中考数学中以三角形为框架的综合计算与证明专题训练与解析

数学专题之【以三角形为基础】精品解析

------------中考数学中以三角形为框架的综合计算与证明专题训练与解析

【100题精选】

1.（北京）在AABC中，BA=BC,NBAC=a,M是AC的中点，P是线段

BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2a得到线段PQ.

（1）若a=60。且点P与点M重合（如图1）,线段CQ的延长线交射线BM于

点D,请补全图形，并写出NCDB的度数；

（2）在图2中，点P不与点B,M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于

点D,猜想NCDB的大小（用含a的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的a,当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B,M

重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QD,请直接

写出a的范围.AA

MBQQ

CC

图1图2

解：（1）补全图形，见图1；ZCDB=30°

A（2）猜想：ZCDB=90°-a

证明：如图2,连结AD,PC

VBA=BC,M是AC的中点，ABMIACB,点D,P在直线BM上，APA

=PC,DA=DC又YDP为公共边，/.AADP^ACDP

C，NDAP=NDCP,ZADP=ZCDP

又：PA=PQ,.\PQ=PC图1，NDCP=NPQC,ZDAP=ZPQC

ZPQC+ZDQP=180°,，ZDAP+ZDQP=180°

.•.在四边形APQD中，NADQ+NAPQ=180。AZAPQ=2a,/.ZADQ=180°

—2a

1/.ZCDB=ADQ=90°-a2（3）45°<a<60°

提示：由（2）知NCDB=90o—a,且PQ=QDAZPAD=ZPCQ=ZPQC=2

ZCDB=180°-2aC•点P不与点B,M重合，，NMAD<NPAD<NBAD图

2.,.a<180°-2a<2a,.,.45o<a<60°

2.（北京模拟）已知，点P是NMON的平分线OT上的一动点，射线PA交直

线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B,且使NAPB+

ZMON=180°.

（1）求证：PA=PB；

1

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(2)若点C是直线AB与直线OP的交点，当SaPOB=3SaPCB时，求PC

的值；

(3)若NMON=60。，OB=2,直线PA交射线ON于点D,且满足NPBD=

ZABO,求OP的长.

TT

ONONO

备用图备用图

(1)证明：①当点A在射线OM上时，如图1

作PELOM于E,作PF_LON于F

T则NEPF+NMON=180°,/ZAPB+ZMON=180°,AZEPF=ZAPB

■:ZEPA.=ZEPF-ZAPF,ZFPB=ZAPB-ZAPF

:.ZEPA=ZFPB

OFBN'.,OP平分NMON,APE=PF

.,.△EPA^AFPB,APA=PB

②当点A在MO延长线上时，如图2作PE_LOM于E,作PFLON于F则N

EPF+ZMON=180°

ZAPB+ZMON=180°,/.ZEPF=ZAPB

VZEPA=ZEPF-ZAPF,ZFPB=ZAPB-ZAPF.\ZEPA=ZFPB

•..OP平分NMON,/.PE=PF.♦.△EPA组△FPB,：.PA=PB

(2)解：VSAPOB=3SAPCB,.•.点A在射线OM上，如图3

T

N

图1

T

F

图2

BN

1

VPA=PB,NPAB=NPBA=2180°-ZAPB)

O

图3

1

ZAPB+ZMON=180°,ZPOB=2MON

1

:.ZPOB=2180°-ZAPB),.*.ZPBC=ZPOB

T

又NBPC=NOPB,/.APOB^APBCPBAPC=

SA=3SAPBC

BN

(3)解：①当点A在射线OM上时，如图4VZAPB+ZMON=180°,Z

MON=60°

AZAPB=120°,/.ZPAB=ZPBA=30°,ZBPD=60°VZPBD=ZABO,

.,.ZPBD=ZABO=75°

2

O

B

DNT

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------------作BE±OP于E

VZMON=60°,OP平分/MON,.•./BOE=30。VOB=2,，BE=1,OE3,

ZOBE=60°/.ZEBP=ZEPB=45O,.*.PE=BE=1

.,.OP=OE+PE3+1

②当点A在MO延长线上时，如图5此时NAOB=NDPB=120。

VZPBD=ZABO,ZPBA=30°,，NPBD=NABO=15。作BE_LOP于E,

则NBOE=30。

VOB=2,；.BE=1,OE3,ZOBE=60°AZEBP=ZEPB=45°,.*.PE=BE

=1.,.OP=OE-PE3-1

T

图5

N

3.(北京模拟)已知aABC和ADEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共

直角顶点，连接AD、BE,F为线段AD的中点，连接CF.

(1)如图1,当点D在BC边上时，BE与CF的数量关系是，

位置关系是，请证明；

(2)如图2,把aDEC绕点C顺时针旋转a角(0°<a<90°),其他条件不变，

问(1)中的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正

确的结论并加以证明；BG

(3)如图3,把ADEC绕点C顺时针旋转45。，BE、CD交于点G.若NDCF

=30°,求CG及

AC

DC的值.

