数学运算基础知识公务员考试

运用技巧计算

尾数法：

尾数法，顾名思义就是通过尾数来确定答案，尾数法在速算当中更多的是用于验证计

算结果的正确性，所以大部分题目的最重要条件就是4个选项的尾数不一样的时候才可以

用。故此公务员考试中的数学运算部分就全部为验证计算结果的题目，所以熟练运用尾数法

是可以使作答事半功倍的。

首先应该掌握如下知识要点：

2452+613=3065和的尾数5是由一个加数的尾数2加上另一个加数的尾数3得到的。

2452-613=1839差的尾数9是由被减数的尾数2减去减数的尾数3得到的。

2452X613=1503076积的尾数6是由一个乘数的尾数2乘以另一个乘数的尾数3得到的。

2452+613=4商的尾数4乘以除数的尾数3得到被除数的尾数2。(除法较特殊)

3、尾数法例1：有5个数的算术平均数为25,去掉其中一个数后，算术平均数为31,试问去掉那个数是多少？()

A.4B.3C.1D.2

【答案】C

【解题关键点】利用尾数确定结，25X5-31X4=1(尾数法)。

【结束】

4、尾数法例2：请计算的值是(1.2)2+(1.3>+(1.4)2()。

A.5.04B.5.49C.6.06D.6.30

【答案】B

【解题关键点】(Li)2的尾数为1,(1.2)的尾数是4,的尾数是9,(IM)?的尾数是6,所以最后的尾数

为的和的尾数即9,所以选B.

S、自然数、次方的期(变化情况知识要点

【答案】首先观察2”的变化情况

21的尾数是2,22的尾数是4；2,的尾数是S；2"的尾数是6；2,的尾数又是2；

我们发现2的尾数变化是以“4”为周期变化的即21、2\29•••24"*1的尾数都相同。

3"是以"4"为周期进行变化的，分别为3,9,7,1,…3,9,7,1；

7”是以“4”为周期进行变化的，分别为9,3,1,7,•••9,3,1,7；

8”是以“4”为周期进行变化的,分别为8,4,2,6,8,4,2,6;

4”是以“2”为周期进行变化的,分别为4,6,…4,6;

9"是以“2”为周期进行变化的，分别为9,1,…9,1；

5"、6"的尾数不变；

【结束】

9、尾数法例5：1988K9+1989^8的各位数是()。

A.9B.7C.5D.3

【答案】A

10、提取公因式

【答案】提取公因式进行简化计算式一个最基本的四则运算方法。在提取公因式的时候

一定要注意提取公因式选择的问题。

【结束】

11、提取公因式例1：(1X2X4+2X4X8+3X6X12)+(1X3X9+2X6X9+2X6X18+3X9X27)的值为多少？()

1197

A.—B.—D.—

3229UA29

【答案】C

8

【解题关键点】提取公因式,[2X4X(l+8+27)]+[3X9X(1+8+27)]=—

27

整体代换:

【答案】寻找一个比较接近的数，逋过一定的四则运算法则来替代原有的数从而达到简

单快捷的运算。

【结束】

12、提取公因式例2：a=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998,a的整数部分是()

A.44B.43C.45D.42

[答案]A

【做题关键点】整体代换

a=(9-0.2)+(9-0.02)+(9-0.002)+(9-0.0002)+(9-0.00002)=9X5-0.22222,显然这个数的整数部分是44.

【结束】

13、裂项相消

【答案】逋过观察题目，把数列的逋项拆分成两项的差，使求和时出现的一些正负项相

互抵消，使之消去一些项，从而达到求和的目的。

常用公式：1:---=---

w(n+l)nH=1

1111、

2:---------------=—(z-------------)

22n-l2n=l

1l11

3:---------------=—r[---------------------]

M(n+l)(n+2)2+(n+l)(n+2)

4：厂1斤=~^函一册)

7a+\ba-b

5：«•w!=(n-f-l)!-rt!

