历届 最近十年 (新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(含模拟试题及解答)

PAGEPAGE13新知杯模拟试题一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）对于任意实数ab，定义aba(abb，已知a2.528.5，则实数a的值是 。在三角形ABCABbba 。

a2aab1的整数，则一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。xx

2x

(3k)x

(2k)x2k0有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。PBPABCAC1，BC2AB上一动点。

PEBC

,PFCA

长的最小值 E为 。C F Aabx268x10c，dx286x10的两个根，则dd的值为 。在平面直角坐标系中有两点ykx1PQ延长线相交（交点不包括Q，则实数k的取值范围是 。方程xyz2009的所有整数解有 组。ADAFD如图，四边形ABCD中ABBCCD,ABC78,BCD162。设AD,BC延长线交于E，则AEBADAFDB C

B C E如图，在直角梯形ABCD中， D CABCBCD90,ABBC10,MBC上，使得ADM是正三角形，则ABM与DCM的面积和。 MA B（15分）ABCACB90,D在CA上，使得CD并且BDCBA求BC的长。BBC D A C D E A 三（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd ：abcdabcd ，其中数字c可以是。 （15分）正整数n满足以下条件：任意n12009至少有一个素数，求最小的n。（15分）若两个实数ab使得a2b与ab2都是有理数，称数对a,b是和谐的。①试找出一对无理数，使得a,b是和谐的；②证明：若a,b是和谐的，且ab是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；③证明：若a,b是和谐的，且a是有理数，则a,b都是有理数。b新知杯模拟试题（参考答案）一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）对于任意实数a,b定义ab=a(ab)b已知a2.528.5则实数a的值。4或132【解析】2.52.528.5a所以a4或132

2.5a26，2a

5a520，40，在三角形ABCABbba 。【答案】0

a2aab1的整数，则【解析1】若ba,则b2

1(a

1a

2aABBC矛盾若ba，则babba0

1(a

1a

2a，即ABBCCA【解析2】ab是大于1的整数，所以a2，此时BCCAa2BCCAABBCCA，即a22ab21a22a，

2aaa20，a2b2a2，即a 1 b a ba，即ba0一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。【答案】50，94【解析】设两边长分别为xy2xy92xy46146223，所以周长为24694或22350xx

2x

(3k)x

(2k)x2k0有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。【答案】5【解析】原方程可化为(x2x2)(x2xk)0,x2x20x2

xk0，k2，x2x20，x1

2,x2

1x1

x2

415如图直角三角形ABC中AC2为斜边AB上一动点PEBC,PFCA，则线段EF长的最小值为 。PBPEC F A2 5【答案】2 55【解析】设CFxECyEP

BE x，所以

2y，y22x，CA BC 1 2

42 4 4 2EF2x2y2x2(22x)25x28x4x x，y时， 5 5 5 5EF

最小。2 5452 545abx268x10c，dx286x10的两个根，则dd的值为 。【答案】2772 【解析】ab68ab1cd86cd1d (ab(ab)cc2)(ab(ab)dd2)168cc2 168dd2(86c68c)(86d68d)18154cd2772在平面直角坐标系中有两点ykx1PQ延长线相交（交点不包括Q，则实数k的取值范围是 。1【答案】

k33 221 1 20 2 1 3【解析】k 1

2

3，k22

k3 3 2方程xyz2009的所有整数解有 组。【答案】72【解析】200928771112009774114941正整数解6+3+3+6=18组，非正整数解18×3=54组，共72组如图四边形ABCD中ABBCCD,ABC78,BCD162设AD,BC延长线交于E，则AEB .AD ADAFDB C

B C E【答案】21AFBCFCABABCF为平行四边形，BAFFCB180ABC102FCD16210260CDF是等边三角形，即AFD7860138AEBFAEABCDABCBCD90,ABBC10,MBC上，使得ADM是正三角形，则ABM与DCM的面积和。D C H D CM MA B A B3【答案】3001503【解析】将图补成正方形，易知ABMAHDBMHDx，则CDCM10x，由勾股定理得10x