A

F

AAF

E

D图3

E

ED

图1

C图2

解：⑴BE=2CF,BE±CF

证明：:△ABC和ADEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点

AC=BC,DC=EC

/.△BCE^AACD,，BE=AD,NEBC=NDAC1:F为线段AD的中点，

/.CF=AF=DF=2AD

A

E

，BE=2CF

VAF=CF,/.ZDAC=ZACF

D

图1

3

C

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------------------VZBCF+ZACF=90°,AZBCF+ZEBC=900即BE_LCF(2)

仍然成立

证明：如图2,延长CF到H,使HF=CF,连接AH、DH:AFuDF,...四

边形AHDC为平行四边形/.AH=CD=CE,ZCAH=180°-ZACD

ZBCE=ZBCA+ZDCE-ZACD=180°-ZACDZ.ZCAH=ZBCE

XVAC=BC,/.ACAH^ABCE/.CH=BE>ZACH=ZCBE.*.BE=CH=

2CF

ZCBE+ZBCH=ZACH+ZBCH=90°即BELCF

(3)如图3,设BE、CF相交于点O,则NGOC=90。作BC的垂直平分线，

交BG于点M,连接CM则BM=CM,ZMBC=ZMCB,/.ZOMC=2ZMBC

VAC1DE,ZCDE=45°,AZDCA=45°VZDCF=30°,AZACH=ZCBE

=15°/.ZOMC=30°

设OG=x,则CG=2x,OC3x,BM=CM=3xOM=3OC=3x,MG=3x-x

=2x

，BG=BM+MG=23x+2x,BO=BM+MO=23x+3xBG3x+2x；.CG==3

+12x

F

E

图2

AF

D

图3

C

EN

BO23x+3x==3+20C3x

过E作BC的垂线，交BC的延长线于NBNBO

则RdBNEsRt^BOC,，EN=OC3+2

设EN=t,则CN=t,CE=2t,BN=(3+2)t,BC=(3+2)t-t=(3+l)t3+l)tBC6

+2

，CE==22t

AC6+2VAB=BC,CD=CE,；.DC=2

4

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------------------4.(上海模拟)如图，ZACB=90°,CD是NACB的平分线，点

P在CD上，CP=2.将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角

板的一条直角边与射线CB交于点E,另一条直角边与直线CA、直线CB分别

交于点F、点G.(1)当点F在射线CA上时①求证：PF=PE.

②设CF=x,EG=y,求y与x的函数解析式并写出函数的定义域.(2)连

接EF,当aCEF与4EGP相似时，求EG的长.

A

CEB

备用图

(1)①证明：过点P作PM1AC,PN1BC,垂足分别为M、NVCD是/

ACB的平分线，.*.PM=PN

由NPMC=NMCN=NCNP=90。，得NMPN=90。AZl+ZFPN=90°

VZ2+ZFPN=90°,.,.Z1=Z2/.△PMF^APNE,/.PF=PE

②解：VCP2,，CN=CM=1

VCF=x,APMF^APNE,/.NE=MF=l-x，CE=2—x

CFCGxCG

VCF//PN,，PN=GN,即1=CG+1

MG

C

NEB

x

/.CG=l-x

x

/.y=1—x+2—x(0<x<l)

(2)当ACEF与4EGP相似时，点F的位置有两种情况：①当点F在射线

CA上时

VZGPE=ZFCE=90°,Zl^ZPEGAZG=Z1,；.FG=FE,，CG=CE=

CP在RtaEGP中，EG=2CP=22②当点F在AC延长线上时

VZGPE=ZFCE=90°,.\Z3=Z2VZ1=45°+Z5,Zl=45°+

Z2,.*.Z5=Z2易证N3=N4,可得N5=N4

，CF=CP2,.,.FM2+1

易证△PMF丝4PNE,/.EN=FM2+1CFCG21-GN

VCF/7PN,，PN=GN,即1=GN

CEB

AM

1

C

GN

B

5

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----------------.\GN=2-1

；.EG=2—1+2+1=2

4

5.(上海模拟)已知AABC中，AB=AC,BC=6,sinB=5.点P从点B出

发沿射线BA移

动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同,

PQ与直线BC相交于点D.

(1)如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；

(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E,当点P、Q在移动的过程

中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；(3)

如图③，当PQ经过AABC的重心G时，求BP的长.

