立体几何中的向量方法

222222立体几何的向量方法班级________姓名________考_______日得分________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分共分，将正确答案代号填在题后的括号内．)．若＝(2，＝(1－y,9)，且a，则)A＝，＝C．x，＝

B＝，＝－3D．＝，＝1解析：∥b，则＝＝，－2y93∴x＝，y＝－，故选C.2答案：．已知向量a(1,1,0)b＝－，且＋与ab互垂，则的值()3A1C.55解析：∵ka＋＝(k－1k,－＝(3,2－2)若(k＋)⊥－)，则kab－b＝0，∴k－＋k－＝，k＝，选D.答案：D＝(2,0)－)与的角为钝角数的值围()A<B－4<<0C．<4D．x>4解析：题意〈ab〉<0，且≠－，即a，且≠－，∵a，∴3＋2(2－x)0·x<0，解得x<4若＝－b则(2,0)＝(－，x－2－x显然无解，所以不可能与－相．综上知，x<，故选A.1

222222答案：A．设点Ca1a＋在点P(2,0,0)、(1，－3,2)、，确定的平面上，则等于)A16B．4C．．8解析：题意知PA，B，四点共面，∴存在实数x，使＝x＋成立，即a1，＋1,2)＝x(－，－＋y(6，－1,4)，＝(－x＋y，－3－2＋4)，∴－x＋6＝a1,－3－＝a＋1,2x＋＝2a，选答案：A．已知向量n分别是直线l平面α的向向量和法向量，若〈n＝－，则l与所成的角为()AB．120°D解析：于〈m，〉＝－∴〈m，〉＝，所以直线lα所的角为，故选A.答案：A．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值()

D.333解析：正三棱锥O的点O为点，，，，z轴系(略)，设侧棱长为1则(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)．侧面OAB法向量为＝．11底面的法量为n＝，，．3∴〈，n＝

OCnOC|·n＝

＝.1·()＋)＋)32

答案：二填空题本大题共小题每小题6分共分把正确答案填题后的横线上．已知为行四边形，且A，(2，－5,1)，C，，则点的标为________．解析：(，)由题设知，AB＝(2，－，－，DC＝－7－，－－，又＝，所以－x＝－－y＝－6,－5－＝，∴＝＝13，z＝－3故选答案：，．若直线l方向向量e＝m，平面α的法向量n＝，，2)且lα则m解析：平面α的向量即为平面的法线的方向向量，又l⊥∴∥，即＝nλ，亦即2,1，)＝，，，∴

＝2

∴＝4.答案：4．如图所示，在棱长为1的方体ABCD—BCD中M和分是和111的中点，那么直线AM与CN所角的余弦值_．解析以为标原点，DA为x轴为轴DD为z轴建立空间直角坐标1系，如图所示．3

233348，233348，，答案：1则(1,0,0)，M，，1，，1，1∴＝

，，1，＝

，，

设直线AM与CN所成的角为，则cos＝|cos，〉AM＝＝AM|

2＝.1＋＋4答案：．已知(1,2,3)B(2,1,2)，P(1,1,2)点Q在线OP上动．当QA取最小值时，点Q的标为________．解析：OQ＝＝(λ，，2，则＝(1λ－，32)，QB＝(2λ－，－λ．∴＝－λ－)＋(2λ)(1－)－λ)(2λ＝λ－16＋10＝6

λ－2

2∴当＝时QA取最小值－8448，，，Q，，此时，OQ＝3

三、解答题本大题共小题，11题13分题14分，写出证明过程或推演步骤．4

2211．棱长为1的方体AC中O为的点．11求证：∥面.11解：建立如图所示的空间直角坐系O为中点．由于正方体的棱长为，则(0,0,0)，(1,0,0，)，C，O

1，，，(0,1,1)，O1

1，，由上可知BO＝1

－，，12

，＝1

1－，，12∴＝OD，BO∥OD，1111又BO⊄平面，⊂面ACD，1∴BO∥平面.11．如图，在三棱锥P，＝＝6，PB，AB，∠＝，平面PAB平面(1)求证：⊥面；(2)求二面角—的弦值；5

44(3)求异面直线和所角的余弦值．解：由于平面⊥平面ABC且PA＝，∴以的点O为标原点，建立如图所示的空间直角坐标系∵PA＝＝6PA⊥，∴AB，PO又∠BAC＝30°，ABBC∴＝2，∴(0，－3，0)，(0,0，3)，B，3，，，，0)．(1)证明：∵PA＝，－3，－3)，＝(2,0,0)，∴BC＝，∴PA⊥BC.又∵PA⊥PBPB∩＝B∴PA⊥平面.(2)作OM⊥AC于M，接PM.又∵PO平面，∴∠是二面角P—B的平面角．AO3在eq\o\ac(△,Rt)AMO中，＝＝＝，∴M，，，33从而MO＝－，，，＝－，，.MOMP∴〈MO，MP〉＝＝.MOMP|(3)∵AB＝，，PC＝(2，，－，6

222222∴〈AB，PC〉

AB＝.AB|||如在长方体—BC中ADAA＝＝2点在棱AB上动．1111(1)求证：⊥AD；1π(2)等何值时，二面角D——D的小为14分析：(1)线垂直的性质②面角的逆用③根据三棱锥等积法．(2)向量法．解：解法一：(1)证明：∵AE⊥平面AADD11∴AEAD∵AADD为方形，1∴D⊥AD，∴D⊥面ADE，AD⊥E.11111(2)过D作DH⊥H，连接H、DE则H⊥CE1∴∠为面角D—ECD的面角．11设＝，则＝2π在eq\o\ac(△,Rt)DH，∠＝，DH1∵在eq\o\ac(△,Rt)中，＝1x，∴在eq\o\ac(△,Rt)DHE中＝x，在eq\o\ac(△,Rt)DHC中CH3，在eq\o\ac(△,Rt)CBE中CE＝x

－4＋5.∴x＋＝－4＋x＝2π∴AE2－3，二面角DD大小为1解法二：以D为标点，直线，DD分别为xyz轴建立空间直角坐标1系，设＝x，则D，A，，E，0)，C(0,2,0)117

1(x＋1(x＋(1)证明：∵DADE＝(1,0,1)·(1，x－1)＝0，1∴⊥DE，EAD11(2)设平面D的向量＝(a，c，1CE＝，－，DC＝