2023年初一数学绝对值知识点与经典例题

绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数的绝对值就是数轴上表达数的点与原点的距离.数的绝对值记作.（距离具有非负性）【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它自身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“||”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它自身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：符号是负号，绝对值是.【求字母的绝对值】①②③运用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：|a|≥0假如若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若，则，，【绝对值的其它重要性质】（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即，且；（2）若，则或；（3）；；（4）；（5）||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|的几何意义：在数轴上，表达这个数的点离开原点的距离．的几何意义：在数轴上，表达数．相应数轴上两点间的距离．【去绝对值符号】基本环节，找零点，分区间，定正负，去符号。【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；（2）证明绝对值不等式重要有两种方法：A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B）运用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。【绝对值必考题型】例1：已知|x－2|＋|y－3|＝0，求x+y的值。解：由绝对值的非负性可知x－2＝0，y－3＝0；即：x=2，y=3；所以x+y=5判断必知点：①相反数等于它自身的是0②倒数等于它自身的是±1③绝对值等于它自身的是非负数【例题精讲】（一）绝对值的非负性问题1.非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.2.绝对值的非负性；若，则必有，，【例题】若，则。总结：若干非负数之和为0，。【巩固】若，则【巩固】先化简，再求值：．其中、满足.（二）绝对值的性质【例1】若a＜0，则4a+7|a|等于（）A．11aB．-11aC．-3aD．3a【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（）A．1，0B．正数C．非正数D．非负数【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（）A．7或-7B．7或3C．3或-3D．-7或-3【例4】若，则x是（）A．正数B．负数C．非负数D．非正数【例5】已知：a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断对的的是（）A．1-b＞-b＞1+a＞aB．1+a＞a＞1-b＞-bC．1+a＞1-b＞a＞-bD．1-b＞1+a＞-b＞a【例6】已知a．b互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（）A．2B．2或3C．4D．2或4【例7】a＜0，ab＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（）A．6B．-4C．-2a+2b+6D．2a-2b-6【例8】若|x+y|=y-x，则有（）A．y＞0，x＜0B．y＜0，x＞0C．y＜0，x＜0D．x=0，y≥0或y=0，x≤0【例9】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A．是正数B．是负数C．是零D．不能拟定符号【例10】给出下面说法：

（1）互为相反数的两数的绝对值相等；

（2）一个数的绝对值等于自身，这个数不是负数；

（3）若|m|＞m，则m＜0；

（4）若|a|＞|b|，则a＞b，其中对的的有（）A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4）D．（2）（3）（4）【例11】已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的相应位置如图所示，则|c-b|-|b-a|-|a-c|=_________【巩固】知a、b、c、d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求|a+d|的值。【例12】若x＜-2，则|1-|1+x||=______若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|=________【例13】计算=．【例14】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=________【例15】已知数的大小关系如图所示，则下列各式：①；②；③；④；⑤．其中对的的有．（请填写番号）【巩固】已知：abc≠0，且M=，当a，b，c取不同值时，M有____种不同也许．

当a、b、c都是正数时，M=______；当a、b、c中有一个负数时，则M=________；当a、b、c中有2个负数时，则M=________；

当a、b、c都是负数时，M=__________．【巩固】已知是非零整数，且，求的值（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）零点分段法的一般环节：找零点→分区间→定符号→去绝对值符号．【例题】阅读下列材料并解决相关问题：我们知道，现在我们可以用这一结论来化简具有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数提成不反复且不易漏掉的如下中情况：⑴当时，原式⑵当时，原式⑶当时，原式综上讨论，原式（1）求出和的零点值（2）化简代数式解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4．

（2）当x＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；

当-2≤x＜4时，|x+2|+|x-4|=6；

当x≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2．【巩固】化简1.2.的值3.．4.(1)；变式5.已知的最小值是，的最大值为，求的值。（四）表达数轴上表达数、数的两点间的距离．【例题】（距离问题）观测下列每对数在数轴上的相应点间的距离4与，3与5，与，与3.并回答下列各题：(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：.(2)若数轴上的点A表达的数为x，点B表达的数为―1，则A与B两点间的距离可以表达为.(3)结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为，取得最小值时x的取值范围为.(4)满足的的取值范围为.(5)若的值为常数，试求的取值范围．（五）、绝对值的最值问题例题1:1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