B

图①

B

E图②

Q

Q

Q

解：(1)过P点作PF〃AC交BC于F•.•点P为AB的中点，...F为BC的中

点1

/.FC=2BC=3

B

F

Q

VAB=AC,.\ZB=ZACB：PF〃AC,/.ZPFB=ZACB/.ZB=ZPFB,

，BP=FP由题意，BP=CQ,.*.FP=CQVPF^AC,AZDPF=ZDQC

又NPDF=NQDC,.,.△PFD丝△QCD13

，CD=DF=2FC=2

图①

（2）当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变分两种情况讨论:

①当点P在线段AB上时

过点P作PF〃AC交BC于F,由（1）知PB=PFTPE1BC,，BE=EF

由（1）知4PFD之ZxQCD,CD=DF1

，DE=EF+DF=2BC=3

B

Q

图②

②得点P在BA的延长线上时，同理可得DE=3

二当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变（3）过点P作PEL

BC于E,连接AG并延长交BC于HVAB=AC,点G为AABC的重心，

AH±BC,BH=CH=3设AH=x,则AB=x+3=x+9

6

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4x4VsinB=5=5,解得x=4x+9

14，GH=3x=334设BP=t,则BE=5t,PE=5tQ3VBH

=DE=3,/.DH=BE=5tGHDH由△DGHSADPE,得PE=DE

43

35t533即4=3,解得t=3BP=3

5t

6.（上海模拟）如图，三角形纸片ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3.将

纸片折叠，使点B落在AC边上的点D处，折痕与BC、AB分别交于点E、F.

（1）设BE=x,DC=y,求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值

范围；

（2）当4ADF是直角三角形时，求BE的长；

（3）当4ADF是等腰三角形时，求BE的长

（4）过C、D、E三点的圆能否与AB边相切？若能，求BE的长；若不能，

说明理由.AA

D

BCBCE

解：（1）VBE=x,，DE=x,EC=3-x

在Rt^DEC中，DC+EC=DE

即y+（3-x）=x,...y=6x—9222222

当D与C重合时，x最小

3即y=6x—9=0,x=2

当E与C重合时，x最大，x=3

3.*.2<x<3A

(2)①当NADF=90。时，则FD〃BC

/.ZAFD=ZB,又•.,NEDF=NB

7D

BEC

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，NAFD=NEDF,，DE〃AB/.ADEC^AABC,:.

DE

EC

AB

BC

x

3—x

15

，即BE的长为

15

5

3

，解得x=

8

8

②当NAFD=90。时，则/BFE=/DFE=45。作EG1BF于G,则RtABEG

sRSAC

BG

EG

BE

BC

AC

AB

VZC=90°,AC=4,BC=3,/.AB=5/.

BG

EG

x

343

4

5

，，BG=

5

x,EG=

5

x

，FG=EG=4347

5

x,DF=BF=

5

x+

5

x=

5

x

由RtAADF^RtAABC,得

AD

DF

AB=BC

7

5

4-6x—9

x=

5

3

,即7x+36x—9-12=0

2

令6x—9=u,贝x=u

+9

6

2

.\7(u+92

6

)+3u-12=0,/.7u

+18u-9=0

解得uO(舍去)，u3

l=-3<2=

7

(32

/.x=

7

)

+9

=75

，即BE的长为

75

6

49

49

综上，当aADF是直角三角形时，BE的长为

15

75

8或

49

(3)①当AF=DF时，则/A=NFDAVZFDE=ZB,ZA+ZB=90°Z.

ZFDA+ZFDE=90°,即NADE=90°/.ED±AC,；.D与C重合/.x=133

2BC=2,即BE的长为

2

②当AD=DF时，则BF=DF=AD=4-

6x-9/.AF=5-(4-

6x—9

)=1+

6x-9

作DGLAF于G,则RtAADGsRt^ABCAG=ll

2AF=2(1+6x-9

)

8

A

D

B

E

C

A

B

E(D)

A

D

BEC

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------------------ADAB4-6x-95AG=AC1=4

21+6x-9)

27375375得6x—9=13,解得x=169,即BE的长为169

③当AD=AF时，则AF=AD=4—6x-9

ADF=BF=5-<4-6x-9)=l+6x-9A

作FH±AD于H,则RtAAFH^RtAABCAHFHAFAHFH4-6x-9/.AC=BC

=AB,.*.4=3=5

，AH=

16-46x-912-36x-9,FH=55

H

D16-46x-94+46x-9/.HC=4-=55

4+46x—94—6x—9；.DH=—6x—9=55BEC

在RtaDFH中，DH+FH=DF

2224-6x-9212-36x-922)+()=(l+6x-9)55

令6x—9=t,代入上式并化简得15t+130t—135=02

解得t=510-133

.\6x-9=510-13250-6510250-6510,解得x=,即BE的长为32727

3375250—6510综上，当4ADF是等腰三角形时，BE的长为2或169或27

(4)假设过C、D、E三点的圆能与AB边相切

「△DEC是直角三角形，，DE是圆的直径

AZDFE=90°,/.ZBFE=90°

，D点在AB上，不可能

...过C、D、E三点的圆不能与AB边相切(。0与AB边相离)

7.(上海模拟)如图，在RtZiABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,AD±

BC于D,点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且NEDF=90。，连接EF.