10x

x2

102，解得x2010 ，33331 1 23333S 102010 10 10 3001502 2（15分）ABCACB90,D在CA上，使得CD并且BDCBA求BC的长。BBC D A C D E A11【答案】BC4 。1111BCxBD

x2AB x21作DBA的平分线交AC于点E，DBE1DBA1AABE，则BDEADB,所以2 2BD2DEDA3DE，由角平分线定理可知，DE

BD

DE

3BD

因此AE AB AEDE ABBD ABBD9 x9 x21x216 x2111x21

解得BCx 11

2三（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd：abcdabcd ，其中数字c可以是。【答案】abcd9801,2025,3025xabycd100xyxy2x2

y

xy2y0，因为x为整数，2y0

4y2

y99y4t2，99y50t50t，0t50，且在100内11的倍数只有9个，经验证，t49时，x98 x20 x30y1t5y25，解得

，因此，abcd9801,2025,3025

y1 y25 y25（15分）正整数n满足以下条件：任意n12009至少有一个素数，求最小的n。22,32,52,722,192,232,292,312,372,412,432142009且两两互质，因此。而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数a,a, ,a 的最小素因子1 2 15p,p1

, ,p15

,则必有一个素数47,不失一般性，设p15

4由于p15

是合数a15

的最小素因子，因此a15

p 15

472200矛盾。所以，任意15个大于1且不超过2009的互质整数a,a1 2

a 15。15（15分）若两个实数ab使得a2b与ab2都是有理数，称数对b是和谐的。④试找出一对无理数，使得a,b是和谐的；⑤证明：若a,b是和谐的，且ab是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；⑥证明：若a,b是和谐的，且a是有理数，则a,b都是有理数。b【解析】①不难验证

(a,b)

1,122 22

2是和谐的。2 ②由已知ta2

bab

ab

ab

是有理数，abs是有理数，所以ab

t 1 ，解得a （

是有理数，所以bsa也是有理数。ab2

ab1 2 s10，则ba是有理数，因此ab

ab

b2也是有理数。若ab2

0，由已知a 1( )2 ( )a2bab2 ab2 (a

b b y

a 1也是有理数，因此

y2

，故b

xy

是有理)()1 bb b数，因此a(ab2)b2也是有理数。

b xy1 y2x2013上海市初中数学竞赛(新知杯)（2013年12月8日上午9:00~11:00）题号题号一二9101112总分得分评卷复核一、填空题(每题10分)22 72 7已知a

,b ，则a3ab3b .已知l1

//l2

//l3

//l,m4

//m2

//m3

//m4

，SABCD

100,

ILKJ

20,则

EFGH

.已知AACE、FABAEBF3EAC的平行线交BC于D，FD的延长线交AC的延长线于G，则GF .已知凸五边形的边长为a

,a,

,a,f(x)为二次三项式；当xa

x

aa af(x)5，

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5当xa1

af(x)pxaa2 3

a时，f(x)q，则pq .5已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数.已知关于x的一元二次方程x2ax(m1)(m2)0对于任意的实数a都有实数根则m的取值范围.已知四边形ABCD 的面积为2013，E为AD上一点，BCE,ABE,CDE的重心分别为G,G,G1 2

，那么GGG1 2

的面积.直角三角形斜边AB上的高CD3，延长DC到P使得CP2，过B作BFAP交CD于E，交AP于F，则DE .二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分）已知BAC90，四边形ADEF是正方形且边长为1，求1 1 1 的最大.AB BC CAxy已知a0

xayxyy1 x an,aa1 2

,a, ,a3

为整数且aa1 2

a a3

aa1

a a3

2013，求n的最小值.已知正整数d满足a2

c(d13),b2

c(d13),求所有满足条件的d的值.答案：1.210

2.60 3.

4.0 5.735 6.2m1 7.671 8.926527 3 52652 29. 1 2 2

1 1 1

x经检验原方程组的解为：

a21a2a21a21a ， a .AB BC CA 4 a21aa21a21y y【解析】当naa1 2

a a3

a5

2013满足题设等式，下证当n4时，不存在满足等式要求的整数，不妨设aa1 2

a a，3 n(1)n4201331161，当aa1 2

,a,a3

中有负整数时，必为aa 2015aa1

2

1, 3 4aa 34

，若a

3

4

2013不满足条件，当a 3,a3

671aa3 4

2a4

2015无解不可能，当aa1 2

,a,a3

中无负整数时，显然a 2013a 671.4 4n3时，当aaa1 2 3

中有负整数时，必为aa1 2

显然等式不成立，当aaa1 2 3

中无负整数时，同上容易验证等式不可能成立.n2aa1 2

均为正整数，同上易验证等式不可能成立.综上所述，n的最小值为5.d85 2013上海新知杯初中数学竞赛答案2012（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2012年12月9日上午9:00~11:00）题号题号一二9101112总分得分评卷复核解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每题10分，共80分）已知直线与