2)当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？

3)当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？

4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？

3)当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？

4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、1）非负数：0和正数，有最小值是02）非正数：0和负数，有最大值是03）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤04）x是任意有理数，m是常数，则|x+m|≥0，有最小值是0，-|x+m|≤0有最大值是0（可以理解为x是任意有理数，则x+a仍然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0）5）x是任意有理数，m和n是常数，则|x+m|+n≥n，有最小值是n

-|x+m|+n≤n，有最大值是n(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左（n<0)平移了|n|个单位，为如|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相称于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|≥0，有最小值是0，则|x-1|+3的最小值是3）总结：根据3）、4)、5）可以发现，总结：根据3）、4)、5）可以发现，当绝对值前面是“+”号时，代数式有最小值，有“-”号时，代数式有最大值.例题1：1)当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

2)当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？

3)当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？

4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？解：1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0

2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3

3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3

4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3

有最小值是-3例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？

3)当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？

4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？解：1）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|有最大值是0

2）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3

3）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|-3有最大值是-3

4)3-|x-1|可变形为-|x-1|+3可知如2）问同样，即：当x-1=0时，即x=1时，

-|x-1|+3有最大值是3（同学们要学会变通哦）思考：若x是任意有理数，a和b是常数，则1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？3)-|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？例题3：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围分析：我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分1）

当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+12）

当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=33）

当-1<x<2时，x+1>0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=34）

当x=2时，x+1=3，x-2=0，则|x+1|+|x-2|=3+0=35）

当x>2时，x+1>0，x-2>0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1我们发现：当x<-1时，

|x+1|+|x-2|=-2x+1>3当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=3当x>2时，|x+1|+|x-2|=2x-1>3所以：可知|x+1|+|x-2|的最小值是3，此时：

-1≤x≤2解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）则当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|的最小值是3评：若问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？并求x的取值范围？一般都出现填空题居多；若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。所以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，x的取值范围在这2个零点值之间，且包含2个零点值。例题4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程

可令x+11=0，x-12=0，x+13=0

得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）1）

当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-122）

当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=403）

当-13<x<-11时，x+11<0，x-12<0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+144）

当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=255）

当-11<x<12时，x+11>0，x-12<0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+366）

当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12可知：当x<-13时，

|x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27当x=-13时，

|x+11|+|x-12|+|x+13|=40当-13<x<-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14,25<-x+14<27当x=-11时，

|x+11|+|x-12|+|x+13|=25当-11<x<12时，

|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36

,

25<x+36<48当x=12时

|x+11|+|x-12|+|x+13|=48当x>12时，

|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48观测发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0

得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）将-11,12，-13从小到大排列为-13<-11<12可知-11处在-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25。

评：先求零点值，把零点值大小排列，处在最中间的零点值即时代数式的值取最小值。

例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值分析:回顾化简过程如下令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0则零点值为x=1

,x=2,x=3,x=4（1）当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10（2）当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8（3）当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4（4）当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2（5）当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出相应的x的范围或者取值解：根据绝对值的化简过程可以得出当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10＞6当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8

4＜2x+8≤6当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2

4＜2x-2

＜6当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6则可以发现代数式的最小值是4，相应的x取值范围是2≤x≤3

归档总结：若具有奇数个绝对值，处在中间的零点值可以使代数式取最小值若具有偶数个绝对值，处在中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值

例题5：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？分析：在数轴上表达出A点-13，B点-11，C点12设点D表达数x则DA=|x+13|

DC=|x+11|

DB=|x-12|当点C在点A左侧如图DA+DB+DC=DA+DA+AB+DA+AB+BC=AC

当点A与点D重合时，DA+DB+DC=AB+AC＞AC当点D在点AB之间时，如图DA+DB+DC=DA+DB+DB+BC＞AC

当点D与点B重合时，DA+DB+DC=AB+AC=AC当点D在BC之间如图DA+DB+DC=AB+BD+DB+DC=AC+BD＞AC

当点D与点C重合时，DA+DB+DC=AC+BC＞AC当点D在点C右侧时DA+DB+DC=AC+CD+BC+CD+CD＞AC综上可知当点D与点B重合时，最小值是AC=12-（-13）=25

