高中数学2-2学案：1.2.2 函数的和、差、积、商的导数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.2.2函数的和、差、积、商的导数学习目标1。理解导数四则运算法则.2.能利用导数四则运算法则求导．知识点导数的四则运算思考1已知函数f(x)＝x2，g(x）＝x，试求f′(x）和g′（x）．思考2分别求函数f(x)＋g(x）,f(x）－g(x），f（x)·g（x），eq\f(fx，gx）的导数．思考3你能发现f(x)±g（x），f(x）·g（x)，eq\f(fx,gx）的导数与f′（x），g′（x)的关系吗？设两个函数分别为f(x)和g（x)，则有：两个函数的和的导数［f（x)＋g（x）］′＝________两个函数的差的导数[f（x)－g(x)］′＝________两个函数的积的导数［f（x)·g(x)]′＝______________两个函数的商的导数[eq\f（fx，gx)］′＝______________(g（x)≠0）类型一应用导数的运算法则求导例1求下列函数的导数：（1)y＝eq\f（\r（x5)＋\r（x7)＋\r（x9),\r（x）)；（2）y＝eq\f(x2＋1，x2＋3）；（3）y＝(x＋1)（x＋3)（x＋5）；（4)y＝xtanx.反思与感悟（1）解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．（2）对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形）,然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．（3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)（3x－2）；(2)y＝2xcosx－3xlnx；(3）y＝eq\f（x－1,x＋1).类型二导数运算法则的应用例2求曲线y＝eq\f(2x,x2＋1)在点(1，1)处的切线方程．反思与感悟求函数f（x)图象上的点P(x0，f(x0））处的切线方程的步骤为：先求出函数在x0处的导数f′（x0)(即在点P处切线的斜率)，再用点斜式写出切线方程，若切点未给出，可先设出，然后由题目所给条件列方程求出即可．跟踪训练2求过点P（1,3）且与曲线y＝x3－x＋3相切的切线方程．类型三知切线方程求参数例3已知函数f（x）＝eq\f（ax－6,x2＋b）的图象在点M（－1，f(－1））处的切线方程为x＋2y＋5＝0,求函数y＝f（x）的解析式．反思与感悟（1）解答本题的关键是能正确根据条件进行求导运算、列出方程组．（2)解决与切线有关的问题时,要充分运用切点的坐标．特别是切点的横坐标，因为切点的横坐标与导数有着直接的联系．跟踪训练3已知函数f（x)＝eq\f（alnx,x＋1）＋eq\f（b,x），曲线y＝f（x)在点（1，f（1））处的切线方程为x＋2y－3＝0。求a,b的值．1．设y＝－exsinx,则y′＝______________________.2．函数f（x）＝eq\f(cosx,1－x)的导数为__________________．3．设f(x）＝xlnx，若f′（x0)＝2，则x0＝________。4．设函数f（x）＝x3－3ax＋b(a≠0）．若曲线y＝f(x）在点(2，f（2)）处与直线y＝8相切，则ab＝________。5．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx,且直线l与曲线C相切于点(x0,y0)(x0≠0），求直线l的方程及切点坐标．1．导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简,再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先,在化简时,要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时,一定要将函数化为八个基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数．2．和与差的运算法则可以推广[f（x1）±f（x2)±…±f(xn）］′＝f′(x1）±f′(x2)±…±f′（xn）．3．积商的求导法则（1)若c为常数，则［c·f（x)］′＝c·f′(x）；(2)类比[f(x）·g(x)］′＝f′(x)·g（x）＋f(x）·g′(x）记忆,[eq\f（fx,gx）]′＝eq\f(f′x·gx－fx·g′x,g2x）;(3)当f(x）＝1时有[eq\f(1，gx)]′＝－eq\f（g′x,g2x）.提醒：完成作业1.2。2

答案精析问题导学知识点思考1f′（x)＝2x,g′(x)＝1。思考2[f(x)＋g(x）]′＝2x＋1,［f(x）－g（x)］′＝2x－1，［f(x)·g(x)]′＝3x2，［eq\f（fx,gx)］′＝1.思考3[f(x）±g（x）]′＝f′(x)±g′(x），［f(x)·g(x）］′＝f′（x)g(x）＋f(x)g′(x)，[eq\f（fx，gx）]′＝eq\f(f′xgx－fxg′x，g2x)。f′（x)＋g′(x）f′(x）－g′(x)f′（x)g(x）＋f（x）g′(x)eq\f（f′xgx－fxg′x，g2x）题型探究例1(1)∵y＝eq\f(\r（x5）＋\r（x7)＋\r(x9）,\r（x））＝x2＋x3＋x4，∴y′＝（x2）′＋（x3)′＋（x4）′＝2x＋3x2＋4x3.