【结束】

1239

14、裂项相消计算例1：——+-------+-----------+……+-----------------的值为()

1x21x2x3Ix2x3x41X2X3X---X10

9!-1

A.10!B.10!-1C.——D.

10!10!

【答案】C

【解题关键点】裂项相消

原式=(1-----)+()++

1x2---1x21x2x3

10!-1

-----------------------------)=1----------------

1x2x3---x91x2x3x•••x101X2X3X---X1010!

【结束】

11111111w八

15、裂项相消计算例2：-+—+—+—+—+——+——+——的值是()

315356399143195255

6688

A.一B.——C.—D.

17191719

【答案】C

【解题关键点】裂项相消

11Q

本题可以拆成项化简1x（1-1+1

+++H------------)=-o选择C

23355-77-9151717

【结束】

16、错拉相减法

【答案】错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形

式。

【结束】

17、错位相减法例1：已知S=L+L+1+•.…+—,则$为（）

2482n

【答案】S=1-4

2n

【解题关键点】因为s=L+，+_L+.•…+-L,两边同时乘以J■得Ls=1+'+]-+……然后将两式

2482n2248162n+1

相减可得一S=-------r,所以S=1

222n12n

【结束】

复杂计算问题——基础学习

T比较两个数的差与o的大小

I比较两个数的商与1的大小I

比较大小问题

复杂|比较两个数的倒数|

计算问题

1寻找中间数以确定二者大小笑而

一、解答题

1、平均数问题例1：把自然数1，2,3,4,5•••・98,99分为三组，如果每组数的平均数恰好相等，那么此平

均数为（）

A.55B.60C.45D.50

【答案】D

【解题关键点】平均数问题

解析：每组的平均数相等说明平均数等于1〜99的平均数，1到99的平均数为（1+99）4-2=50,那么每组的平均数

为50

【结束】

3、均值不等式例1：已知a,b,c为不全相等的正数，则a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>()

.A.6abcB.7abcC.8abcD.9abc

【答案】A

【解题关键点】a2+b2>2"(当且仅当a=b时取"=”号)。

解析：观察要证不等式的两端都是关于a,b,c的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不

等式的特征。b2+c2>2bc,a>0,a(b2+c2)>2abc同理，b(c2+a2)>2bac,c(a2+b2)>2cab,又'."a,b,c不全相等,

上述三个不等式中等号不能同时成立，因此a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abco

【结束】

4、数列问题基础知识

【答案】一般而言，公务员考试中的数列问题仅限于数列的简单求和及其变化形式，一

般难度不大。考生只要很好地掌握基本公式，尤其是要学会运用等差中项的相关知识解题。

相关公式：

等差数列递推公式：an=a1+(〃-l)d=am+(n-m)d

等差数列求和公式：s”=nq+""I?"=

等差数列中项公式：2a“=

等比数列递推公式：

5、数列的求和例1：A,B,C,D,E五个人在一次满分为100分的考试中，得分都大于91的整数。如果A,B,C的平

均分为95分，B,C,D的平均分为94分，A是第一名，E是第三名得96分，则D的得分是()

A.96分B.98分C.97分D.99分

【答案】C

【解题关键点】平均数问题

解析;A,B,C的平均分为95分，那么A,B,C的和为285,B,C,D的平均分为94分，那么B,C,D的和为282,所以A

和D的差为3,显然B项和D项一定被排除，否则A的得分将大于100分，如果D等于96分，则意味D和E并

列得三名，则B和C中必然有一个为第二名，也即成绩要大于96分，则B和C中的另一个的成绩一定要小于91

分，显然不符题意，所以D的得分只能为97分，所以选C.

