大会2015集岩石材料裂纹演化的热力学统计物理

瑀，，，*（中国岩土力学岩土力学与工程国家，+（山东科技大学矿业与安全，山东青岛“εv意义的物理量(熵S、内能U、测度V或应变ε、速度)描述裂纹演化的宏微观状态，将裂纹尖端的岩石材料中裂纹的起裂、扩展、贯通问题是岩石力学基础理论研究中的重要课题，本文在热力学、统计物理的基础上对裂纹演化进行分析。试图建立一种统一的表述方式，描述裂纹演化的全过程。裂纹演化热力学方程(U-S-ε-v方程)的建为研究岩石材料中的裂纹演化情况，现在热力学、统计物理学的基础上，推导岩石材料的裂纹演化热力学方程，以期对裂纹演化过程的各个阶段(稳态演化、失稳扩展、止裂)进行描述。研究单个裂纹的尖端，首先取裂纹尖端的邻域范围进行分析，以热力学第一定律为出发点，考虑裂纹尖端的能量守恒。采用“拖带坐标系”描述尖端的运动：假设有一斜交坐标系附着于尖端上，如图1，称之为变化。1尖端坐考虑裂纹尖端微小的运动过程，由热力学第一定律的推广形式([2]、dUdEQ 其中，dU是尖端的内能；dE是尖端运动中的动能；δQ是尖端吸收的外界能量；δW是尖运动过程中对外做的功(相当于能量耗散)U是状态量，Q、W是过程量，所以分别用微分符号d和变分符号δ。现在对方程(1)中右端的两个函数δQ和δW分别进行确定假定存在裂纹尖端热力学系统σ-ε-T，T为恒定，则方程(1)中的元功δW 其中，σ为裂纹尖端的应力，确定方法见裂纹尖端场有关内容(、中国航空为裂纹尖端在微小过程内的应变，如图2；d为能量密度，因为考虑到量纲问题，乘以体积即为能量量纲(焦耳J)2尖端由状P1P2考虑弹性介质， 定律E代入方程W 其中，E为岩石材料的弹性模量由热力学第二定律可知，自然界发生的一切现象都是不可逆的，因为发生了能量耗散，从而给裂纹尖端提供动力，裂纹的演化正是能量不断耗散的过程。对裂纹尖端应用热力学第二定律，与上述热力学第一定律相同，考虑一个微小过程吸收的微元热量 其中，对于不可逆过程，T代表热源温度(环境温度)，并且方程取不等号；对于可逆过程，T代表热源温度也代表裂纹系统的温度，并且方程取等号；S是描述系统热力学有序性的状态函数，几乎被认为是热力学中最重要的物理量。方程dE即为动能变化dEd1Mv2 其中，M为裂纹邻域空间内的质量，对于各项同性的均匀介质来说，其值为邻域空间内的测度与质量密度的乘积M；v为从状态P1到P2的裂纹扩展速度变化量对方程(1)稍作变QdUdE 将方程(3)、方程(4)、方程(5)代入方程TdSQdUd1Mv2 将以上方程在裂纹扩展的过程域P1P2内积 dUP2d1Mv2

P1其中，P1、P2是裂纹演化过程中经历的两个紧挨着的状态，其间隔时间非常之小，可视为微小过程；Ω是裂纹尖端邻域空间；V是尖端邻域空间上的测度，因为是平面问题，因此取单位厚度，如图3，单位厚度的测度为积分V。3尖端邻域空间内的测积分，得方TSSQQUU

