2023年九年级数学中考复习专题14中心对称图形讲义

2023年中考数学热点复习精讲第十四讲中心对称图形-平行四边形【命题趋势】中心对称图形-平行四边形主要包括平行四边形的性质与判定、矩形的性质与判定、菱形的性质与判定、正方形的性质与判定。在中考中，考查频率较高，考查形式多样，选择题、填空题和解答题都有考查，难度中等。【知识导图】【满分技巧】考向一：旋转与中心对称1.旋转的概念和性质将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.2.中心对称与中心对称图形一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心．成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．1．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转一个角度得到．若点恰好落在边上，且，则的大小是（）A．B．C．D．2．如图，中，，，，以B点为中心，将旋转至，点C的对应点为点E，若点E恰好在上，则的长为（）．A．2B．4C．6D．83．如图，经过旋转后到达的位置，，下列说法错误的是（）A．点是旋转中心B．是一个旋转角C．顺时针旋转，则至少旋转D．逆时针旋转，则至少旋转4．如图，与关于点成中心对称，下列结论中不成立的是（）A．B．C．点的对称点是点D．5．贵阳国际车展以“潮黔看驭未来”为主题，汇聚余个汽车品牌，为市民带来更炫酷、更极致的观展体验．下面是此次车展中的几个车标，其中是中心对称图形而不是轴对称图形的是（

）A．B．C．D．考向二：平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：4．判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.1．如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，若点的坐标是，点C的坐标是，则点的坐标是（）A．B．C．D．2．平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角相等C．对边平行且相等D．对边相等3．在四边形中，对角线相交于点O．给出下列四组条件：①，；②，；③，；④，．其中一定这个四边形是平行四边形的条件有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④4．如图，中，，垂足分别为，则（）A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm5．如图，四边形的对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（）A．，B．，C．，D．，考向三：矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.5.由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．1．下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．由两个全等的三角形拼成的四边形是矩形C．四个角都是直角的平行四边形是正方形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形2．如图，矩形中，交于点O，若，则的度数为()A．B．C．D．3．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为（）A．6B．C．12D．4．如图，四边形和四边形是两个矩形，点B在边上，若，，则矩形的面积为（）A．3B．C．D．65．已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（）A．当时，四边形是矩形B．时，四边形是菱形C．当时，四边形是菱形D．当时，四边形是正方形考向四：菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.1．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若，则∠ADB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°2．如图示，已知菱形的边长为6，，则对角线的长是（）A．8B．6C．4D．33．如图，在菱形中，，，，分别是菱形四边的中点，连接，，且，交于点，则图中共有菱形（）A．个B．个C．个D．个4．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形C．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是矩形D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形5．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，连接，若，，则的长为（）A．B．C．D．考向五：正方形1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.1．如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的边长为（）A．B．C．D．2．正方形边上有一动点E，以为边作矩形且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（）A．保持不变B．一直变小C．先变小后变大D．先变大后变小3．如图，将正方形纸片按如图折叠，为折痕，点落在对角线上的点处，则的度数为（）A．B．C．D．4．如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的的是（）A．，B．C．，，D．，5．如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（）A．1B．C．D．考向六：中位线（一）三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.3.三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.4.，每个小三角形的面积为原三角形面积的.5.三角形的中位线不同于三角形的中线.（二）顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状1.顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.2.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.3.顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.4.顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.1．如图，菱形的两条对角线，相交于点，是的中点，若，菱形的面积为，则长为（）A．B．C．D．2．下列命题正确的是（）A．每个内角都相等的多边形是正多边形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分3．连接菱形各边中点，可得到的“中点四边形”是矩形，主要是因为（）A．菱形的四条边都相等B．菱形的对角线互相垂直C．菱形的对角线互相平分D．以上答案都不对4．