【结束】

6、数列的通项公式例1：有一串数，第一个数是6,第二个数是3,从第二个数起，每一个数都比它前面的那个数

与后面那个数的和小5,那么这串数，从第一个起到第400个数为止的400个数之和是()

A.1991B.1992C.1993D.1995

【答案】D

【解题关键点】考察数列的通项公式

解析：

法因为an=-1++1+5,所以a»+i=a»-a»-i+5，从第三个数起

。3=3-6+5,。4=。3—。2+5=4,。5=—。3+5=7前400个数的和为

S=。1+。2+。2—41+5+613—42+5++<7399—4398+=。2+。399+X观察通项公式

=2

4398=4397—0396+5=—4395+10=—(—4392+10)+10,多列几项会发现这个数列6项为一个循环。则a399-«3

所以前400个数的和为3+2+398x5=1995

法二：通过观察题目从第二个数起，每一个数都比它前面的那个数与后面那个数的和小5,即1。,一+5。

可以算出切=6,02=3,43=2,3=4,45=7,06=8,多列几项会发现这个数列6项为一个循环。因为

400=66x6+4,所以S=66x（ai+a2+a3+a4+a5+a（>）+ai+a2+a3+a4=1995

【结束】

7、比较大小问题基础知识

【答案】比较两个数的差与0的大小

作差法：

任意两数a、b,如果a-b>0则a>6;如果a-6<0则a<“如果a—3=0则a=b;

【结束】

13421

8、比较大小例1：比较大小,-----,----

12320I。

1321

A.

3101220

9〈-把〈1121

B.

3121020

21,11,13,4

C.

2010123

13,11,4,21

D.

1210320

【答案】D

【解题关键点】考察数列的通项公式

解析：原式等于比较一1二1厂「1入厂1的大小。因为一《<一」〈一上〈一工：即一士<一111321

77777--<----<----

123201031012203101220

所以选A

【结束】

9、比较两个数的商与1的大小

【答案】

商比法:

当a、b为任意两正数时，如果2>1则a>b；如果2<1则a<b;如果2=1则a=b。当

aaa

a、b为任意两负数时，如果2>1则a<b；如果2<1贝ija>b；如果2=1

aaa

则a=b»

【结束】

10、比较大小例2：比较二5与？4的大小。

127

54

【答案】—<-

127

543554

【解题关键点】解析：因为所以，—<-

12748127

【结束】

11、比较两个数的倒数

【答案】

倒数比较法：

两个分数中，倒数大的那个分数反而小，倒数小的那个分数反而大。

【结束】

12、比较两个数的倒数例1：比较1与9的大小。

87

【答案】->-

87

【解题关键点】比较两个数的倒数

解析：因为1的倒数是§=1+,，的倒数是1=1+,，而！<,，因此1>°。

8777667687

【结束】

13、寻找中间数以确定二者大小关系

【答案】

中间值法：

对任意两数a、b,当很难直接用作差法或者作比法比较大小时，我们通常选取中间值C.

如果a>c而c>b>则有a>b«

【结束】

o

14、寻找中间数例1：比较2和2的大小。

157

【…答案】一8>—3

157

【解题关键点】

解析：因为当>工，所以色>3。

15272157

【结束】

15、定义新运算问题基翩51识

【答案】按新运算规则逐步计算

定义新运算：

定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义，实质是给出了一种运算规则。

为防止发生混淆，新运算使用的符号一般不使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如

等。如定义的新运算：a*b=axb(a-b),其中新运算符号使用“*"，而等

号有边新运算的意义则用四则运算来表示。

定义新运算的要点：

(1)如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则

的前提下，不妨先化简运算式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。

(2那住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代人数值。

(3)定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没

有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题。

(4)一般说来，新定义的运算不满足运算定律，因此要特别注意题中所要求的运算顺序。

【结束】

16、定义新运算例1：已知a*b=/+2b—5,那么定*(6*11)+3的结果是多少?()