解：令x+11=0

x-12=0

|x+13=0则x=-11

x=12x=-13将-11

，12，-13从小到大排练为-13＜-11＜12∴当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是点A（-13）与点C（12)之间的距离即AC=12-(-13)=25【例题6】|x-1|的最小值|x-1|+|x-2|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值【解】：当x=1时，|x-1|的最小值是0当1≤x≤2时，|x-1|+|x-2|的最小值1当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值2=2+0当2≤x≤3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值4=3+1当x=3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值6=4+2当3≤x≤4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值9=5+3+1当x=4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值12=6+4+2当4≤x≤5时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值16=7+5+3+1当x=5时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值20=8+6+4+2当5≤x≤6时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值25=9+7+5+3+1【解法2】：捆绑法|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|=（|x-1|+|x-10|）+（|x-2+|x-9|）+（|x-3|+|x-8|）+（|x-4|+|x-7|）+（|x-5|+|x-6|）若|x-1|+|x-10|的和最小，可知x在数1和数10之间|x-2+|x-9|的和最小，可知数x在数2和数9之间|x-3|+|x-8|的和最小，可知数x在数3和数8之间|x-4|+|x-7|的和最小，可知数x在数4和数7之间|x-5|+|x-6|的和最小，可知数x在数5和数6之间∴若想满足以上和都最小，数x应当在数5和数6之间的任意一个数（含数5和数6）都可以。总结：若具有奇数个绝对值时，处在中间的零点值可以使代数式取最小值若具有偶数个绝对值时，处在中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值或者说将具有多个绝对值的代数式用捆绑法求最值也可以若想求出最小值可以求关键点即可求出【例题7】（1）已知|x|=3，求x的值（2）已知|x|≤3，求x的取值范围（3）已知|x|＜3，求x的取值范围（4）已知|x|≥3，求x的取值范围（5）已知|x|＞3，求x的取值范围【分析】：绝对值的几何意义是在数轴上数x到原点的距离，（1）若|x|=3，则x=-3或x=3（2）数轴上-3和3之间的任意一个数到原点的距离都小于3，若|x|≤3，则-3≤x≤3（3）若|x|＜3，则-3＜x＜3（4）数轴上-3左侧和3右侧的任意一个数到原点的距离都大于3，若|x|≥3，则x≤-3或x≥3（5）若|x|＞3，则x＜-3或x＞3【解】：（1）x=-3或x=3(2)-3≤x≤3(3)-3＜x＜3(4)x≤-3或x≥3(5)x＜-3或x＞3【例题8】（1）已知|x|≤3，则满足条件的所有x的整数值是多少？且所有整数的和是多少？（2）已知|x|＜3，则满足条件的x的所有整数值是多少？且所有整数的和是多少？【分析】：从-3到3之间的所有数的绝对值都≤3所以（1）整数值有-3，-2，-1,0,1,2,3；和为0

（2）整数值有-2，-1,0,1,2；和为0【解】：(1)∵|x|≤3

∴-3≤x≤3

∵x为整数∴满足条件的x值为：-3，-2，-1,0,1,2,3∴-3+-2+-1+0+1+2+3=0(2)∵|x|＜3

∴-3＜x＜3

∵x为整数∴满足条件的x值为：-3，-2，-1,0,1,2,3∴-3+-2+-1+0+1+2+3=0【乘方最值问题】（1）当a取何值时，代数式（a-3)²

有最小值，最小值是多少？（2）当a取何值时，代数式

(a-3)²+4有最小值，最小值是多少？（3）当a取何值时，代数式(a-3)²-4有最小值，最小值是多少？（4）当a取何值时，代数式-（a-3)²

有最大值，最大值是多少？（5）当a取何值时，代数式-(a-3)²+4有最大值，最大值是多少？（6）当a取何值时，代数式-(a-3)²-4有最大值，最大值是多少？（7）当a取何值时，代数式4-(a-3)²有最大值，最大值是多少？分析：根据a是任意有理数时，a-3也是任意有理数，则（a-3)²为非负数，即（a-3)²≥0，则-（a-3)²≤0可以进一步判断出最值解：（1）当a-3=0，即a=3时，（a-3)²有最小值是0

（2）当a-3=0，即a=3时，（a-3)²+4有最小值是4

（3）当a-3=0，即a=3时，（a-3)²-4有最小值是-4

（4）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)²有最大值是4

（5）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)²+4有最大值是4

（6）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)²-4有最大值是4

(7)4-（a-3)²可以变形为-(a-3)²+4，可知如（5）相同，即当a-3=0，即a=3时，4-（a-3)²有最大值是4（这里要学会转化和变通哦）

评：很好理解掌握a²即-a²的最值是解决本题的关键归纳总结：若x为未知数，a,b为常数，则当x取何值时，代数式(x+a)²+b有最小值，最小值是多少当x取何值时，代数式-(x+a)²+b有最大值，最大值是多少------------------------------------------------------------------------------------

