平面向量的数乘运算

平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算/NUM平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算知识点一：向量数乘运算：=1\*GB2⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．=1\*GB3①；=2\*GB3②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．=2\*GB2⑵运算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=3\*GB2⑶坐标运算：设，则．知识点二：向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．知识点三：平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）知识点四：分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．（当知识点五：平面向量的数量积：=1\*GB2⑴．零向量与任一向量的数量积为．=2\*GB2⑵性质：设和都是非零向量，则=1\*GB3①．=2\*GB3②当与同向时，；当与反向时，；或．=3\*GB3③．=3\*GB2⑶运算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=4\*GB2⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．若，则，或．设，，则．设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．数学平面向量数量积的坐标表示同步达纲【同步达纲练习】一、选择题.1.下列各向量中，与=(3,2)垂直的向量是()A.=(3,-2)B.=(2,3)C.=(-4,6)D.=(-3,2)2.若=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影为()A.B.C.D.3.已知向量=(3,-2),=(m+1,1-m)，若⊥，则m的值为()A.B.-C.-1D.14.已知向量｜｜=5,且=(3,x-1),x∈N,与向量垂直的单位向量是()A.(，-)B.(-，)C.(-，)或(，-)D.(，-)或(-，)5.若=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ)，则()A.⊥B.∥C.(+)⊥(-)D.(+)∥(-)6.已知=(1,),=(+1,-1),则与的夹角为()A. B. C. D.7.以A(2，5)，B(5，2)，C(10，7)为顶点的三角形的形状是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形8.已知=(-2,-1),=(λ,1).若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A.(-，+∞) B.(2，+∞)C.(-，+∞) D.(-∞,-)9.已知=(x1,y1),=(x2,y2)，则在下列各结论中为·=0的充要条件的是()①=或=或⊥②⊥③x1y1+x2y2=0④x1x2+y1y2=0A.①③ B.②③ C.③④ D.①④10.已知与的夹角的余弦为-，则，的坐标可以为()A.(4，3)，(-12，5) B.(3，4)，(5，12)C.(-3，4)，(5，-12) D.(-3，4)，(-5，12)二、填空题1.已知=(4,3),=(-1,2)，则与的夹角为.2.已知=(3,-5),=(-4,-2),则·=.3.顺次连接A(3，-1)，B(1，2)，C(-1，1)，D(3，-5)的四边形是.4.以原点和点A(5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，则向量为.5.已知向量=(1,2),=(x,1),分别求出当+2与2-平行和垂直时实数x的值.6.已知=(2,1),=(-1,-1),=+k,=+,与的夹角是，则实数k的值.三、解答题1.已知=(1,-2),=(4,3)求(1)2(2)2(3)·(4)(3+2)·(-3)(5)与的夹角(6)在上的投影2.已知：点A(0，3)，B(6，3)，AD⊥OB，垂足为D，求点D的坐标.3.已知A(-2，3)，正方形OABC，求点C、点B的坐标.【素质优化训练】1.已知=(-1,0),=(1,1),=λ+μ(λ、μ∈R)，若⊥，且｜｜=2,试求λ、μ的值及向量c的坐标.2.若=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ)，用｜k+｜=｜-k｜(k∈R，k≠0),试用k表示·.3.已知=(-3,-2),=(-4,k),若(5-)·(-3)=-55,求实数k的值.4.求与向量=(,-1)和=(1,)的夹角相等，且模为的向量的坐标.5.已知矩形ABCD的相对顶点A(0，-1)，C(2，5)，且顶点B到两坐标轴的距离相等，求顶点D的坐标.【生活实际运用】如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明(1)PA=EF(2)PA⊥EF证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，｜｜=λ,则A(0，1)，P(λ，λ)，E(1，λ)，F(λ，0)∴=(-λ,1-λ),=(λ-1,-λ)(1)｜｜2=(-λ)2+(1-λ)2=λ2-λ+1｜｜2=(λ-1)2+(-λ)2=λ2-λ+1∴｜｜2=｜｜2,故PA=EF(2)·=(-λ)(λ-1)+(1-λ)(-λ)=0∴⊥∴PA⊥EF.【知识探究学习】已知A(0，a),B(0,b),(0＜a＜b)，在x轴的正半轴上求点C，使∠ACB最大，并求出最大值.解，设C(x,0)(x＞0)则=(-x,a),=(-x,b)则·=x2+ab.cos∠ACB==令t=x2+ab故cos∠ACB=当=即t=2ab时，cos∠ACB最大值为.当C的坐标为(,0)时，∠ACB最大值为arccos.【同步达纲练习】一、1.C2.C3.B4.D5.C6.A7.B8.A9.D10.C二、1.arccos2.-23.梯形4.(-，)或(-，-)5.，或-26.三、1.(1)2=5(2)2=25(3)·=-2(4