A.215B.273C.318D.385

【答案】B

【解题关键点】按新运算规则逐步计算

解析：。*匕=。2+28-5,那么6*11=62+2x11-5=53,13*(6*11)=13*53=132+2x53-2=270,所以

13*(6*11)+3=270+3=273。

【结束】

17、定义新运算例2：x2+5x+2=0,则x?+3的值为()。

x

A.21B.23C.25D.29

【答案】A

【解题关键点】按新运算规则组建方程

解析：由X2+5X+2=0可得X2=-5X-2,利用公式：

a2+b2=伍+6)2-2血工2+-4=(x+-)2-2x-=(^-^)2-4=(-)2-4=25-4=21［结束］

XXXXX

IS、公倍数公约数基础知识

【答案】

公约数与公倍数的相关概念：

(1玲约数：几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一

个称为这几个自然数的最大公约数。

(2公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。公倍数中最小的个

大于零的公倍数，叫做这几个自然数的最小公倍数。

要点提示

在有关最大公约数和最小公倍数的问题中，常用到以下结论：

(1)如果两个数是互质数，那么它们的最大公约数是1。最小公倍数是两个数的乘积。

(2)如果两个数中，较大的数是较小的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，

较大数是这两个数的最小公倍数。

(3)两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。

(4)两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积。

【结束】

19、公倍数公约数例1：先将线段AB分成20等分，线段上的等分点用标注，再将线段分成21等分，等分点

用“O”标注(AB两点都不标注)，现在发现“”和“O”之间的最短愈2厘米，间线段AB的长度为多少？

()

A.2460厘米B.1050厘米C.840厘米D.680厘米

【答案】C

【解题关键点】公倍数公约数

解析：20到21的最小公倍数是420,所以AB的长度为420X2=840厘米

［里束］

20、整除问题基础知识

【答案】

相关概念

整除：整数a除以整数b(b#0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b

整除(也可以说b能整除a)。

除尽：数a除以数b(b#0).商是整数或有限小数而没有余数时，叫做数a能被数b除尽，

或叫做数b能除尽数a。

约数、倍数：如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数.b就叫做a的约数。

一个自然数的约数的个数是有限的.其中最小的一个约数是1，最大的一个是它本身。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

整除规则

1:任何数都能被1整除。

2：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。

3:每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。

4:最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。

51个位上是。或5的数都能被5整除。

6:一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。

7:把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被

7整除。

8:最后t位能被8整除的数，这个数就能被8整除。

9:每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

10:若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除。

11:若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整

除。

12:若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

【结束】

22、整除问题例1：在1—300则300个自然数中，不能被7和9整除的数共有()个

A.42B.4C.33D.229

【答案】D

【解题关键点】整除规则

能被7整除的有42个,能被9整除的有33个,能被63整除的有4个，所以不能被7和9整除的个数为300-(42+33)

+4=229

【结束】

23、数码问题基础知识

【答案】

相关概念：逋过计算理解数码在书页中的理论知识。

页码是一位数时，每页都是一个数码。例如：第六页的数码就是1;第七页也是1;

页码是两位数时，每页都是两个数码。例如：第二十页的数码是2.

页码是三位数时，每页都是三个数码。例如：第一百六十页的数码是3.

在这里我们要寻找一些规律：

当书的页码是9页是，它的数码是9.

当书的页码是99页时，它的数码是189.

当书的页码是999页时，它的数码是2889.

这样我们就可以通过比较数码的大小来粗略的判断页码是几页、几十页还是几百页，从而

加快做题的速度。(公务员考试一般不会超过千页，同学们要放心。)

【结束】

24、数码问题例1：一本故事书的页码，在排版时必须用972个数码，问：这本书共有多少页？

【答案】360。

【解题关键点】一位数页数：9页(I23—9),二位数页数：90页(10111213—99)假设100页以后有X页，所

以1x9+2x90+3xx=972即x=261.所以总共的页数是9+90+261=360。

【结束】

25、数码问题例2：将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成•个大数：123456789101112…问:左起第2000位上

的数字是多少？

【答案】是0。

【解题关键点】本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码？”因为(2000—189户3=603……2,所以2000个

数码排到第99+603+1=703(页)的第2个数码“0”.所以本题的第2000位数是0»

【结束】

26、数码问题例3：从“1”一直写到“701”：12345678910111213...699700701。共有多少个阿拉伯数字?

【答案】1995.

