2018年广东省汕头市中考数学模拟试卷一

/2018年XX省XX市中考数学模拟试卷〔一一、选择题1．〔3分﹣2018的绝对值是〔A．±2018 B．﹣2018 C． D．20182．〔3分一种病毒长度约为0.000056mm.用科学记数法表示这个数为〔A．5.6×10﹣6 B．5.6×10﹣5 C．0.56×10﹣5 D．56×10﹣63．〔3分如图是由七个相同的小正方体堆成的物体.这个物体的俯视图是〔A． B． C． D．4．〔3分下列计算正确的是〔A．〔﹣a32=﹣a6 B．〔a﹣b2=a2﹣b2 C．3a2+2a3=5a5 D．a6÷a3=a35．〔3分某旅游公司20XX三月份共接待游客16万人次.20XX五月份共接待游客81万人次．设每月的平均增长率为x.则可列方程为〔A．16〔1+x2=81 B．16〔1﹣x2=81 C．81〔1+x2=16 D．81〔1﹣x2=166．〔3分一元二次方程x2+2x﹣4=0的根的情况为〔A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定7．〔3分在△ABC中.∠C=90°.如果AB=6.BC=3.那么cosB的值是〔A． B． C． D．8．〔3分以方程组的解为坐标的点〔x.y在平面直角坐标系中的位置是〔A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．〔3分如图.为估算某河的宽度.在河对岸选定一个目标点A.在近岸取点B.C.D.使得AB⊥BC.CD⊥BC.点E在BC上.并且点A.E.D在同一条直线上．若测得BE=20m.CE=10m.CD=20m.则河的宽度AB等于〔A．60m B．40m C．30m D．20m10．〔3分如图.一个梯子AB长2.5米.顶端A靠在墙AC上.这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米.梯子滑动后停在DE的位置上.测得BD长为0.9米.则梯子顶端A下落了〔A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米二、填空题11．〔3分函数y=的自变量x的取值范围为．12．〔3分因式分解：m3n﹣9mn=．13．〔3分分式方程的解为x=．14．〔3分在一个不透明的盒子中装有8个白球.若干个黄球.它们除颜色不同外.其余均相同．若从中随机摸出一个球.它是白球的概率为.则黄球的个数为．15．〔3分若+〔b+42=0.那么点〔a.b关于原点对称点的坐标是．16．〔3分如图.在△ABC中.AB=2.BC=3.5.∠B=60°.将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE.当点B的对应点D恰好落在BC边上时.则CD的长为．三、解答题一17．计算：×sin45°+〔﹣1﹣〔﹣1018．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．19．已知：如图.在△ABC中.∠A=30°.∠B=60°．〔1作∠B的平分线BD.交AC于点D；〔2作AB的中点E〔要求：尺规作图.保留作图痕迹.不必写作法和证明；〔3连接DE.求证：△ADE≌△BDE．四、解答题二20．某中学九〔1班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况.采取全面调查的方法.从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好.根据调查的结果组建了4个兴趣小组.并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图〔如图①.②.要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类.请你根据图中提供的信息解答下列问题：〔1九〔1班的学生人数为.并把条形统计图补充完整；〔2扇形统计图中m=.n=.表示"足球"的扇形的圆心角是度；〔3排球兴趣小组4名学生中有3男1女.现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队.请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．21．已知：如图.在平面直角坐标系xOy中.直线AB与x轴交于点A〔﹣2.0.与反比例函数在第一象限内的图象的交于点B〔2.n.连接BO.若S△AOB=4．〔1求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；〔2若直线AB与y轴的交点为C.求△OCB的面积．22．如图所示.一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点.A、B相距2km.在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向.在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向.求景点C到观光大道l的距离．〔结果精确到0.1km五、解答题〔三23．如图.已知正比例函数y=2x与反比例函数y=〔k＞0的图象交于A、B两点.且点A的横坐标为4.〔1求k的值；〔2根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围；〔3过原点O的另一条直线l交双曲线y=〔k＞0于P、Q两点〔P点在第一象限.若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形面积为224.求点P的坐标．24．如图.在ABC中.AB=BC.以BC为直径的⊙O交AC于点D.