DE(1)求DF的值；

(2)设AE的长为x,ADEF的面积为S,求S关于x的函数关系式；

(3)设直线DF与直线AB相交于点G,Z\EFG能否成为等腰三角形？若能,

求AE的长；若不能，请说明理由.AAA

BDCBD

备用图CBD备用图C

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解：⑴VZBAC=90°,.,.Z1+Z2=9O°

VAD±BC,/.ZC+Z2=90o

.".Z1=ZC

VZEDF=90°,.,.Z3+Z5=90°VAD±BC,AZ4+Z5=90°

2AZ3=Z4FAAADE^ACDF

DEADAB63，DF=CD=tanNC=AC=8=4

B

DCAEDE3(2)VAADE^ACDF,/.CF=DF=4

444/.CF=3AE=3x,；.AF=8—3x

422526422AEF=x+(8—3x)=9x—3x+64

DEABDF=AC,ZEDF=NBAC=90°

.,.△DEF^AABC

EF，=SAABCBC

S2

1222VSAABC=2X6X8=24,BC=6+8=100

242526422128384AS=100(9x-3x+64)=3x—25x+25

22128384即S=3x-25x+250<x<6)

(3)假设AEFG能成为等腰三角形

当点G在AB延长线上时，由于NGEFN90。，所以只能EF=EG

Z.ZG=Z6

VADEF^AABC,/.Z6=ZC

VZ1=ZC,/.ZG=Z1

ADA=DG=DF,，EF=AB,AEF=AB

2526442，9x—3x+64=36,解得x=6(舍去)或x=2522FCG

D

42此时AE的长为25

当点G在BA延长线上时，由于NEFGN90。，所以只能FE=FG

.*.ZG=ZAEF10F

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DEDE1而tan/G=DG=DF+FG=4=3

5EF+EF

35EF

AFtanZAEF=AE=

48—3xx=24—4x3x

A24-4x124=,解得x=3x35

24此时AE的长为5

4224综上所述，4EFG能成为等腰三角形，此时AE的长为25或5

8.（上海模拟）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=5,D是BC

边上一点，CD=3,P是AC边上一动点（不与A、C重合），过点P作PE〃BC

交AD于点E.

（1）设AP=x,DE=y,求y关于x的函数关系式；

(2)以PE为半径的。E与以DB为半径的。D能否相切？若能，求tanNDPE

的值；若不能，请说明理由；

(3)将4ABD沿直线AD翻折，得到△ABD,连接EC、BC,当NACE=N

BCB'时,求AP的长.

A

P

CBCBDD备用图

解：(1)在RtZSACD中，AC=4,CD=3,AD=5A5-yAPAEx：PE〃BC,

；.AC=AD,即4=5P5；.y=—4x+5(0<x<4)

35(2)对于(DE,rE=EP=4x；对于。D,rD=DB=2；圆心距ED=-4x+5

CDB

35当两圆外切时，rE+rD=ED,；.4x+2=—4x+5

35解得x=2,/.PC=2

"."PE//BC,/.ZDPE=ZPDCA

11

P

CD

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PC5

/.tanZDPE=tanZPDC=CD=6

35

当两圆备用图(1)证明：:CP经过△

B

1

.,.CP=2AB=AP,/.ZA=ZACP

又•.•/ACP+NDCB=90°,ZCBD+ZDCB=90°/.ZCBD=ZA,又NBDC

=ZACB=90°.,.△BCD^AABC

(2)解：VBC=2,cotA=2,/.AC=4

过点P作PEIAC于E,则AP=5t,PE=t,AE=2tEC=4-2t,PCt+(4-2t)

由ZPCE=ZCBD,得RtACPE^RtABCD

D

P

B

12

A

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------------------SABC2S4Z.=(PC),即1=SACPEt+(4-2t)2(4-2t)t

8t-4t.\S=0<t<2)5t-16t+16

2

(3)①当PC=PB时，有

解得t=lt+(4-2t)=210-5t

8x1-4x14当t=l时，S==55xl-16xl+16

2

②当PC=BC时，有t+(4-2t)=2

6解得tl=5,t2=2(不合题意，舍去)

6当t=5时，S=6628x5-4x(5

6265x(5-16x5+1624=25(平方厘米)

424综上所述，当PC=PB时，ABCD的面积为5平方厘米；当PC=BC时，

△BCD的面积为25

平方厘米

10.(上海模拟)如图，在RtZ^ABC中，NACB=90。，CE是斜边AB上的中

线，AB=10,tanA4=3.点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQ_LCB,交

CB延长线于点Q.设EP=x,

BQ=y.

