一轮复习第二章第三课时

第三课时函数的值域与最值第二章函数考纲要求1.会求一些简单函数的定义域和值域．2.理解函数的最大值、最小值以及几何意义.知识梳理1．函数的值域：就是函数的函数值的集合，函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．2．函数的最大值、最小值：就是函数在定义域上函数值最大(最小)的值．严格的定义如下：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果∃M∈R，满足：(1)对∀x∈I，恒有f(x)≤M(或f(x)≥M)；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M，则称M是函数y＝f(x)的__________．答案：2．最大值(或最小值)3．求函数值域(最值)的各种方法因为函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的，故其类型依解析式的特点可分为三类：(1)求常见函数的值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．但无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．具体的方法有：①直接法；②配方法；③分离常数法；④换元法；⑤三角函数有界法；⑥基本不等式法；⑦单调性法；⑧数形结合法；⑨导数法(对于具体函数几乎都可以用导数法去解决).基础自测1．(2011年阳江模拟)函数y＝3x－2，x∈{－1,1,2}的值域是________．解析：该函数的定义域已给定为{－1,1,2}，易知其值域为{－5,1,4}．答案：{－5,1,4}2．(2010年山东卷)函数的值域为()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)AB4．(2010年重庆卷)已知t>0，则函数的最小值为________．解析：

(∵t>0)，当且仅当t＝1时，ymin＝－2.答案：－2(2010年福州模拟)已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．x123f(x)131x123g(x)321解析：f[g(1)]＝f(3)＝1；当x＝1时，f[g(1)]＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，不满足条件；当x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，满足条件；当x＝3时，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝3，不满足条件；即只有x＝2时，符合条件．答案：12变式探究1．(2010年上海静安区检测)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表.

x123f(x)231x123g(x)132A.3,1,2B．2,1,3C1,2,3D．3,2,1D填写下列g[f(x)]的表格，其三个数依次为()

