

有难到易A点左移

A点左移图④

图③图6(三角形等积变化)

此题，全班65名学生，正确答案是36名，能说清道理不过20名。主要是对两个黑色三角形的底是未知数不能理解，认为缺少已知条件不能计算，能得出正确答案的学

生，一部分用特例法（把a点作为中间点，两个黑色三角形底都是2cm计算的）计算的。还有一部分成绩较优秀学生认为：两个黑色三角形等高，两个底之和是4厘米，所以用5×4÷

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2=10平方厘米得出结果可。是当老师问到为什么可以把两个黑色三角形底的和理解为是4

厘米，高是5厘米作一个三角形计算时，学生却认为两个黑色三角形边不相等无法合并成一个大三角形。只有一个同学认为可以用等底等高的三角形面积变换解决这个问题。教

师让这位学生上讲台，亲手把绿色三角形的顶点向左移动(如下图①-②-③-④)，最终两个黑色三角形合并成一个黑色的三角形，此时很多学生豁然开朗。（大梯形没有变，红色

三角形的顶点向左移动时，虽然绿色三角形的形状改变，但是底和高没有改变，面积也没有改变。因此梯形和绿色三角形的面积差也没有改变，于是得出图①的两个黑色三角形

的面积的和等于图④的一个黑色三角形的面积，而图④的黑色三角形底是

4cm，高是

5cm,面积很容易计算。）

教师选择这道平时学生错误率高、难理解，有着丰富变化的多边形例题。目的是通过考察学生对平面图形的“高”的掌握程度。“高”是小学生学习平面图形面积的最大

难点，而“高”的本质是否理解又直接影响平面图形的面积计算。可以通过几何画板简单的顶点移动，就直观地展现出等底等高红色三角形的等积变化，这对于学生理解“高”

有着很大帮助，所以说几何画板的辅助作用是不可估量的。五、在圆形动态移动中，培养学生的空间观念

我们在复习巩固课中选择例题时，要精心选择习题，题目的选择不宜太多，而且要精练，有代表性，典型性！也不能单一，要以中档题为佳，难度系数不宜太大，题目能

够激发学生强烈的求知欲和探求欲。遵循这一原则,为了让学生更好地思考，教师要选择一些有代表性的题目让我们师生来共同探索和研究，引导学生从中找出规律和方法，做

到以一通百。然后再举一些类似的例子，让学生进行训练巩固和探究，以开阔学生的视野和解题思路，让学生对学到的知识有新的收获，体会，从而进一步提高解题能力。教

师挑选的是两个大小不同的圆（如图7）。大圆半径是3厘米，小圆的直径4厘米。课件演示（先计算大小两个相离圆的面积）；然后向右移动小圆，再计算小圆和大圆相容

面积（圆环的面积、向右移动两个非同心圆的面积）；最后相交，求两个阴影的面积差）。相离

相容相切相交

图7几何画板可以动态演示这两个大小不同的圆位置关系，由易到难，由基础到拓展，

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层层深入，覆盖了《圆的面积》所学的内容，既照顾了各个层次的学生，又对学生的空间观念进行了针对性的培养，渗透变与不变的思想观念，为初中学习圆的知识作了有益

渗透和铺垫。几何画板突出的交互性、易操作性为数学教学过中新的数学教学理念提供了一个非

常理想的平台，让课堂教学充满了生机，用几何画板作为新的教学辅助工具，可以让学生亲自动手来进行操作，从而使学生轻松愉悦地获取新知识的体验过程！当然几何画板

不是万能的，虽然几何画板功能强大，但是教学要以服务数学教学为目标。不要以教学预设时做好的课件为教学线索，按部就班地播放，而是应该以课堂上学生即时生成的学

习状况为依据选择使用合适的课件，计算机的应用也是为了在正确的教学方向下朝着数学教学目标前进，如果教学目标不一致，效果反而事与愿违。

比如:我们在推导三角形的面积公式时，通常是把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，然后让学生思考一个三角形的面积就是平行四边形面积的一半，从而得出三

角形的面积公式等于等底等高的平行四边形的面积除以2。所以我们在用几何画板之前先让学生思考并用纸板拼合得出结论！只有