的边 上的高为与边 平行的两条直线 将 的面积三等分之间的距离为 。同时投掷两颗骰子，在平面直角坐标系

表示两颗骰子朝上一面的点数之和为的概率，的值为 。中，已知点 （，），点在直线 上，使得 是等腰三角形，则点

的坐标是 。在矩形 中， 。点 分别在 上，使得则四边形使得

。是矩形内部的一点若四边的面积等于 。是素数的整数共有 个。

的面积为 ，平面上一动点 到长为 的线段 所在直线的距离为 ，当 取到最小值时， 。已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数，且这三个数使得多项式（是常数）的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数，则这个梯形的积为 。

余和除以余的正整数从小到大排成一列，设

表示这数列的前项的和，则 （这里

表示不超过实数的最大整数。）二、解答题（第9,10题，每题15分，第11,12题，每题20分，共70分）

是正方形 内一点，过点 分别

的垂线，垂足分别为 。已知 ，求证：或者 ，或者 。解方程组 。最大整数。

，这里， 表示不超过实数的若求证：

，求的取值范围；。证明：在任意 个互不相同的实数中，一定存在两个数

，满足2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2011124题号题号一二9101112总分得分解答本试卷可以使用科学计算器（每题10分，共80分）xx

x3m①，x

xm②，其中m0。若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m的值是 。ABCDAB//CD，ABC90BDADBC5BD13，则梯形ABCD的面积为 。从编号分别为123，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为 。4. 将8个数753224613排列为abcdefgh，使得abcdefgh2的值最小，则这个最小值 。已知正方形ABCD的边长为4，E分别是边AB，BC上的点使得AE3，BF2，线段AF与DE相交于点G，则四边形DGFC的面积为 。ABCACB90P是ABCPA11PB7，PC6，则边AC的长为 。有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场2分，平局得1得02和的4，则第2名选手的得分是 。5已知a，b，c，d都是质（质数即素数允许a，b，c，d有相同的情况且abcd是35个连续正整数的和，则abcd的最小值为 。二、解答题（第910题，每题15分，第1112题，每题20分，共70分）ABCD的对角线交点为O，已知DAC60，角DACDCS，直线OSADLBLACSM//LC。解DSDSCMOA B对于正整数n，记n!12 n。求所有的正整数组b,c,d,e,f，使得a!b!c!d!e!f!，且abcdef。解（1）xyx

4xyy

2022；（2）xyx

4xyy

2011?证明你的结论。解对每一个大于1的整数n，设它的所有不同的质因数为 p1

，p，2

...，pk

，对于每个pik，存在正整数ai

，使得pai

npi

ai1，记pnpa11

pa2 pakp100265289。2 k试找出一个正整数npnn；证明：存在无穷多个正整数npn1.1n解2010（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、填空题（1~586~101090分）1 1 1x

3，则x10x5 x x5

x10

。满足方程x

y

xy

3的所有实数对为 。yAMNOBCx已知直角三角形ABC中C90，BC，CA3CD为C的角平分线yAMNOBCx4.2011个正整数的乘积122011能被2010k的最大值。

整除，则正整数k如图平面直角坐标系内正三角形ABC的顶点的坐标分别03，，过坐标原点O的一条直线分别与边AAC交于点，，若OM=MN，则点M的坐标。如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得点O在线段HF上使得四边形AEOH的面积为则四边形的面积。整数q满足pq201，且关于x的一元二次方程 A H D67x2pxq0的两个根均为正整数，则p 。 EGO已知实数a，b，c满足abbc0且a0。设x，x B F C1 2是方程ax2bxc0的两个实数根，则平面直线坐标系内两点APQ，xPQ