(1)求y关于x的函数关系式及定义域；

(2)连接PB,当PB平分/CPQ时，求NPE的长；

P于F,当aBEF和△QBFx的值.(3)过点B作BFLABPQ

BQCCBC

备用图

BC4解：(1)在RtZSABC中，ZACB=90°,AB=10,tanA=AC=3

B备用图

AC=6,BC=8

1VCE是斜边AB上的中线，，CE=BE=2AB=5

，NPCQ=NABC

13P

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-又NPQC=NACB=90°,/.APCQ^AABC8+yCQBC44

，PC=AB=5,即5+x=5

4

•*.y=5x—4(x>5)

(2)过点B作BHLPC于H

•.•PB平分NCPQ,BQ1PQ,，BH=BQ=y324424

VBH=5BC=5,；.5x—4=5

x=11

(3)VZBQF=ZACB=90°,ZQBF=ZA.'.△BFQ^AABC

当aBEF和aaBF相似时，则4BEF和AABC也相似有两种情况：

①当/BEF=NA时

5

在Rt^EBF中，ZEBF=90°,BE=5,BF=3y

P

F

C

544

；.3(5x-4)=35,解得x=10

②当NBEF=NABC时

5

在Rt^EBF中，ZEBF=90°,BE=5,BF=3y

P

FB

543125；.3(5x—4)=45,解得x=16

125

...当4BEF和4QBF相似时，求x的值为10或16

c

11.（上海模拟）如图1,在RtZ\AOC中，AO_LOC,点B在0C边上，0B=

6,BC=12,ZABO+ZC=90°,动点M和N分别在线段AB和AC边上.（1）

求证：△AOBs^cOA,并求cosC的值；

（2）当AM=4时，AAMN与aABC相似，求aAMN与AABC的面积之比;

（3）如图2,当MN〃BC时，以MN所在直线为对称轴将AAMN作轴对称变

换得AEMN.设MN=x,AEMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y,求y

关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

N

E

OCOCBB

图1图2

解：（1）•.•AOLOC,.•.NABO+NBAO=90°VZABO+ZC=90°,/.ZBAO

=ZC

14

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------------------VZAOB=ZCOA,.•.△AOB^ACOAAOB:

OA=OA:

OC

VOB=6,BC=12,：.6:

OA=OA:

18

AOA=63，AC=OC

+OA=

18

+(63)

=3

cosC=

OC

18

3

AC=

3

2

(2)VcosC=3

2,AZC=30°

VtanZABO=

OA

63

OB

63,ABO=60°

，NBAC=30。，，AB=BC=12①当NAMN=NABC时(如图1),AAMN

^△ABC

•.'AM=4,AS2222

△AMN:

SAABC=AM:

AB=4

12

=1:

9②当NAMN=/C时(如图2),AAMN^AACB

VAM=4,AS2222

△AMN:

SAABC=AM:

AC=4

：(3)=1：

27

(3)易得SU

△ABC

2BC2OA=

2x12x63=3

VMN//7BC,AAAMN^AABC

.\S2222

△AMN:

SAABC=MN:

BC,ASAAMN:

3=x

12

AS32

△AMN

4x

①当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F(如图3)：MN/〃BC,

.,.ZANM=ZC=30°ZANM=ZBAC,；.AM=MN=x

,/以MN所在直线为对称轴将aAMN作轴对称变换得aEMN/.ZENM=Z

ANM=30°,.,.NAFN=90°.>.MF=111

2MN=2AM=2

x

/.SAFMN:

SAAMN

=MF:

AM

.,.y32

=1

:4x

2x:x=l:

2

Ay=32

8x(0<x

<8)

②当EN与线段AB不相交时，设EN与BC交于点G(如图4);MN/〃BC,

ACN:

AC=BM:

AB

ACN:

123=(12-x

):12,/.CN=123-

3x

VACNG^ACBA,AS:SACNGAABC=CN:

BC

AS(3-3x)22

△CNG:363=:12

AS32

△CNG

4(123-3x

)

.\S3232

阴影=SaABC

SAAMN

SACNG

=3-

4x—4(123—3x

)

15

A

O

B

C

图1

A

M

O

B

C

图2

EO

B

C

图3

OC

E

图4

数学专题之【以三角形为基础】精品解析

2

即y=-3x+183x—3(8VxV12)12.(上海模拟)把两块边长为4的等边

三角板ABC和DEF如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC

边的中点重合，DF经过点B,射线DE与射线AB相交于点M.把三角板ABC

固定不动，将三角板DEF绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为a,其中(TVa

<90°,射线DF与线段BC相交于点Q(如图2).(1)当0。<(1<60。时，求

AM2CN的值；

(2)当0。<01<60。时，设AM=x,两块三角板重叠部分的面积为y,求y与

x的函数关系式并确定自变量x的取值范围；

(3)当BM=2时，求两块三角板重叠部分的面积.