（2）方法一y′＝eq\f(x2＋1′x2＋3－x2＋1x2＋3′，x2＋32)＝eq\f（2xx2＋3－2xx2＋1,x2＋32）＝eq\f(4x，x2＋32).方法二y＝eq\f（x2＋1,x2＋3)＝eq\f(x2＋3－2，x2＋3)＝1－eq\f(2，x2＋3)，y′＝（1－eq\f（2,x2＋3））′＝(eq\f(－2,x2＋3))′＝eq\f(－2′x2＋3－－2x2＋3′,x2＋32）＝eq\f(4x，x2＋32).（3)方法一y′＝[(x＋1）（x＋3）]′(x＋5)＋（x＋1)（x＋3)(x＋5)′＝[（x＋1)′(x＋3）＋（x＋1）（x＋3)′］(x＋5)＋（x＋1)(x＋3）＝（2x＋4）（x＋5)＋(x＋1)（x＋3）＝3x2＋18x＋23.方法二y＝（x＋1）（x＋3）（x＋5)＝（x2＋4x＋3）(x＋5)＝x3＋9x2＋23x＋15，y′＝（x3＋9x2＋23x＋15）′＝3x2＋18x＋23。（4)f′(x)＝（xtanx）′＝(eq\f(xsinx,cosx））′＝eq\f（xsinx′cosx－xsinxcosx′，cos2x)＝eq\f(sinx＋xcosxcosx＋xsin2x，cos2x）＝eq\f(sinxcosx＋x，cos2x）.跟踪训练1解(1)方法一y′＝（2x2＋3）′(3x－2)＋（2x2＋3)(3x－2）′＝4x（3x－2)＋（2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9。方法二∵y＝（2x2＋3)（3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6,∴y′＝18x2－8x＋9。（2）y′＝(2xcosx－3xlnx）′＝(2x)′cosx＋2x（cosx）′－3·[x′lnx＋x（lnx）′］＝2xln2cosx－2xsinx－3（lnx＋x·eq\f(1,x)）＝2xln2cosx－2xsinx－3lnx－3.(3）y′＝（eq\f（x－1,x＋1）)′＝eq\f（x－1′x＋1－x－1x＋1′,x＋12）＝eq\f(x＋1－x－1，x＋12)＝eq\f(2，x＋12).例2解y′＝eq\f（2x2＋1－2x·2x，x2＋12)＝eq\f(2－2x2,x2＋12），∴当x＝1时，y′＝eq\f（2－2，4）＝0,即曲线在点（1，1）处的切线斜率k＝0。因此曲线y＝eq\f(2x，x2＋1)在点(1,1)处的切线方程为y＝1.跟踪训练2解设切点P0（x0，xeq\o\al（3，0）－x0＋3)．∵y′＝3x2－1,∴k＝3xeq\o\al(2,0）－1.故曲线在点P0处的切线方程为y－(xeq\o\al(3，0）－x0＋3）＝(3xeq\o\al(2，0)－1）(x－x0），将P(1，3）代入，得2x30－3xeq\o\al(2，0）＋1＝0，即2（xeq\o\al（3，0）－xeq\o\al（2,0））－(xeq\o\al（2,0）－1）＝0.分解因式得(x0－1）2(2x0＋1）＝0，解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,2），故切点为(1，3)或（－eq\f(1，2），eq\f(27，8）)．故切线方程为2x－y＋1＝0或x＋4y－13＝0。例3解由函数f（x）的图象在点M(－1,f（－1））处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知－1＋2f（－1）＋5＝0，即f(－1）＝－2，由切点为M得f′(－1)＝－eq\f(1,2).∵f′（x）＝eq\f（ax2＋b－2xax－6,x2＋b2），∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(－a－6,1＋b）＝－2，，\f(a1＋b－2a＋6,1＋b2）＝－\f（1，2），））即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2b－4，，\f(a1＋b－2a＋6，1＋b2)＝－\f（1,2）,))解得a＝2,b＝3或a＝－6，b＝－1（由b＋1≠0，故b＝－1舍去）．∴所求函数解析式为f（x）＝eq\f(2x－6，x2＋3)。跟踪训练3解f′（x）＝eq\f（a\f（x＋1,x)－lnx，x＋12)－eq\f(b,x2).由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－eq\f（1,2)，且过点(1,1），故eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（f1＝1，，f′1＝－\f(1,2)，））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,\f（a,2）－b＝－\f（1,2）。)）解得a＝1，b＝1。达标检测1．－ex(sinx＋cosx)2.eq\f（cosx－sinx＋xsinx，1－x2）3．e4．965．解∵直线l过原点，∴直线l的斜率k＝eq\f（y0，x0）（x0≠0),∵点（x0，y0）在曲线C上，∴y0＝xeq\o\al(3，0）－3xeq\o\al（2,0)＋2x0，∴eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0）－3x0＋2,又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝3xeq\o\al（2，0）－6x0＋2，又k＝eq\f（y0,x0),∴3xeq\o\al(2，0)－6x0＋2＝eq\f(