之间的距离的最大值。1 2 2 1B E如图，设ABCDE是正五边形，五角星阴影部分）的面积设AC与BE的交点为与CE的交点为则四边形APQD的面积等。设a，b，c是整数，1abc9，且abcbcacab1能被9 C D整除，则abc的最小值，最大值。二、解答题（每题15分，共60分）4的ABCBCa，CAb，ABb是A的角平分线，点C是点C关于直线AD的对称点，若CBD与ABC相似，C'求ABC的周长的最小值。 AC'29BD CPAGEPAGE38adgbehcfi将这9个数字分别填入图1adgbehcfi三位数abcdefghibehcfi和aei都能被11整除求三位数ceg的 大值设实数z满足xyz0，且xy2

yz

zx

2，求x的最大值和最小值称具有a

2“”，其中a，b都是整数（1）证明：100，2010都是“好数”。（2）证明：存在正整数

y161是“好数xy不是”。2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题（2009年12月6日）一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）1、对于任意实a,b，定义,a∗b=a(a+b)+b,已a∗2.5=28.5，则实a的值是 。2、在三角中，ABb21,BCa2,CA2a，其中a,b是大1的整数，则b-a= 。3、一个平行四边形可以被分92个边长1的正三角形，它的周长可是 。4的方程x42x3(3k)x2(2k)x2k0有实根，并且所有实根P的乘积为−2，则所有实根的平方和为 。 BPE5、如图，直角三角形ABC中,AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为 。 C F A第五题图6、是方程x268x10的两个根是方程x286x10的两个根，则(a+c)(b+c)(a−d)(b−d)的值 。7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1),Q(2,2)，函数y=kx−1的图像与线段PQ延长线相交（交点不包Q），则实k的取值范围是 。8方xyz=2009的所有整数解有 组。9如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC延长线交E，∠AEB= 。D CDADB EC第九题图

MB第十题图10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和是 。15分ΔABC中∠ACB90在CC1,A3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。BACD三、（本题15分）求所有满足下列

第二大题图 条件的四位数abcdabcd(abcd)2c0。四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。（15分a,b,使得a2b与ab2(a,b)是和谐的。①试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；②证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；③证明：若(a，b)是和谐的，且a是有理数，则a,b都是有理数；b2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）1a,b，定义,a∗b=a(a+b)+b,a∗2.5=28.5a的值是 。【答案】41322、在三角形ABC中，ABb21,BCa2,CA2a，其中a,b是大于1的整数，则b-a= 。【答案】03、一个平行四边形可以被分92个边长1的正三角形，它的周长可是 。【答案】50,944、已知关的方程x42x3(3k)x2(2k)x2k0有实根，并且所有实根的乘积为−2，则所有实根的平方和为 。【答案5 BP5、如图，直角三角ABC中,为斜 边PEAB上一动点。则线EF长的最 小值5为 。5【答案】25

C F A第五题图6是方程x268x10是方程x286x10的两个根，(a+c)(b+c)(a−d)(b−d)的值 。【答案】27727在平面直角坐标系中有两点P(-1,1),Q(2,2)，函数y=kx−1的图像与线段PQ延长线相交（交点不包Q），则实k的取值范围是 。【答案】1k33 28方xyz=2009的所有整数解有 组。【答案】729如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC延长线交E，∠AEB= 。【答案】21°D CDADEC第九题图

MA B第十题图10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，点M是正三角形，ΔABM与ΔDCM的面积是 。3【答案】300150315分ΔABC中∠ACB90在CC1,A3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。 B解：设BC=x，则BD x21，x2x216

，如图，∠ABD平分 C D E线BE，则BDE ADB,因此BD2DEDA。

第二大题图DE

BD

DE

3BD 。AE AB AEDE ABBD ABBDx21x216 xx21x216 x21

，解得

BCx4 11114 11三、（15分）求所有满足下列条件的四位数abcdabcd(abcd)2数字c0。解：设xabycd,，则100xy(xy)2，故x2(2y100)xy2y)0有整数10x100y≠0。因此x完全平方数，

(2y100)24(y2y)4(250099y是可设t2250099y故9 y0 t0 t 0≤50-50+t 之和10而其中11的倍数，只能50−t=150−t=45，相应得y=1,25，代入解得x98x20x30 因此abcd9801,2025,3025。y1 y25y25四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。解：由于22,32,52,72,112,132,172,192,232,292,312,372,412,432这14个合数都小于2009且两两互质，因此n≥15。而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数a,a1 2