E

DD

E

CNCBCF

图2图1备用图

F

解：(1)：aABC和4DEF是等边三角形，/.ZEDF=ZC=Z

■:ZADM+ZEDF=ZDNC+ZC,:.ZADM=ZDNC

AMADAAAMD^ACDN,；.CD=CN

.,.AM2CN=AD2CD

VAD=CD=2,/.AM2CN=4

（2）过点D作DPLAB于P,DQLBC于Q（如图1）可得DP=DQ=34

VAM=x,/.CN=x

32114

.*.y=SAABC-SAAMD-SACDN=424-2x3-2x23

323

.*.y=43—2x—xl<x<4）

图2

（3）①当M在边AB上时（如图1）VBM=2,/.AM=2,即x=2

，y=23,即两块三角板重叠部分的面积为3②当M在AB延长线上时（如图

2）

设DE与BC交于点R,过点D作DG〃BC,交AB于点G则BG=BM=DG

=2,，AM=6,BR=127

，CN=3,ARN=3

173

/.y=SADRN=233=6

16

数学专题之【以三角形为基础】精品解析

73综上所述，两块三角板重叠部分的面积为23和6

13.(上海模拟)如图，在4ABC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=2,CD

±AB,垂足为点D,点E、F分别在边AC、BC上，且NEDF=60。.设AE=x,

BF=y.

(1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)当4BDF是等腰三角形时，求x的值；

(3)以DF为直径的圆能否与AC相切？如果能，求tan/AED的值；如果不

能，请说明理由.

A

E

CBF

解：(1)如图，作DG_LAC于G,FHLAB于H,FKLCD于K

在RtaABC中，ZA=60°,AC=2,，AB=4,BC=23

13ACD=3,AD=1,AG=2,DG=2

13FH=2y,BH=2yAG

DH=KF=CF2cos30。=(BC-BF)cos30°

33=(23-y)x2=3-2yECFB

VZADG=30°,NEDF=60°,AZEDG+ZFDH=90°

又NEDG+NDEG=90°,.*.ZDEG=ZFDH

31

22yDGFH/.RtADEG^AFDH,/.EG=DH,即l=3x-23-2y

33.*.y=x+l

•.•当点E与点G重合时，点F与点C重合

1,自变量x的取值范围是2<x<2

(2)BD=AB-AD=4-1=3VZDFB>ZDCB>ZB,ADF/DB

3①当BF=BD时，x+l=3,，x=3—1

②当DF=BF时，则DH=BH,2BH=BD

17

数学专题之【以三角形为基础】精品解析

------------------3

即2x2y=3,：.y3

3

，x+l=3,.*.x=2

(3)作DG1AC于G,DH1BC于H,设以DF为直径的。O与AC相切于I,

连接01则01是梯形CFDG的中位线

113531

.,.OI=2CF+DG)=2(23-y+2)=4-2y

113

在RtADFH中，DH=2BD=24-1)=2

3

FH=|CH-CF|=|DG—CF|=|2一(23一y)|

33

=ly-2|

9332

由勾股定理得DF=DH+FH=4+(y-2)

2

2

2

由题意知DF=20L，DF=40193325312得4+(y—2)=4(4—2y)

22

39133

整理得23y=4,即y=8

3133111H9.*.x+l=8,/.x=13,/.GE=13-2=26

32DG133

.,.tanZAED=GE=9=926

14.(上海模拟)如图，P是线段AB上任意一点(不与点A、B重合)，分别

以AP、BP为边，在AB的同侧作等边aAPD和等边△BPC,连接BD与PC交

于点E,连接CD.(1)当BC_LCD时，试求NDBC的正切值；

AP

(2)若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求此时PB的值；

(3)记四边形ABCD的面积为S,当P在线段AB上运动时，S与BD是否

成正比例？若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，请说明理由.

BPP备用图

解：(1)•.•等边4APD和等边4BPC

18

2

B

数学专题之【以三角形为基础】精品解析

.,.PC=BC,ZCPD=60°,PD〃BC当BC±CD时，tanZDBC

=CDCD

BC

PC/.PD1CDCD3

PC

=sinZCPD=sin60°=

2AZDBC的正切值为3

2(2)由已知，CD2

,即

DE

CD=DE*2DBCD=

DB又NCDE=NBDC,.'.△CDE^ABDC:.

DE

CD

CE

CD

DB

BC

又CP=BC

CE

CE

BC

CP

VPD/7BC,

CE

BE

CP

BD

CD

CE

BE

DB

CP

BD

,.*.CD=BE

DE

BE

BE

BD

,即点E是线段BD的黄金分割点

DE

BE

5-1BE

BD

2

又PC〃AD

AP

DE

5-1

PB

BE

2(3)设AP=a,PB=b,则S3232

△APD=

4

a

,SABPC=4b

VAD/7PC,PD〃BC:.SA

AD

SA

PD

S

PC

△PDC,

SABPC

BC

SA

SA

S

,AS

3

△PDC

SAAPD2SABPC=

△PDCSABPC

4ab

AS=322

4(

a+ab+b

)

作DHLAB,则DH=31

2a,BH=2

a+b

/.BD22BH2321222

=DH+=

4

a

+(

2a+b)=a+ab+b

S

3

BD

4

AS与BD2

3成正比例，比例系数为

4

15.（上海模拟）如图，在aABC中，AB=AC=5,BC=6,D是AC边的中

点，E是BC边上一动点（不与端点重合），

19

P

B

D

E

C

H

数学专题之【以三角形为基础】精品解析

------------------EF〃BD交AC于F,交AB延长线于G,H是BC延长线上的点,

且CH=BE,连接FH.设BE=x,CF=y.