1Mv'2v2

EV'22 的讨论；Q1、Q2分别为状态P1、P2时外界流入系统的能量；U1、U2分别为状态P1、P2时的内能M为裂纹邻域空间内的质量，见方程(5)的讨论；v'和v0分别为尖端在P1、P2时的裂速；'和TSQU1Mv21EV2 方程(10)就是所推导得到的岩石材料裂纹演化热力学方程，描述了裂纹尖端能量参数、力学参数之间的关系，因其含有重要变量：内能U、熵S、应变ε、裂速v，可称之为U-S--v方程。在接下来的讨论中将看到，以这个方程为中心衍生出一些比较重要的讨论。裂纹演化热力学方程(U-S-ε-v方程)的推现根据以上推导的裂纹演化热力学方程进行进一步的推论分析。主要包括尖端形变方程、考虑熵和内能的方程、裂纹相互作用方程。考虑尖端形变的U-S-ε-v方现分析裂纹尖端的形变情况上述推导中可见“测度V”等的叙述，实际上就是体积的概念，因为考虑到尖端的邻域空间故将其称为测度。当尖端测度V在裂纹演化中发生变化，如从状态P1到P2，显然，这就不能用先前状态P1的测度V代替状态P2的测度了。这时的测度将发生改变，如图3。由热力学第一定律引出的物态方程p(V,T)可以将测度V视为状态函数，从而确定在不同状态时的测度情况，考虑p-T系统，根据凝聚态物理([2)可知存在各项同性固体的物态方程，由于本文研究弹性介质中的微裂纹，考虑σ-T系统，并考虑到量纲一致性，则尖端测度方程可写为 这个方程表示状态T、σ时裂纹系统V(体积)，实际上是在(T0,σ0)点将(T,σ)Taylor级数展开，保留到一阶项，因此方程(11)仅适T、σ偏离原状T0、σ0范围不太大时的情况。在过程域P1,P2内，V0、T0、σ0分别表示在状态P1时的测度、温度、应力，其中，应力可用定律做变换；V、Tσ分别表示在状态P2时待定的状态变量，本节讨论中，视V为未知量，κT分别为膨胀系数、等温压缩系数，它们都是状态函数，分别由下式确定1V，

1V

VVT 其中，α为应力不变的情况积随温度的相对变化率；κT为温度不变的情况积随应力的相对变化率。它们都是可测量，由热力学试验确定。如前所述，在T、σ偏离原状态T0、σ0范围不太大的情况下，α、κT可被视为常数。再者，由于不考虑温度的变化，则方程(11)中的项(T-T0)=0。考虑弹性介质，联立定律 这样，方程(11)可写TSQU1Mv21EV21 方程(14)是表现测度变化的裂纹演化热力学方程，是方程(10)程可以描述裂纹尖端的形变情况。引入熵平衡方程的U-S-ε-v方由热力学中的熵平衡方程可知，裂纹系统内的“熵增”由两部分组成，一部分是由于裂纹自身不可逆演化产生的熵diS“熵产生”；另一部分是由于裂纹系统与外界环境的交换而产生的熵deS，称为“熵流”或“供熵”，流入能量为“正熵流”，流出能量为“负熵流”。熵平衡方程为dSdiSde 则裂纹演化基本方 可进一步写为如下形TSSQU1Mv21EV2 关于这个方程的意义在下文中讨论。将看到它可以解释裂纹失稳贯通、止裂等现象Boltzman关系的U-S-ε-v方现在考虑统计力学中著名的Boltzman关Skln则方程(10)进一步写为

2 Tk QU2M 1

2EV

其中Ω1、Ω2分别为过P1,P2端点状态的热力学几率kBoltzman常数1.381023JK方程(18)的意义在下文说明，它能合理解释裂纹扩展、贯通、止裂的现象考虑内能增量的的U-S-ε-v方类比热力学中的p-V-T系统 [1]、[2])，对于裂纹的σ-ε-T系统来说有如下内能的具体表达形UT,VTCT,VdT

VT

0T TCT,VdT 其中，CV TCT,VdT V VT 0T 则裂纹演化基本方程(10)可进一步写为如下形TCT,VdTV TS1EV21Mv2 VT T V 0T 根据方程(20)，就可以由试验定量确定裂纹演化热力学基本方程(10)中的内能变化量描述裂纹尖端相互作用的的U-S-ε-v方根据方程(16)，考虑两个裂纹尖端系统的热力学方程TSSU1Mv21EV2i e

TSSU Mv2 i e 2方程中的ΔeS、ΔS、ΔU、Δv、Δε为变量，依据不同的裂纹尖端而不同。对于两个不同的尖端系统，当它们各自孤立时(即没有发生贯通等相互作用)，有熵流等式ΔeS1=ΔeS2=0，并且其余的变量也不确定(可能相等、可能不等)。当两个裂纹尖端相互靠近，出现相互作用时，发生最明显变化的是熵流，它将扮演一个重要的角色。此时，为了讨论的方便，将这两条裂纹的变量ΔiS、ΔU、Δv、Δε视为定值，尖端运动的不同由ΔeS反映，二者的ΔeS间存性关系eS1ke 于是有任意两个裂纹尖端的热力学方TSSU1Mv21EV2i e