（2022·云南昆明·一模）如图，小甘为测量池塘边A，B两点间的距离，在线段AB一侧选取一点P，连接PA并延长至点M，连接PB并延长至点N，使得AM＝PA，BN＝PB．若测得MN＝8m，则A，B两点间的距离为（）A．16mB．6mC．4mD．2m5．如图，菱形的对角线、相交于点，、分别是、边上的中点，连接，若菱形的周长为，，则（）cm．A．B．C．D．28【模拟检测】1．（2022·江苏·苏州市振华中学校模拟预测）在下列性质中，平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．内角和为2．（2022·四川达州·模拟预测）顺次连接四边形四边中点所得的四边形一定是()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形3．（2022·山东省淄博第六中学模拟预测）如图，在图1中，、、分别是等边的边、、的中点，在图2中，，，分别是的边、、的中点，…，按此规律，则第n个图形中菱形的个数共有（）个．A．B．C．D．4．（2022·云南省楚雄第一中学模拟预测）已知平行四边形中，，则等于（）A．B．C．D．5．（2022·山东·阳信县实验中学模拟预测）如图，平行四边形中，的平分线交于E，，，则的长（）A．4B．5D．66．（2022·河南·郑州外国语中学模拟预测）如图，中的对角线相交于点O，点E、F在上，且，连接，下列条件能判定四边形为矩形的是（）A．B．C．D．7．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知菱形的对角线和的长分别为和，则菱形的面积是（）A．B．C．D．68．（2022·浙江·慈溪实验中学三模）两个全等的矩形和矩形如图放置,且恰好过点．过点作平行交于．知道下列哪个式子的值,即可求出图中阴影部分的面积（）A．B．C．D．9．（2022··模拟预测）如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长是______．10．（2022·辽宁铁岭·模拟预测）在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是______．11．（2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院模拟预测）如图，正方形的边长为4，将边绕点D顺时针旋转，得到线段，连接，过点A作交线段的延长线于点F，连接，若点M为线段中点，则点M与点C距离的最大值为_____．12．（2022·江苏镇江·一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．13．（2022·辽宁·丹东市第十七中学一模）如图，在中，点E在边上，连接并延长至点F，使，连接并延长至点G，使，连接，点H为的中点，连接．若，的度数____________．14．（2022·浙江·宁波外国语学校一模）如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，已知，，且，设，，则关于的函数关系式是______．15．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室二模）如图，在平行四边形中，，，．点为边上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段．若点恰好落在平行四边形的边所在的直线上，则的长为______________．16．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校一模）如图，将矩形纸片绕顶点B顺时针旋转得到矩形，取、的中点M、N，连接．若，．则线段长度的最大值为___________．17．（2022·吉林长春·模拟预测）【教材呈现】在华师版八年级下册数学教材第111页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直．【结论运用】(1)如图①，菱形的对角线与相交于点，，，则菱形的面积是；(2)如图②，四边形是平行四边形，点在上，四边形是菱形，连接、、，求证：；(3)如图③，四边形是菱形，点在上，四边形是菱形，连接，若，则度．18．（2022·浙江·慈溪实验中学三模）【基础巩固】(1)如图①，在四边形中，，，求证∶；(2)【尝试应用】如图②，在平行四边形中，点在上，与互补，，求的长；(3)【拓展提高】如图③，在菱形中，为其内部一点，与互补，点在上，，且，，求的长．【真题过关】1．（2022·辽宁朝阳·中考真题）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（）A．100°B．80°C．70°D．60°2．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（）A．B．C．D．3．（2022·湖南益阳·中考真题）1.如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（）A．5B．4C．3D．24．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．则四边形EFGH的周长为（）A．B．C．D．5．（2022·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE=1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）A．B．C．D．6．（2022·青海·中考真题）如图，在中，，D是AB的中点，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE中点，连接BF.若，，则BF的长为（）A．5B．4C．6D．87．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则_________．8．（2022·青海西宁·中考真题）如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则________．9．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为___________．10．（2022·辽宁大连·中考真题）如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．连接，若，，则的长是____________．11．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，AB＝2，BC＝3．按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN．若直线MN恰好经过点A，则平行四边形ABCD的面积是_____．12．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，AD＝4，AC，BD为矩形的对角线，E是AD边的中点，点F是CD上一点，连接EF，将△DEF沿EF折叠，当点G落在矩形对角线上时，则折痕EF的长是_____．13．（2022·辽宁辽宁·中考真题）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为_______．14．（2022·山东临沂·中考真题）如图，在正六边形中，，是对角线上的两点，添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是__________（填上所有符合要求的条件的序号）．15．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）如图，在平行四边形