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)连接AE,当以GE为半径的。G和以FH为半径的。F相切时，求tanN

BAE的值；

(3)当4BEG与△FCH相似时，求BE的长.

DD

BCC

备用图备用图

CFCE解：(1)•.•EF〃BD,；.CD=CB

y6—x55即5=6,/.y=2—12x

2

(2)VCH=BE,BC=BE+EC,EH=EC+CH

Z.EH=BC=6

当以GE为半径的。G和以FH为半径的。F相切时，GE+FH=GF

又GE+FE=GF,，FE=FH

133x作FMLEH于M,则EM=2EH=3,MC=5y=2-4

A

3xVEM+MC=EC,；.3+2—4=6-x,解得x=2

DCH3648作ENIAB于N,则BN=5BE=5,EN=5BE=5E

PM619.\AN=AB-BN=5-5=5

EN8/.tanZBAE=AN=19

(3)作FP〃AG交BC于P,则NFPC=NABC

VAB=AC,.，.ZACB=ZABC

553xx；.NFPC=NACB,/.FP=FC=2-12x,EP=6-x-2(2-4)=3-2

：FP〃AG,/.APEF^ABEG

若△BGES^FCH,则△PEFS^FCH20

数学专题之【以三角形为基础】精品解析

------------------PECF

于是PF=CH,即55

212x

x3-2

55-

212x=x

150

解得x=6（舍去）或x=97

PECHx或PF=CF,即5=5552—12x2—12x

x3-2

解得x=2

150

综上所述，当4BEG与aFCH相似时，BE的长为97或2

16.（上海模拟）如图，^ABC中，ZABC=90°,AB=BC=4,点O为AB

边的中点，点M是BC边上一动点（不与点B、C重合），AD1AB,垂足为点

A.连接MO,将aBOM沿直线MO翻折，点B落在点B1处，直线MB1与AC、

AD分别交于点F、N.（1）当NCMF=120。时，求BM的长；（2）设BM

=x,y=

△CMF的周长

,求y关于x的函数关系式。并写出自变量x的取值范

△ANF的周长

围；

(3)连接NO,与AC边交于点E,当△FMCsaAEO时，求BM的长.

D

N

解：(1)VZCMF=120°,/.ZBMN=60°.,.ZBMO=30°

.•.RtAMOB中，BM=OB2cot30°=23(2)连接ON,VOA=OB=OB1,ON

=ON

ARtAANO^RtABlNO,NAON=NB1ON,AN=B1N又•.•/MOB1=/

MOB,AZMON=90°

VZOB1M=ZB=90°,/.△MBIO^AOBIN,

2

.*.OB1=B1M2B1N

又BlM=BM=x,OB1=OB=2

442

.*.2=x2BlN,/.BlN=x,/.AN=xVAD±AB,AZDAB=90°

又NB=90。，；.AD〃BC,AACMF^AANF

CM

BAOBC

D

BN

M

AO

BC

DN

B(FM

21

AOB

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△CMF的周长CM4-X12

•*.y==AN=4=—4x+x

△ANF的周长

x

12

即y=-4x+x(0<x<4)

(3)由题意知：ZEAO=ZC=45°

若△FMCS/XAEO,则有两种情况：NFMC=NAEO或NFMC=NAOE①当

NFMC=NAEO时，有NCFM=NAOEDC由(2)知NAOE=NB1OE=N

OMF

N

.,.ZCFM=ZOMF,，OM〃AC/.ZOMB=ZC=45°ARtAMOB中，BM

=OB2cot450=2

1

②当/FMC=NAOE时，VZAOE=ZOMF

M/.ZFMC=ZOMF=ZOMB=60°

3

.'.△MOB中，BM=OB2cot60°=3

AOB

23

综上所述，当△FMCs/xAEO时，求BM的长为2或3

3

17.（上海模拟）如图，在4ABC中，AB=AC=10,cosB=5,点D在射线

AB上，DE〃BC

1

交射线AC于点E,点F在AE的延长线上，且EF=4AE,以DE、EF为邻边

作C1DEFG,连接

BG.

（1）当EF=FC时，求4ADE的面积；

（2）设AD=x,DDEFG与aABC重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系

式；（3）当点F在线段AC上时，若ADBG是等腰三角形，求AD的长.