过点D作DE⊥AB.DF⊥BC.垂足分别为E、F.①求证：ED是⊙O的切线；②求证：DE2=BF•AE；③若DF=3.cosA=.求⊙O的直径．25．如图.抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点〔点A在点B的左侧.与y轴相交于点C.顶点为D．〔1直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；〔2连接BC.与抛物线的对称轴交于点E.点P为线段BC上的一个动点.过点P作PF∥DE交抛物线于点F.设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示线段PF的长.并求出当m为何值时.四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S.求S与m的函数关系式．2018年XX省XX市中考数学模拟试卷〔一参考答案与试题解析一、选择题1．〔3分﹣2018的绝对值是〔A．±2018 B．﹣2018 C． D．2018[分析]根据绝对值的定义即可求得．[解答]解：﹣2018的绝对值是2018.故选：D．[点评]本题主要考查的是绝对值的定义.熟练掌握相关知识是解题的关键．2．〔3分一种病毒长度约为0.000056mm.用科学记数法表示这个数为〔A．5.6×10﹣6 B．5.6×10﹣5 C．0.56×10﹣5 D．56×10﹣6[分析]绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示.一般形式为a×10﹣n.与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂.指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．[解答]解：0.000056=5.6×10﹣5．故选：B．[点评]本题考查用科学记数法表示较小的数.一般形式为a×10﹣n.其中1≤|a|＜10.n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．〔3分如图是由七个相同的小正方体堆成的物体.这个物体的俯视图是〔A． B． C． D．[分析]找到从上面看所得到的图形即可．[解答]解：从上面看.下面一行第1列只有1个正方形.上面一行横排3个正方形．故选：C．[点评]本题考查了三视图的知识.俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．〔3分下列计算正确的是〔A．〔﹣a32=﹣a6 B．〔a﹣b2=a2﹣b2 C．3a2+2a3=5a5 D．a6÷a3=a3[分析]根据积的乘方.完全平方公式.合并同类项.同底数幂的除法法则计算即可．[解答]解：A、〔﹣a32=a6.故本选项错误；B、〔a﹣b2=a2﹣2ab+b2.故本选项错误；C、不是同类项.不能合并.故本选项错误；D、a6÷a3=a3.故本选项正确．故选：D．[点评]本题综合考查了积的乘方.完全平方公式.合并同类项.同底数幂的除法.是基础题目.难度不大．5．〔3分某旅游公司20XX三月份共接待游客16万人次.20XX五月份共接待游客81万人次．设每月的平均增长率为x.则可列方程为〔A．16〔1+x2=81 B．16〔1﹣x2=81 C．81〔1+x2=16 D．81〔1﹣x2=16[分析]本题依题意可知四月份的人数=16〔1+x.则五月份的人数为：16〔1+x〔1+x.再令16〔1+x〔1+x=81即可得出答案．[解答]解：设每月的平均增长率为x.依题意得：16〔1+x2=81．故选：A．[点评]此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率的问题.一般公式为：原来的量×〔1±x2=现在的量.x为增长或减少的百分率．增加用+.减少用﹣．6．〔3分一元二次方程x2+2x﹣4=0的根的情况为〔A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定[分析]把a=1.b=2.c=﹣4代入判别式△=b2﹣4ac进行计算.然后根据计算结果判断方程根的情况．[解答]解：∵一元二次方程x2+2x﹣4=0.∴△=2﹣4〔﹣4=18＞0.∴方程有两不相等实数根.故选：C．[点评]本题考查了根的判别式.一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3△＜0⇔方程没有实数根．7．〔3分在△ABC中.∠C=90°.如果AB=6.BC=3.那么cosB的值是〔A． B． C． D．[分析]先画出图形.然后根据锐角三角函数的定义求解即可．[解答]解：如图所示：cosB==．故选D．[点评]本题考查了锐角三角函数的定义.属于基础题.注意锐角B的邻边a与斜边c的比叫做∠B的余弦．8．〔3分以方程组的解为坐标的点〔x.y在平面直角坐标系中的位置是〔A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限[分析]此题可解出的x、y的值.然后根据x、y的值可以判断出该点在何象限内．[解答]解：根据题意.可知﹣x+2=x﹣1.∴x=.∴y=．∵x＞0.y＞0.∴该点坐标在第一象限．故选：A．[点评]此题考查二元一次方程组的解法及象限的符号特征：利用代入消元或加减消元求得方程组的解为x=.y=.第一象限横纵坐标都为正；第二象限横坐标为负；纵坐标为正；第三象限横纵坐标都为负；第四象限横坐标为正.纵坐标为负．9．〔3分如图.为估算某河的宽度.在河对岸选定一个目标点A.在近岸取点B.C.D.使得AB⊥BC.CD⊥BC.点E在BC上.并且点A.E.D在同一条直线上．若测得BE=20m.CE=10m.CD=20m.