【探究1】某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，规定A、B、C、D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最佳？探究：设点A、B、C、D、M均在数轴上，与之相应的数为a、b、c、d、x，使M到A、B、C、D距离和最小。MA+MB+MC+MD=|x-a|+|x-b|+lx-cl+|x-d|其中MA+MB=|x-a|+|x-b|，由绝对值的几何意义知当a≤x≤b时，MA+MB值最小，（汽车站A、B到M得距离和=AB）当d≤x≤c时，MC+MD值最小，（汽车站C、D到M得距离和=CD）综上所述，当d≤x≤c时，MA+MB+MC+MD的值最小，(要使A、B、C、D四个汽车站到加油站M的路程总和最小)即加油站M应建在线段CD上。【探究2】假如某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3

A4，A5五个汽车站（从左到右依次排列），上述问题中加油站M建在何处最佳？探究：加油站M应建在A3汽车站．【探究3】假如某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3，…，An共n个汽车站（从左到右依次排列），上述问题中加油站M建在何处最佳？探究：当n为奇数时，加油站M应建在汽车站处；当n为偶数时，加油站M应建在线段上。(即此两站之间)【探究4】根据以上结论，求|x-1|+|x-2|+.....+|x-616|+|x-617|的最小值。探究：根据绝对值的几何意义，就是在数轴上找出表达x的点，使它到表达1、2、…、617各点的距离之和最小。根据【探究3】的结论，当x=309时，原式的值最小。最小值是|309-1|+|309-2|+…+|309-308|+0+|309-310|+…+|309-617|=308+307+…+1+1+2+…+308=95172.----------------------------------------------------------------------------------【课后练习】1.（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？（2）当取何值时，有最大值？这个最大值是多少？（3）求的最小值。（4）求的最小值。2．已知，设，求M的最大值与最小值．3、若与互为相反数，求的值。4．若与互为相反数，则a与b的大小关系是()．A．a>bB．a=bC．a<bD．a≥b5.运用数轴分析|x-2|+|x+3|，可以看出，这个式子表达的是x到2的距离与x到-3的距离之和，它表达两条线段相加：⑴当x>时，发现，这两条线段的和随x的增大而越来越大；⑵当x<时，发现，这两条线段的和随x的减小而越来越大；⑶当≤x≤时，发现，无论x在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值，且比⑴、⑵情况下的值都小。因此，总结，|x-2|+|x+3|有最小值，即等于到的距离。6.运用数轴分析|x+7|-|x-1|，这个式子表达的是x到-7的距离与x到1的距离之差它表达两条线段相减：⑴当x≤时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值；⑵当x≥时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值；⑶当时，随着增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。因此，总结，式子|x+7|-|x-1|当x时，有最大值；当x时，有最小值；7．设，，则的值是（）．A．-3B．1C．3或-1D．-3或18．设分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且，则也许取得的最大值是．绝对值（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思绪是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。1运用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即||=，有||<；||>2运用不等式的性质去掉绝对值符号运用不等式的性质转化||<或||>(>0)来解，如||>(>0)可为>或<－；||<可化为－<+<，再由此求出原不等式的解集。对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可运用结论“≤||≤≤≤或－≤≤－”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。3运用平方法去掉绝对值符号对于两边都具有“单项”绝对值的不等式，运用||=可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，假如没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，特别是解含参数不等式时更必须注意这一点。4运用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数，，……，分别使具有|－|，|－|，……，|－|的代数式中相应绝对值为零，称，，……，为相应绝对值的零点，零点，，……，将数轴分为+1段，运用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法重要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思绪直观化。5运用数形结合去掉绝对值符号解绝对值不等式有时要运用数形结合，运用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法合用于或(为正常数)类型不等式。对(或<)，当||≠||时一般不用。二、如何化简绝对值绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，具有绝对值符号的数学问题又是学生碰到的难点之一，解决这类问题的方法通常是运用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，拟定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大体有三种类型。（一）、根据题设条件例1：设x<-1，化简2-｜2-｜x-2｜｜的结果是（