【解题关键点】

解法一：

第1到第9,字符数有：9个

第10到第99,字符数有：90x2=180个

第100到第701,字符数有：(701-99)*3=1806个

因此数字有：9+180+1806=1995个

解法二：

由于一直是写道701,因此从100开始都是3个字符

因此我们将不是3个字符的1位数、2位数都补充成3位数

我们看，第1到第9,补充成3位数的话就是001——009,也就多了2*9=18个数字

1()到99,补充成3位数的话就是010——099,也就多了1*90=90个数字

因此就多了：18+90=108个数字

所以701页的书本的字符数有：701x3-108=(701-36)'3=1995个

【结束】

27、分段计算问题

【答案】

是指就是代数中的分段函数问题，解题的关键是正确的找出分段点，明确各分区间内数

值间的关系。

【结束】

28、分段计算例1：将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共6刀。问这样操作之后，原来的绳子

被剪成了几段？()

A.18B.49C.42D.52

【答案】B

【解题关键点】分段计算问题

剪6刀应该是7X8=56段，但是原来还有7断连续，所以是56-7=49段，所以选B.

【结束】

29、分段计算例2：某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠措施：①一次购买金额不超过1万元，不予优

惠；②一次购买金额超过1万元，但不超过3万元，给九折优惠；③一次购买金额超过3万元，其中3万元九折优

惠，超过3万元部分八折优惠。某厂因库容原因，第一次在该供应商处购买原料付款7800元，第二次购买付款26100

元，如果他一次购买同样数量的原料，可以少付多少元？。

A.1460元B.1540元C.3780元D.4360元

【答案】A

【解题关键点】第一次付款7800元，因此第一次购买的原料价值7800元(不打折)；第二次付款26100元，因此

第二次购买的原料价值26100+0.9=29000元(打九折)；所以两次购买的原料总价值为7800+29000=36800元。①0〜

30000元的部分，应付30000'90%=27000元；②30000〜36800元的部分，应付6800'80%=5440元。

综上，总共少支付(7800+26100)-(27000+5440)=1460元。

【结束】

比例问题一一基础学习

直接列出比例式求解问题

用比例法解分数应用题

比例问■

两个数量同时发生增减变化的比例问题

复杂比例问题

一、解答题

1、比例问题的基础知识

【答案】

1:比和比例主要包括：比、比例、比的基本性质、比的化简、比例尺、正反比例；

2：比表示两个数相除.两个数相除的结果，叫做比值；

3：表示两个比相等的式子叫做比例.明确：有两个比，且比值相等，就能组成比例；反之，

如果是比例，就一定有两个比，且比值相等.（比例由两个比组成，有四个数，是一个等式；

比是一个比，有两个数，不是等式）；

4：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积.这就是比例的基本性质；.