则河的宽度AB等于〔A．60m B．40m C．30m D．20m[分析]由两角对应相等可得△BAE∽△CDE.利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．[解答]解：∵AB⊥BC.CD⊥BC.∴△BAE∽△CDE.∴∵BE=20m.CE=10m.CD=20m.∴解得：AB=40.故选：B．[点评]考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．10．〔3分如图.一个梯子AB长2.5米.顶端A靠在墙AC上.这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米.梯子滑动后停在DE的位置上.测得BD长为0.9米.则梯子顶端A下落了〔A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米[分析]要求下滑的距离.显然需要分别放到两个直角三角形中.运用勾股定理求得AC和CE的长即可．[解答]解：在Rt△ACB中.AC2=AB2﹣BC2=2.52﹣1.52=4.∴AC=2.∵BD=0.9.∴CD=2.4．在Rt△ECD中.EC2=ED2﹣CD2=2.52﹣2.42=0.49.∴EC=0.7.∴AE=AC﹣EC=2﹣0.7=1.3．故选：B．[点评]考查了勾股定理的应用.解答中此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理是解答题目的关键．二、填空题11．〔3分函数y=的自变量x的取值范围为x≥．[分析]根据二次根式的性质.被开方数大于或等于0即可列不等式求解．[解答]解：根据题意得：3x﹣5≥0.解得：x≥．故答案是：x≥．[点评]函数自变量的范围一般从三个方面考虑：〔1当函数表达式是整式时.自变量可取全体实数；〔2当函数表达式是分式时.考虑分式的分母不能为0；〔3当函数表达式是二次根式时.被开方数非负．12．〔3分因式分解：m3n﹣9mn=mn〔m+3〔m﹣3．[分析]原式提取mn后.利用平方差公式分解即可．[解答]解：原式=mn〔m2﹣9=mn〔m+3〔m﹣3．故答案为：mn〔m+3〔m﹣3[点评]此题考查了提公因式法与公式法的综合运用.熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．〔3分分式方程的解为x=2．[分析]观察可得最简公分母是x〔x+1.方程两边乘最简公分母.可以把分式方程转化为整式方程求解．[解答]解：去分母得：2〔x+1=3x.去括号得：2x+2=3x.移项得：2x﹣3x=﹣2.合并同类项得：﹣x=﹣2.把x的系数化为1得：x=2.检验：把x=2代入最简公分母x〔x+1=6≠0.故原分式方程的解为：x=2．故答案为：2．[点评]此题主要考查了解分式方程.解分式方程的基本思想是"转化思想".把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．14．〔3分在一个不透明的盒子中装有8个白球.若干个黄球.它们除颜色不同外.其余均相同．若从中随机摸出一个球.它是白球的概率为.则黄球的个数为4．[分析]根据白球个数除以小球总数进而得出得到白球的概率.进而得出答案．[解答]解：∵在一个不透明的盒子中装有8个白球.从中随机摸出一个球.它是白球的概率为.设黄球有x个.根据题意得出：∴=.解得：x=4．故答案为：4．[点评]此题主要考查了概率公式的应用.熟练利用概率公式是解题关键．15．〔3分若+〔b+42=0.那么点〔a.b关于原点对称点的坐标是〔﹣3.4．[分析]首先根据非负数的性质可得a﹣3=0.b+4=0.再解出a、b的值．进而得到点的坐标.然后再根据关于原点对称点的坐标特点可得答案．[解答]解：∵+〔b+42=0.∴a﹣3=0.b+4=0.解得：a=3.b=﹣4.∴点〔a.b的坐标为〔3.﹣4.∴关于原点对称点的坐标是〔﹣3.4.故答案为：〔﹣3.4；[点评]此题主要考查了非负数的性质、关于原点对称的点的坐标.关键是掌握两个点关于原点对称时.它们的坐标符号相反．16．〔3分如图.在△ABC中.AB=2.BC=3.5.∠B=60°.将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE.当点B的对应点D恰好落在BC边上时.则CD的长为1.5．[分析]由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE.当点B的对应点D恰好落在BC边上.可得AD=AB.又由∠B=60°.可证得△ABD是等边三角形.继而可得BD=AB=2.则可求得答案．[解答]解：由旋转的性质可得：AD=AB.∵∠B=60°.∴△ABD是等边三角形.∴BD=AB.∵AB=2.BC=3.5.∴CD=BC﹣BD=3.5﹣2=1.5．故答案为：1.5．[点评]此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单.注意掌握旋转前后图形的对应关系.注意数形结合思想的应用．三、解答题一17．计算：×sin45°+〔﹣1﹣〔﹣10[分析]本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简4个考点．在计算时.需要针对每个考点分别进行计算.然后根据实数的运算法则求得计算结果．[解答]解：×sin45°+〔﹣1﹣〔﹣10=2×+2﹣1=2+2﹣1=3．[点评]本题主要考查了实数的综合运算能力.是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式等考点的运算．18．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．[分析]先求出每个不等式的解集.