, ,a15

的最小素因子p,p1

, ,p15

p15

47，由于p15

是合数a15的最小素因子，因此a15

p 2472009151且不15超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述，n最小是15。（15分a,b,使得a2b与ab2(a,b)是和谐的。①试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；②证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；③证明：若(a，b)是和谐的，且a是有理数，则a,b都是有理数；b2解：①不难验证(ab2

1,1 2)是和谐的2 2②由已知t(a2b(ab2)(ab)(ab1)bsab

tab1

，解得a

1s22

t 是有理数，当b=s a也是有理数。s1ab20bab

是有理数，因此a(ab2)b2也是有理数。若a 21 ab20x

a2b

b

ya也是有理数，因此ab2 ab

1b 1 b1y2x，故b

xy1是有理数，因此a(ab2)b2也是有理数。b xy1 y2x2008年新知杯上海市初中数学竞赛一、填空题：1、如图：在正ABCDEBC、CA上，使得CDAEADBE交于点P，BQ

于点Q

.则QP .QDEPQDEPCA B2、不等式x22x6a对于一切实数x都成.则实数a的最大值为 .3、设a 表示数n4的末位数.则a a a .n 1 2 20084、在菱形ABCD中，A60，AB1，点E在边AB上，使得AE:EB2:1，P为对角线AC上的动点.则PEPB的最小值.5x

ax2x

2aa21的解为 .6P12的正ABCPBC、CAAB的垂线，垂足分别为DEFPD:PE:PF123.那么，四边形BDPF的面积是 . AFPEB FPE7、对于正整数n，规定12n.则乘积的所有约数中，是完全平方数的共有 个.8、已知k为不超过2008的正整数，使得关于x的方程x2xk0有两个整数根.则所有这样的正整数k的和为 .9、如图：边长为1的正ABC1 1 1

的中心为O，将正ABC1 1 1

绕中心O旋转到ABC2 2 2

，使得AB BC2 2 1

.则两三角形的公共部分（即六边形ABCDEF）的面积为 .A1AFB EC

D 10、如图：已知BADDAC9，ADAE，且ABACBE.则B .AB D C E二、如图：在矩形ABCD内部（不包括边界）有一点P，它到顶点A及边BC、CD的距离都等46D F CPAGEPAGE50于1，求矩形ABCD 面积的取值范围.x2y0三、已知实数x、y满足如下条件：x2y0 ，求xy的最小值.22y4四、如图：在凹六边形ABCDEF中，A、B、D、E均为直角，p是凹六边形ABCDEFPMPNAB、DE，垂足分别为MN，图中每条线段的长度如图所示（单位是米，求折线MPN的长度（精确到0.01米）.n2

n3

n 11

n13

n的最大正整数n，其中x表示不超过实数x的最大整数.2008年“新知杯”上海市初中数学竞赛参考答案提示：8、答案：48°。延长BA至F，则△ADE≌△AFE，AE平分∠FED，且∠BFE＝∠ABE，代换一下即可。10、1×2＋2×3＋3×4＋…＋44×45＝30360的因式分解，其次是求和问题。二、答案：2＜S≤3/2＋21/2。本题是考察基本不等式的运用技巧。我估计我的学生可以得一半分。三、答案：4×31/2/3。换元法技巧而已。只要令x＝（a+b）/2，y=(a－b)/2，利用对称性，设y＞0即可。四、答案：15.50。纯粹的解三角形的死做题。只要边CF，则与NP的交点即为中点，并取AB中点，慢慢解了。希学生注意：可以使用计算器，一定要掌握。五、答案：1715。高斯函数题再加上放大与缩小的应用。x的最大整数。∴[n/2]＋[n/3]＋[n/11]＋[n/13]≤n－1即n－1≥（n－2006年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10题，每题10分，共90分）1ABCA70B90ABC，点BACB，点CAB的对称点是CABC1，则△ABC的面积．B'AEFCEFCB DBC'第1题图 A' 第3题图2abcdef20,acdef40,2a、b、c、d、e、f满足如下方程组ab2cdef80,，abc2def160,abcd2ef320,abcde2f640.则fedcba的值．3ABCDABCAEAF6ABCD的边长．4、已知二次函数yx2xa的图像与x轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过5，则a的取值范围．5、使得n1能整除n2006的正整数n共个．6、表示不大于x的最大整数，方程8x7的所有实数解．27、如图，ABCD为直角梯形（BC90°，且ABBC，若在边BC上存在一点M，使得△AMD C ．