）。（A）2-x（B）2+x

（C）-2+x

（D）-2-x思绪分析：由x<-1可知x-2<-3<0可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解：2-｜2-｜x-2｜｜=2-｜2-(2-x)｜=2-｜x｜=2-(-x)=2+x∴应选（B）．归纳点评:只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思绪．（二）、借助数轴例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值等于（）（A）-a

（B）2a-2b

（C）2c-a

（D）a思绪分析:由数轴上容易看出b<a<0<c,所以a+b<c,c-a<0，b-c<0，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍．解：原式∴应选（C）．归纳点评:这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观测，一定弄清：1．零点的左边都是负数，右边都是正数．2．右边点表达的数总大于左边点表达的数．3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．（三）、采用零点分段讨论法例3：化简2|x-2|-|x+4|思绪分析:本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于x-2,x+4的正负不能拟定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有也许，应当对各种情况—一讨论．解：令x-2=0得零点：x=2；令x+4=0得零点：x=-4，把数轴上的数分为三个部分①当x≥2时,x-2≥0，x+4>0，所以原式=2（x-2）-(x+4)=x-8；②当-4≤x<2时，x-2<0,x+4≥0，所以原式=-2（x-2）-(x+4)=-3x；③当x<-4时，x-2<0,x+4<0，所以原式=-2（x-2）+(x+4)=-x+8；归纳点评：虽然x-2,x+4的正负不能拟定，但在某个具体的区段内都是拟定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般环节是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负可以拟定．3．在各区段内分别考察问题．4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．误区点拨：千万不要想当然地把x,2y等都当成正数或无根据地增长一些附加条件，以免得犯错误的结果．三、带绝对值符号的运算

如何去掉绝对值符号？既是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个难点。

(一)、要理解数a的绝对值的定义。数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表达数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”应理解，数a的绝对值所表达的是一段距离，那么，不管数a自身是正数还是负数，它的绝对值都应当是一个非负数。

(二)、要弄清楚如何去求数a的绝对值。从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的自身，一个负数的绝对值必然是它的相反数，零的绝对值就是零。重点理解的是，当a是一个负数时，如何去表达a的相反数（可表达为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。(三)、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。1、对于形如︱a︱的一类问题

只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。

当a>0时，︱a︱=a(性质1：正数的绝对值是它自身)；

当a=0时，︱a︱=0(性质2：0的绝对值是0)；

当a<0时；︱a︱=–a(性质3：负数的绝对值是它的相反数)。2、对于形如︱a+b︱的一类问题一方面要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b)=a+b(性质1：正数的绝对值是它自身)；当a+b=0时，︱a+b︱=(a+b)=0(性质2：0的绝对值是0)；当a+b<0时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b(性质3：负数的绝对值是它的相反数)。3、对于形如︱a-b︱的一类问题同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简朴，只要你能判断出a与b的大小即可（不管正负）。由于︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b。口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。4、对于数轴型的一类问题，根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不管正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b。5、对于绝对值符号前有正、负号的运算非常简朴，去掉绝对值符号的同时，不要忘掉打括号。前面是正号的无所谓，假如是负号，忘掉打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子当作一个整体，把它与0比较，大于0直接去绝对值号，小于0的整体前面加负号。四、去绝对值化简专题练习（1）设x<-1化简2-｜2-｜x-2｜｜的结果是（

）。（A）2-x（B）2+x

（C）-2+x

（D）-2-x（2）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值等于（）（A）-a

（B）2a-2b

（C）2c-a

（D）a（3）已知x≥2，化简2|x-2|-|x+4|的结果是x-8。（4）已知x<-4，化简2|x-2|-|x+4|的结果是-x+8。（5）已知-4≤x<2，化简2|x-2|-|x+4|的结果是-3x。（6）已知a、b、c、d满足a<-1<b<0<c<1<d.且|a+1|=|b+1|，|1-c|=|1-d|，那么a+b+c+d=0（提醒：可借助数轴完毕）（7）若｜-a｜>-a，则有（

A

）。（A）a>0

（B）a<0

（C）a<-1

（D）-1<a<0（8）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为（

C

）．（A）2a+3b-c

（B）3b-c

（C）b+c

（D）c-b（9）有理数a、b在数轴上的相应点如图所示，那么下列四个式子，a+b，b-2a，|a-b|，|a|-|b|中负数的个数是（B

）．（A）0

（B）1

（C）2

（D）3(10)化简|x+4|+2|x-2|=