x123g[f(x)]设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为则a的值为()A.B．2C．D．4解析：∵a>1，∴函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之分别为loga2a，logaa＝1，它们的差为∴loga2＝a＝4，故选D.答案：D变式探究2．当x∈(0,2]时，函数f(x)＝ax2＋4(a＋1)x－3在x＝2时取得最大值，则a的取值范围是________．求下爷列函乏数的菊值域慈：(7受)解法隆一：(数形爆结合仗法)将函绝数化稼为分经段函迈数形迫式：画出选它的勤图象庭，由潮图象穿可知吸，函彼数的江值域{y|y≥3}．解法绢二：(几何撒法)∵函数y＝|x＋1|＋|x－2|表示遗数轴顿上的快动点x到两牺定点泪－1,喉2的距少离之藏和，∴易得y的最爷小值财是3，∴函数酿的值悄域是蔬如舱下图点评：本尤例通福过求捐七个乘不同伴类型傅的函务数的法值域营，较节全面秘地复晌习了墨求函冶数值惨域的亮常用镜的方木法，虏如观茫察法理、配评方法瓜、图谣象法骡、换案元法歉、不备等式华法、馆三角丙代换取法、葡导数考法等脏，有父的题勾可以裙用多凡种方需法求毛解，蠢有的刃题用导某种寒方法控求解显比较沿简捷浴，同促学们用要通丈过不踏断实秀践，扛熟悉痕和掌等握各脱种解袖法，眠并在置解题晚中尽呆量捎稼眉蚪魔萁夥汽．变式裙探究3．求亏下列尝函数腰的值川域：解析：(1船)(配方搜法)∵y＝3x2－x＋2狐=∴y＝3x2－x＋2的值班域为(2厚)(利用挨函数坐的单偿调性)函数y＝3x2－x＋2在x∈[1俩,3只]上单倦调递漏增，∴当x＝1时，病原函晒数有坑最小央值为4；当x＝3时，访原函色数有案最大谢值为26陡.∴函数y＝3x2－x＋2，x∈[1靠,3傲]的值络域为[4翼,2浙6]．已知涌函数(1钞)当探时笼，求幻玉函数f(x)的最煤小值做；(2病)若对既任意x∈[1，＋∞)，f(x)>忽0恒成成立，尚试求温实数a的取毛值范滨围．解析：(1要)当茅时展，∵f(x)在区屈间[1，＋∞)上为法增函今数，∴f(x)在区醋间[1，＋∞)上的炸最小剑值为f(1柱)＝(2王)解法纳一：在喜区间[1，＋∞)上，恒成校立⇔x2＋2x＋a>0恒成胡立．徐设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)∵y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)内递粥增，∴当x＝1时，ymi抚n＝3＋a，当叙且仅脊当ymi栽n＝3＋a>0时，颤函数f(x)>罢0恒成卸立，鸦故a>－3.解法晶二：x∈[仇1，＋高∞)当a≥0时，饼函数f(x)的值唉恒为否正；当a<0时，迅函数f(x)递增准，故温当x＝1时，f(x)m掘in＝3＋a，当且柜仅当f(x)m帅in＝3＋a>0时，蓝函数f(x)>蹄0恒成月立，播故a>－3.变式册探究4．(2艳00圾9年厦夺门模堆拟)若函饺数(e是自伏然对申数的恶底数)的最辞大值脆是m，且f(x)是偶休函数独，则m＋μ＝__长__扭__炭__蚂.解析芽：因为桑函数f(x)＝e－(x－μ)2(e是自截然对桃数的谈底数)的最厉大值创是1，所迹以m＝1，又抢因为f(x)是偶爪函数暮，所各以μ＝0，∴m＋μ＝1.答案挤：15．求奏下列孟函数躁的最星大值欧和最绸小值瓶：1．求函惜数值夕域(最值)的各衰种方始法(1为)直接羽法：利痛用常剑见函性数的苍值域蛛来求末．一次款函数y＝ax＋b(a≠0)的定潜义域庙为R，值废域为R；反比缠例函咸数俊的定克义域无为{x|x≠0}，值浪域为{y|y≠0}；二次寻函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定睬义域互为R，当a>0时，次值域邮为炸当a<0时，画值域瘦为(2拴)配方见法：二袋次函此数(二次遣函数猴在给贵出区牌间上齿的最真值有停两类扔：一讽是求唯闭区隶间[m，n]上的纵最值疾；二陆是求鸦区间验定(动)，对优称轴走动(定)的最拣值问扰题．拆求二脊次函寸数的挎最值神问题煤，勿霞忘数横形结镇合，与注意“两看”：一粱看开参口方仍向；怕二看醒对称朴轴与丝式所给燥区间茅的相俘对位嗓置关尚系)．(3蹄)导数再法：就岂是利街用导业数这恒一工侨具来疼求函保数的季值域紫，几秤乎所池有具拣体函晕数都命可以移用导启数法晃来求牺值域(或最捡值)．(4梅)换元优法：横通过乌换元桂把一禁个较谊复杂臂的函戚数变究为简丙单易膜求值念域的娘函数工，其耕函数泰特征最是函煮数解骂析式拼含有哄根式知或三职角函挎数公谢式模宽型．注意奶：利附用换体元法遭求值巡寿域与垂最值弃时，客必须负注意宣换元愧后要欧转变桥变量脆的取垂值范感围，裕因为棵定义凭域是右值域慎的基淡础．(5压)函数作有界含性法跳：直从接求朴函数倍的值考域困逮难时颗，可班以利徐用已榴学过析函数龟的有琴界性悼，来厨确定框所求常函数莲的值自域，猴最常魔用的粗就是蛇三角核函数塌的有用界性朗．(6城)单调根性法终：利背用一昼次函城数，戒反比甩例函颈数，脸指数吧函数替，对拒数函抬数等方函数剑的单泼调性博．(7窜)数形题结合范法：社函数训解析护式具候有明悲显的勒某种横几何若意义蜡，如爪两点乎的距禾离、纵直线示斜率葵等等喂．(9炉)不等旬式法：利零用基橡本不颤等式a＋b≥(a，b∈R＋)求函臭数的须最值暑，其谢题型疾特征膝解析兼式是帮和式发时要啄求积息为定抬值，鸽解析掠式是件积的慕形式稻时要近求和丈为定鞭值，挡不过巨有时腥须要股用到穿拆项冶、添刑项和守两边摄平方干等技弱巧．注意纪：(1边)利用扯均值赴不等虽式求艺值域州与最待值时恩，必胡须保昨证“值一正周，二崭定，宋三相吐等”岂，特谋别是恼等号婚成立诞的条伏件容膜易被尤忽视疫．(2州)求函向数的僚定义投域、浪值域酿时，仅要按抵要求背写成要集合狸形式内或区蜂间形摇式．2．求最艰值时期应注屠意的皮问题(1啦)求函斤数最廉值的业方法谁，实板质上叼与求温函数极值域高的方户法类蹲似，受只是姨答题差方式挂有差例异．(2滤)无论肚用何雨种方惰法求秩最值序，都强要考邪虑“＝”能否姿成立清．注意册：(1跃)函数桃的值纳域与靠函数框的最染值从昏概念扩上看送是不浅同的甚，函隶数值阻域的炉边界岩值并匀非是