5：噌加（扩大）与减少（缩小）趋势相同的关系为正比例，增加（扩大）与减少（缩小）

趋势相反的关系为反比例

6：解决好比例问题，关穗要从两点入手：第一，“和谁比第二，“增加或下降多少

【结束】

2、直接列出比例式求解例1：车过河缴费3元，马过河缴费2元，人过河缴费1元。某天过河的车数：马数=2：9,

马数比人数=3：7,共收渡费315元，则车、马、人的数目分别是。（）

A.16,63,145B.16,63,147C.14,63,147D.16,63,156

【答案】C

【解题关键点】车：马：人=2：9：21,收费比为（3X2）：（2X9）：（1X21）=2：6：7,所以这天过的车数是

315X24-（2+6+7）+3=14,马有14+2X9=63匹，人有14+2X21=147人。

【结束】

3,直接列出比例式求解例2：两队参加竞赛，甲队平均分是13.06,乙队平均分是10.2,两队总平均分是12.02,

那么，两队人数比为（）。

A.1：1B.1：2C.3：7D.7：4

【答案】D

【解题关键点】两队人数比为（12.02—10.2）：（13.06—12.02）=1.82：1.04=7：4。

【结束】

4、直接列出比例式求解例3：已知；a:b=21:4,a:c=7:6,求a:b:c是多少？

【答案】a:b:c是21:4：18o

【解题关键点】a:b=21:4,a:c=7:6=21：18,故a:b:c=21:4：18

【结束】

5,直接列出比例式求解例4：科技组与作文组人数的比为9：10,作文组与数学组人数的比为5：7,求科技组、数

学组、作文组的人数比是多少？若数学组与科技组共有69人，求作文组的人数？

【答案】科技组、数学组、作文组的人数比是9：14：10,作文组有30人。

【解题关键点】科：作=9：10,作：数=5：7=10：14,故，科：数：作=9：14：10,

69+（9+14）=3,3X10=30（人）

【结束】

6、直接列出比例式求解例5：小张开车从甲地到乙地送货，从乙地返回甲地时的速度是去时的速度的3倍，时间减

少了40分钟。小张送货时从甲地到乙地用了多少分钟？

A.60分钟B.50分钟C.70分钟D.65分钟

【答案】A

【解题关键点】设甲地到乙地用时X,X:（X-40）=l:3,求的X=60

【结束】

7、用比例法解分数应用题例1：有三箱水果共重60千克，如果从第一、二箱中都取出3千克水果放入第三箱中,

则第一、二、三箱水果重量的比是1：2：3,求三箱水果原来分别重多少千克？

【答案】第一、二、三箱分别有水果13千克、23千克、24千克。

【解题关键点】现在第一、二、三箱分别有水果:

60x―]—=10（千克）

1+2+3

2_

60x=20（千克）

1+2+3

3

60x-------=30（千克）

1+2+3

从而，原来第一、二、三箱分别有水果13千克、23千克、24千克。

【结束】

8、用比例法解分数应用题例2：A、B、C是三个顺次咬合的齿轮，已知齿轮A旋转7圈时，齿轮C旋转6圈。如果

A的齿数为42,那么C的齿数是多少？如果B旋转7圈，C旋转1圈，那么A旋转8圈时，B旋转了多少圈？

【答案】如果A的齿数为42,那么C的齿数是49；A旋转8圈时,B旋转48圈。

【解题关键点】由题设知，A:C=7：6,A:C=-：-=6：7=42：49,即若A的齿数为42,则C的齿数为49。B:C

76

=7：1,从而A:B:C=7:42:6,由此，A:B=7:42=1:6=8:48。即A旋转8圈时，B旋转48圈。

【结束】

9、用比例法解分数应用题例3：有红、黄、白三种球共160个。如果取出红球的1，黄球的工，白球的！，则还

111345

剩120个；如果取出红球的―，黄球的一，白球的—，则剩116个，问原有黄球，红球，白球各几个？（）

543

A.30,45,85B.45,75,40C.40,45,75D.75,40,45

【答案】C

22

【解题关键点】第二次取出的红球比第一次少一，白球比第一次多一，则白球总数比红球多30个。设红球

尤+3130-2x1515

数量为x,列方程：一x+上」+T__±=40,得到x=45,白球有75,黄球有40个，本题亦可由倍数快速求解。

354

【结束】

22

10、用比例法解分数应用题例4：有甲、乙两个两位整数，甲数的一等于乙数的一，那么这两个两位整数的差最多

73

是（）。

A.49B.56C.63D.70

【答案】B

2234

【解题关键点】甲数的一=乙数的一，甲数的一=乙数，甲数一乙数=甲数的一。100内的7的倍数最大是98.

47377

两个两位整数的差=98X—=56,故应选择B。

7

【结束】

11、两个数量同时发生增减变化的比例例1：A利B两个数的比是8:5,每一数都减少34后，A是B的2倍，求

这两个数.

【答案】A,B两数分别是136与85.

【解题关键点】减少相同的数34,因此未减时，与•减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这

一点.

8：5,就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2：1,两者相差1.将前项与后项都乘

以3,即2：1=6:3,使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2(份)或5-3=2(份).因此，每份是34：2=17.A

数是17X8=136,B数是17X5=85.