TSkSU Mv2 i e 0存在四种情况k=0，即ΔeS1=ΔeS2=0k>0，即ΔeS1>ΔeS2。此时裂纹尖端1的熵流大于裂纹尖端2的熵流，即尖端1受到尖端的影响比尖端2受到尖端1的影响强烈k<0，即ΔeS1<ΔeS2。此时裂纹尖端2的熵流大于裂纹尖端1的熵流，即尖端2受到尖端的影响比尖端1受到尖端2的影响强烈将以上结论推广至n个裂纹尖端的情eSnkmeSn1，km{k10,k20,k30,k4其中，km为尖端因子影响系多裂纹尖端中任意n个尖端的热力学方程组TSkSU1Mv21EV2i me

TSkSU Mv2 i me TSkSU Mv EVi me

0TSk UMv2EV2i me 0综合以上论述，外熵流的增量表现了裂纹尖端相互作用的影响情况。再者，引入Boltzman关系，将外熵流改写为Boltzman关系kln

0,

0,

0,

m

e(n1)1结合熵平衡方 e12

1Mv21EV2TiS0kmk

0e11 0

TSkk e22U

Mv2 0i 00 e21 0

TSkk en2U

Mv2 0i 0

en1 00 e(n1)200

1Mv21EV2TiS0kmk

e(

U0

可以看到，在(n+1)个多裂纹尖端的系统中，任意一个裂纹尖端的总熵增都受到其它n个尖端的影响，并且由于km的取值不同，每个裂纹尖端下一步的发展情况不同，受裂纹相互作用的影响程度熵S和内能U这两个具有重要性的物理量，可对裂纹演化全过程进行解释。对方程(10)进UTS1Mv21EV2

M

1EV2 1 裂纹演化方程中内能的物理意由方程(29)可知，内能描述了裂纹尖端目前的现状。裂纹演化过程中内能的增量总是趋向最小，它总有最大值(上限)。可认为ΔU表示剩余的能量，即剩余的能量总是趋向最小，能量耗散一直持续，直至ΔU为非正。1EV2可视作系统对外做功的能力(消耗能量的能力)，它越大2 示剩余的能量(ΔU)越大 Mv可视作系统保持运动的能力(保持运动的潜力)，它越大表示 2余的能量越小裂纹演化方程中熵的物理意由方程(30)可知，熵描述了裂纹尖端将来的发展情况。裂纹演化过程中总的熵增量总是趋向最大，它总有最小值(下限)。可认为TΔS表示系统将来的程度，即随着裂纹系统的度越来越大。系统对外做功的能力1EV22

(消耗能量的能力)越大，则系统将来的度越小；统保持运动的能力1Mv22

(保持运动的潜力)越大，将来的度越大J下面引入热力学中的两个概念([2])，用以描述“总熵增ΔS的变化率”。热力学中定义了熵源强度θ和熵流密J

，Js

于是熵平衡方程可写s

s ts ts 定义了以上物理量，就可以用来分别描述裂纹稳态演化和失稳扩展阶段的熵增率的情况。θ表示自身的熵产生，Js表示外界带来的熵产生，对于稳态演化和失稳扩展，熵流密度Js均为零，因此总熵增率式(32)为sis

展的熵变化量远大于稳态演化的熵变化量，又因为裂纹系统的总熵增率st等于自身产生的熵源强度θ。由此可断定，在裂纹失稳扩展阶段的θ’要远大于稳态阶段的θ0，因此表现出了在相同时间内，失稳扩展阶段的总熵变化量S大于稳态阶段的S，即稳态演化阶段的熵增等于熵源强度在时间t1,t2内的积t2dt t2is0dt