CD的值为ABM 57A B第7题图PAGEPAGE64AhAhhBhCB' C'第8题图8、如图ABC的面积为S周长为pABC的三边在△ABC外且与对应边的距离均为h，则△ABC的周长，面积．9n(个整数（可以相同）aa1 2

, an

满足a a1

an

aa a1 2

2007，则n的最小值．10、把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：a,a1 2

, ,an

,，例如：a 2212a 3222a 42327,a 3212, 那 么 ，1 2 3 4a a1

a99

a100

的值．（20）O如图，已知半径分别为的两个同心圆，有一个正方形ABCD ，其中点D在半径为2圆周上，点B,C在半径为1的圆周上，求这个正方形的面积．O第二题图（20）

3x2yza,关于x、y、z的方程组xy2yz3zx

有实数解(x,y,z)，求正实数a的最小值．（20）设A是给定的正有理数．A是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积3z，x

y

y

z

A．3x、y、zx

y

y

z

A，证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形，它的面积等于A．2005年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试卷题号一二三四总分得分（2005年12月11日 上午9题号一二三四总分得分解答本试卷不得使用计算器（105851090分）1100n

1 n的所(3n32)(4n1)有可能值是 。2．将数码1，2，3，4，5，6，7，8，9按某种次序写成一个九位数：abcdefghi令AabcbcdcdedefefgfghghiA的最大可能值是。3．如果一个两位数X5与三位数的积是29400，那么X+Y+Z= 18 。x已知都为实数且y 21a2,x43y3b2则axy 的x值为 。CA1CA1BOD10x5．如图：OAB的顶点2110，1，直线CDX轴，并且把△OAB面积二等分，若点D的坐标为（x，0，则x的值是 。如果两个一元二次方程x2xm与mx2x10分别有两个不相同的实根，但其中有一个公共的实根，那么实根的大小范围是 。如图：在梯形ABCD中，AB∥DC，DC=2AB=2AD， A B若BD=6，BC=4，则SABCD= 。（SABCD表示四边形ABCD的面积，下同） D C如图，ABCD 中，点MN分别是边BCAN=1，AM=2，且∠MAN=60°，则AB 的长D

A BM的中点，M是 。N CEFEF#如图：△ABC中，点E、F分别在这AB、AC上，EF∥BC，若S

=1，S

=2S

，则S = 。△ABC

△AEF

△EBC

△CEFB C10．设P为质数，且使关于x的方程有两个整数根则p的值为 。（20）已知矩形ABCD的相邻两边长为a、b，是否存在另一个矩形A’B’C’D’，使它的周长1和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的？证明你的结认论。3（20分）已知a、b、c都是大于3的质数，且2a5bc。求证：存在正整数n>1，使所有满足题设的三个质数abca+b+cn整除；n的最大值。（20分）如图：在Rt△ABC中，CA>CB，∠C=90°，CDEF、KLMN是△ABC的两个内接

=441 S，KLMNCDEF，KLMN

=440，求△ABC的三边长。BMELMELC K D A一、填空题

2005年（宇振杯）上海市初中数学竞赛参考解答101、6，31； 2、4648； 3、18； 4、5； 5、102 ；10136、1 7、18； 8、2133

9、

35 10、293二、设矩形A’B’C’D’的相邻两边长为m、n，则按题意有m+n=1(ab),mn1ab，因3 31 此m、n是二次方程x2 (ab)x ab0的两正根。1 3 31(ab0,1ab0 ∴上述二次方程有两正根的条件是3 31(ab)241(a2100bb2)19399 [a1(ab)241(a2100bb2)19399即a(52 b或a(52 bb0或a(52 bb0 a(52 bb0 a(52 bb0∴当a(52b b0<a(5-2bb满足条件的矩形’CD’存在；当2b2b

)a ( b

满足条件的矩形A’B’C’D’不存在。（1）∵c=2a+5b，∴a+b+c=3a+6b=3(a+2b)a、b、c3即存在正整数n>1(例如n=3)，使n(abc)（2）∵a、b、c都是大于3的质数 ∴a、b、c都不是3的倍若a1(mod3),b2(mod)3，例c2a2100(mod3)C3a2(mod3),b1(mod3)，也将导致矛盾因此，只能ab1(mod3)或ab2(mod3)于是a0(mod3),从9(abc)当a7,bc2751379为质数，a+b+c=99=9×11；当a7,bc27519109为质数，a+b+c=135=9×15；∴在所有n(abc)n中，最大为9四、论正方形CDEF的边长为x，正方形KLMN的边长为y，110则按题设x=21，y=2 ，设BC=a，CA=b，AB=c，则a2+b2=c2110注意到axby2(S S )2S abCEB CEA ABC∴x ab ……①abb又由△AKL∽△ABCAL=ybba