【结束】

12、两个数量同时发生增减变化的比例例2：原有男、女同学共325人，新学年男生增加了25人，女生减少了，

总人数增加了16人，那么现在有男同学()人

A.170B.110C.160D.190

【答案】A

【解题关键点】设男生X人，则女生325-X人。列出方程式：

(X+25)+[325-(325-X)/20]=325+16,求得：X=170

【结束】

13、两个数量同时发生增减变化的比例例3：甲、乙两同学的分数比是5：4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，

则他们的分数比是5：7.甲、乙原来各得多少分？

【答案】甲原先得90(分)，乙得72(分).

【解题关键点】解一：甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何

把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36,我们让变化前后都按36份来算.

5：4=(5X4):(4X4)=20：16.

5：7=(5X3):(7X3)=15：21.

甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来

甲得22.5+5X20=90(分)，

乙得22.5+5X16=72(分).

答：原来甲得90分，乙得72分.

我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.

解二：设原先甲的得分是5x,那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.

(5x-22.5)：(4x+22.5)=5：7,即5(4x+22.5)=7(5x-22.5),15x=12X22.5,x=18.甲原先得分18

X5=90(分)，乙得18X4=72(分).

【结束】

15

14、两个数量同时发生增减变化的比例例4：有一袋子球，其中红球占然后再放入8个红球后，红球占瓦，求

现在袋子中共有多少个球？

【答案】现在共有球224个.

【解题关键点】本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1：2写成4.5：9,就是充分利用这一特点.

本题也可以列出如下方程求解：

(x+8)：2x=5：9.

其他球的数量没有改变，增加8个红球后，红球与其他球数量之比是

5：(14-5)=5:9；

在没有球增加时，红球与其他球数量之比是

1：(3-1)=1：2=4.5:9.

因此8个红球是5-4.5=0.5(份)；

现在总球数是8X(5+9)X2=224(个)。

【结束】

15、两个数量同时发生增减变化的比例例5：甲、乙两队工程队，甲队的人数是乙队的70%„根据工程需要，现从

乙队抽出40人到甲队，此时乙队比甲队多136人，则甲队原有人数是多少？()

A.504人B.620人C.630人D.720人

【答案】A

【解题关键点】由甲队的人数是乙队人数的70%可知甲队人数能被7整除，选项中A、C符合。若为C,则甲、

乙两队人数都能整除10,则从乙队抽出40人后，两队相差的人数依然能整除10,与“乙队比甲队多136人”矛盾,

排除C。故A是正确答案。

【结束】

16、两个数量同时发生增减变化的比例例6：甲、乙两盒共有棋子108颗，先从甲盒中取出放入乙盒，再从乙盒取

出放回甲盒，这时两盒的棋子数相等，问，甲盒原有棋子多少颗？()

A.40B.48C.52I).60

【答案】B

【解题关键点】此题可用方程法，设甲盒有x颗，乙盒有y颗，可得x+y=108,x+(y+x)=45,解得x=48,

y=60.

【结束】

17、复杂比例例1：张家与李家的收入钱数之比是8：5,开支的钱数之比是8：3,结果张家结余240元，李家结余

270元.问每家各收入多少元？

【答案】张家收入720元，李家收入450元.

【解题关键点】法一：我们采用“假设”方法求解.

如果他们开支的钱数之比也是8:5,那么结余的钱数之比也应是8:5.张家结余240元，李家应结余x元.有

240:x=8：5,x=150(元).

张家李家E多120元.这就是8：5中5份与8：3中3份的差，每份是120+(5-3)=60.

开支60X8=48060X3=180

收入480+240=720180+270=450

法二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.

我们画出一个示意图：

_一8份X3、----、

张乂3二-------------母―

_5份X3-----------------

李X3Q

张家开支的3倍是（8份-240）X3.

李家开支的8倍是（5份-270）X8.

从图上可以看出

5X8-8X3=16份，相当于

270X8-240X3=1440（元）.

因此每份是14404-16=90（元）.

张家收入是90X8=720（元），李家收入是90X5=450（元）.

本题也可以列出比例式：

（8x-240）：（5x-270）=8：3.

然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系