11 11失稳扩展阶段的熵增等于熵源强度在时间t1,t2内的积t2'dt

t22

S

t1于是有不等S' 由上述讨论可知，由于裂纹稳态演化阶段的熵源强度θ0远小于失稳扩展阶段的θ’，所以失稳扩展的裂纹速度急剧增长，甚至呈加速增长，于是远大于稳态演化阶段的裂纹扩展速度。θ和熵流密度Js(1)认为熵产生diS是描述裂纹自身发展情况(如单条裂纹稳态演化和单条裂纹失稳扩展)diS引出熵源强度θ，认为稳态演化和失稳扩展中的θ存在巨大差别，θ越大则裂纹速度越快或者裂纹之间的贯通效应越剧烈，但是稳态演化和失稳扩展均与外熵流deS(2)认为熵流deS是描述裂纹受外界影响强弱程度(如裂纹贯通、止裂)的重要参数，建立了两个裂纹尖端相互作用的热力学方程，并将其推广到n个裂纹尖端的情况。以熵流deS引出熵流密度Js，认为不受止裂控制的裂纹外熵流密度JsΔS无限趋近于零，即裂纹自身和外界都没有熵增。裂纹稳态扩展。由于总熵变永不为负，所以裂纹在演化过程中做负功，存在能量耗散，能量耗散产生驱动力用以克服材料本身做负功，直至内能增量小于或等于裂纹对外做功的值才停止，在此之前裂纹系统的热量增量一直为正，也就是裂纹尖端在吸热，并且一直扩展。此外，在裂纹的尖端最容易发生能量耗散，所以裂纹总是沿着尖端发展。分岔与弯曲。S的Boltzman表述为kln21，可知后继状态的热力学几率Ω2总大于先前状态的Ω12由于能量耗散导致的材料介质的物理力学性状改变，以及系统的度增加，使得发生分岔或弯曲现象，以增大裂纹系统度。并且这个过程的熵增dS是由于自身的熵产生diS的，与熵流deS无关。裂纹失稳扩展。熵源强度θ越大，裂纹速度越快或裂纹之间的贯通效应越剧烈，但是稳演化和失稳扩展均与外熵流deS无关。再者，由于失稳扩展的熵变化量远大于稳态演化的熵变化量(多了一个动能项)，又因为裂纹系统的总熵增率st等于自身产生的熵源强度θ。由此可断定，在裂纹失稳扩展阶段的θ’要远大于稳态阶段的θ0，因此表现出相同时间内失稳扩展阶段的总熵变化量S大于稳态阶段的S。由于裂纹稳态演化阶段的熵源强度θ0远小于失稳扩展阶段的θ’，所以失稳扩展的裂纹速度急剧增长，甚至呈加速增长，于是远大于稳态演化阶段的裂纹扩展速度。耗的能量来自于介质自身，直至自身能量被裂纹尖端的运动耗散完毕，裂纹才停止运动。人为止裂：岩石材料中的加锚止裂控制一方面控制住了裂纹尖端运动速度Δv的增量，使得尖端消耗能量的能1Mv2

(动能)减少；另一方面，止裂也增加了尖端消耗能量的潜力1EV22

(对所做的功)。因此，对于裂纹尖端的剩余能量(内能增量ΔU)和未来的度TΔS(熵增)，有如下发展趋势：加锚止裂中，内能增量ΔU呈增长趋势，相当于保持住了系统的能量；未来的度TΔS呈减小趋势，相当于控制住了系统的发展。岩石破裂。岩石介质由于若干微裂纹的演化而发生能量耗散，从而失去能量，当自身能量不足以抵抗外界的荷载时，岩石发生破坏。完全破坏后的岩石能量为零，不再有熵增，是一个超稳定状态。综上所述，对于全过程，由于能量的耗散驱动了裂纹的扩展，使得裂纹发生损伤断裂演化，能量源于材料自身，当能量耗散殆尽，裂纹自然停止，或者在外界作用下彻底破坏，这两者都达到了系统演化的尽头，处于超稳定状态。本文从热力学、统计物理的角度建立了岩石材料的裂纹演化方程，进行了裂纹演化基本方程及其它的一系列推论方程。运用这一系列方程可以描述裂纹演化过程的物理图像、解释裂纹演化过程中的现象。但是本文所建立的理论仅是初步的、不成，有待进一步发展。1.热力学与统计物理学[M].：2.热力学(第二版)[M].：APRELIMINARYTHEORYOFTHERMODYNAMICSANDSTATISTICALPHYSICSONCRACKEVOLUTIONOFROCKMATERIALSWANGLuyu1,2CHEN TANXuyan2MAYongshang1ZANG(1.InstituteofRockandSoil AcademyofSciences，Wuhan，Hubei 2.Col