E

F

BCB

备用图解：（1）作AHLBC于H

BH3

在Rt^ABH中，cosB=AB=5,AB=10

C

，BH=6,AAH=8

VAB=AC,.\BC=2BH=121

ASAABC=2x12x8=48

1AE42

VEF=4AE,EF=FC,.*.AC=6=3

22

H

EFC

B

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SAADEAE24

VDE//BC,，△ADEs△ABC=(AC)=9SAABC

4464

Z.SAADE=9SAABC=948=3

(2)设AH交DE、GF于点M、NAEAMDE

•.•DE〃BC,/.AC=AH=BC

46

VAD=x,，AM=5x,DE=5x

11

VMN=4AM=5x

①当点F在线段AC上时

6162

/.y=SaDEFG=5X25X=25X(0<X<8)

B

G

N

EF

4

②当点F在AC延长线上时，则MH=8—5x

6424248

Ay=SDDECK=5X2(8-5X)=-25X+5X(X>8)

(0<x<8)综合得：y=

2448

—25x+5x(x>8)

2

6

2

(3)VBOAC,/.ZA>ZABC

•.•DG〃AC,ZBDG=ZA>ZABC>ZDBG.*.BG>DG

作FP_LBC于P,GQLBC于Q

543

在Rt^FPC中，FC=10-4x,sinC=sinZABC=5cosC=cosZABC=5

3639

，FP=8-x,PC=6-4x,.,.BQ=12-5x-(6-4x)=6-20x

Z.BG=

922

(8—x)+(6—20x)

A

1

在ADBG中，DB=10-x,DG=4x

1

①若DB=DG,则10-x=4x,解得x=8

EFPC

②若DB=BG,则10—x=

922

(8-x)+(6-20x)

BQ

560

解得xl=0(舍去)，x2=81

560综上所述，若ADBG是等腰三角形，AD的长为8或81

23

数学专题之【以三角形为基础】精品解析

118.（上海模拟）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,cosZBAC=3,点0

在AB上，且CA

=C0=6.将4ABC绕点A顺时针旋转得到△ABC，，且C落在CO的延长

线上，连接

BB,交CO的延长线于点D,

(1)求证：ACOA^ABOD(2)求BD的长.

BCA

(1)证明：VZBAC=ZB,AC\.,.ZCAC=ZB,AB,

1VAC=AC,,，ZACC=ZAC,C=2180°-ZCAC,)

1VAB=AB,,NABB，=NABB=2180。一NBAB。

，ZACC,=ZABB,

又NCOA=NBOD,/.ACOA^ABOD

(2)解：VCA=CO,ACOA^ABOD,，BD=BO

1VCOSZBAC=3,CA=CO=6,/.BA=18B1过C作CELAB于E,则

EA=3CA=2,OA=2EA=4

C.,.BD=BO=BA-OA=18-4=14A

19.(安徽)如图1,在AABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB

上，ABDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.

(1)求线段BG的长；

(2)求证：DG平分NEDF；

(3)连接CG,如图2,若4BDG与4DFG相似，求证：BG1CG.

AAEE

BCD

图1

(1)解：•.•△BDG与四边形ACDG的周长相等，且BD=DCBCD图224

数学专题之【以三角形为基础】精品解析

11

，BG=AG+AC=2(AB+AC)=2b+c)

11

(2)证明：•.•点D、F分别是BC、AB的中点，...DF=2AC=2b

111

又,；FG=BG-BF=2(b+c)-2c=2b

，DF=FG,.，.ZFDG=ZFGD

•.•点D、E分别是BC、AC的中点，；.DE〃AB/.ZEDG=ZFGD,/.ZFDG

=ZEDG即DG平分NEDF

(3)证明：•.•△BDG与4DFG相似，ZDFG>ZB,NBGD=NDGF(公共

角)ZB=ZFDG

由(2)知NFGD=NFDG,/.ZFGD=ZB,DG=BD

VBD=DC,，DG=BD=DC,；.B、G、C三点在以BG为直径的圆周上

ZBGC=90°,EPBG±CG

3

20.(浙江金华、丽水)在aABC中，ZABC=45°,tanZACB=5.如图，把

△ABC的一边

10

BC放置在x轴上，有OB=14,OC=334,AC与y轴交于点E.

(1)求AC所在直线的函数解析式；

(2)过点O作OGLAC,垂足为G,求aOEG的面积；(3)已知点F(10,

0),在4ABC的边上取两点P,Q,是否存在以O,P,Q为顶点的三角形与△

OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

103

解：(1)在RtZ\OCE中，OE=OC2tanNOCE=334x5=234,.•.点E(0,234)

设直线AC的函数解析式为丫=1«<+234,则

10343

+234=0,解得：k=-35

3

直线AC的函数解析式为y=-5x+234

EG3

(2)方法1：在RtZXOGE中，tanZEOG=tanZOCE=GO=5

设EG=3t,则0G=5t,OE=EG+OG=34t,，234=34t,得t=

2

25

数学专题之【以三角形为基础】精品解析

------------故EG=6,OG=10

11

/.S△OEG=2OG2EG=210x6=30

33

方法2：在Rt^OCE中，VtanZOCE=5,.，.sinZOCE=

34

103

，OG=OC2sinZOCE=334x=10