同理，MB=yab a c2abab故cALLMMBx( 1 )yaba by abc ……②c2ab1 1 1 c 1

1 2 c2 1 2 1 1于是 )2()2( )( ) y2 x2

c ab a b c2

ab a2b2

a2 ab b2 c211440 4411101c 21 44011440 4411101 yc 将它代入②式，可得ab 22 进而cyabab2122x于是a、b是二次方程t22122212220的两根∵b>a11∴a2316311

11，b23163112004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题一、填空题(前5题每题6分，后5题每题8分，共7O分)xx2+(3a-1)x+a+8=0xxx1，x1a1 2 1 2的取值范围是 ．1方程 1

2 3=3的解是 ．5x 4x 3x一个二位数的两个数字之积是这二位数两个数字之和的2倍；又若这二位数加上9，恰好是原二位数的个位数与十位数交换位置后的数的2如图，△ABC中CE分别是AB边上高和中线又CE的中垂线过点且交AC于点F，则CD+BF的长为 ．如图分别以Rt△XYZ的直角边和斜边为边向形外作正方形AXZFBCYX若直角边YZ=1，XZ=2，则六边形ABCDEF的面积为 ．如图，正方形纸片ABCD1、NAD、BCAM=BN=2/5，将C折至MN上，落在点P的位置。折痕为BQ(QCD上)，连PQ，则以PQ方形面积为．三个不同的正整数ab、c，使a+b+c=133,且任意两个数的和都是完全平方数，则a、b、c是 ．8．若实数ab、、d满足a2+b2+c2+d2=10，则y=(a-b)2+(a-c)2+(a-d)2+(b-c)2+(b-d)2+(c-d)2的最大值是 ．ax2+2bx+c=Oxxa>b>ca+b+c=0，则1 2d=|x-x的取值范围为 ．1 21O如图△ABC中AB=A点PQ分别在AAB上且AP=PQ=QB=B则A的大小是 ．二、(本题16分)如图PQMN是平行四边形ABCD的内接四边形1MP∥BC,NQ∥AB，1

=四边形PQMN

S ；2 □ABCD

=四边形PQMN 2

，问是否能推出MP∥BcNQ∥AB?证明你的结论．1 2 3 三、(本题l6nd1<d2<d3<d4nn=d2+d2+d2+d2，n1 2 3 l8△ABC，且S△ABC=1，D、EAB、ACCE16P，使

S ，求S 的最大值．BPC 9△ △BPC 92003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题（2003年12月7日上午9∶00~11∶00）解答本试卷不得使用计算器.一、填空题（本大题10小题，前5题每题6分、后5题每题8分，共70分.）1、设曲线Cyax2bxc(a0)y轴对称的曲线为Cx轴对称1 1的曲线为C，则曲线Cy＝＿＿＿＿＿＿＿＿.2 22、甲、乙两商店某种铅笔标价都是1惠：甲痁实行每买5支送1支（不足5支不送，乙店实行买4支或4支以上打8.5折，小王买13支这种铅笔，最少需要化＿＿＿＿＿元。3、已知实数abc满足a+b+c=0a2b2c2

0.1，则a4b4c4的值是＿＿＿.4、已知凸四边形ABCD的四边长为AB＝8，BC＝4，CD＝DA＝6，则用不等式表示∠A大小的范围是＿＿＿＿＿＿。51，2，3，…，2003nx2xn这样的n共有＿＿＿＿＿个。6、设正整数m，n满足m<n，且

1 1

1 1 ，则mn的值是 m2m m2

1

n 23＿＿＿＿。7、数1，2，3，…，k2按下列方式排列：1 2k1 k2……

… k…2k1k1 1k2 … k2kk的和是＿＿＿。8、如图，边长为1的正三角形ANB放置在边长为MN＝3，NP＝4的正方形MNPQ内，且NBNP上。若正三角形在长方形内沿着边NP