再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．[解答]解：∵解不等式①得：x＞﹣1.解不等式②得：x≤4.∴不等式组的解集是﹣1＜x≤4.在数轴上表示为．[点评]本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集.能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．19．已知：如图.在△ABC中.∠A=30°.∠B=60°．〔1作∠B的平分线BD.交AC于点D；〔2作AB的中点E〔要求：尺规作图.保留作图痕迹.不必写作法和证明；〔3连接DE.求证：△ADE≌△BDE．[分析]〔1利用基本作图〔作已知角的平分线作BD平分∠ABC；〔2作AB的垂直平分线即可得到AB的中点E；〔3根据"SSS"可判断△ADE≌△BDE．[解答]〔1解：如图.BD为所作；〔2解：如图.点E为所作；〔3证明：∵BD为角平分线.∴∠ABD=∠ABC=×60°=30°.∵∠ABD=∠A=30°.∴DB=DA.在△ADE和△BDE中.∴△ADE≌△BDE．[点评]本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图.一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质.结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图.逐步操作．也考查了全等三角形的判定．四、解答题二20．某中学九〔1班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况.采取全面调查的方法.从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好.根据调查的结果组建了4个兴趣小组.并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图〔如图①.②.要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类.请你根据图中提供的信息解答下列问题：〔1九〔1班的学生人数为40.并把条形统计图补充完整；〔2扇形统计图中m=10.n=20.表示"足球"的扇形的圆心角是72度；〔3排球兴趣小组4名学生中有3男1女.现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队.请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．[分析]〔1根据喜欢篮球的人数与所占的百分比列式计算即可求出学生的总人数.再求出喜欢足球的人数.然后补全统计图即可；〔2分别求出喜欢排球、喜欢足球的百分比即可得到m、n的值.用喜欢足球的人数所占的百分比乘以360°即可；〔3画出树状图.然后根据概率公式列式计算即可得解．[解答]解：〔1九〔1班的学生人数为：12÷30%=40〔人.喜欢足球的人数为：40﹣4﹣12﹣16=40﹣32=8〔人.补全统计图如图所示；〔2∵×100%=10%.×100%=20%.∴m=10.n=20.表示"足球"的扇形的圆心角是20%×360°=72°；故答案为：〔140；〔210；20；72；〔3根据题意画出树状图如下：一共有12种情况.恰好是1男1女的情况有6种.∴P〔恰好是1男1女==．[点评]本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图.从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．已知：如图.在平面直角坐标系xOy中.直线AB与x轴交于点A〔﹣2.0.与反比例函数在第一象限内的图象的交于点B〔2.n.连接BO.若S△AOB=4．〔1求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；〔2若直线AB与y轴的交点为C.求△OCB的面积．[分析]〔1先由A〔﹣2.0.得OA=2.点B〔2.n.S△AOB=4.得OA•n=4.n=4.则点B的坐标是〔2.4.把点B〔2.4代入反比例函数的解析式为y=.可得反比例函数的解析式为：y=；再把A〔﹣2.0、B〔2.4代入直线AB的解析式为y=kx+b可得直线AB的解析式为y=x+2．〔2把x=0代入直线AB的解析式y=x+2得y=2.即OC=2.可得S△OCB=OC×2=×2×2=2．[解答]解：〔1由A〔﹣2.0.得OA=2；∵点B〔2.n在第一象限内.S△AOB=4.∴OA•n=4；∴n=4；∴点B的坐标是〔2.4；设该反比例函数的解析式为y=〔a≠0.将点B的坐标代入.得4=.∴a=8；∴反比例函数的解析式为：y=；设直线AB的解析式为y=kx+b〔k≠0.将点A.B的坐标分别代入.得.解得；∴直线AB的解析式为y=x+2；〔2在y=x+2中.令x=0.得y=2．∴点C的坐标是〔0.2.∴OC=2；∴S△OCB=OC×2=×2×2=2．[点评]本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．此题有点难度．22．如图所示.一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点.A、B相距2km.在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向.在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向.求景点C到观光大道l的距离．〔结果精确到0.1km[分析]过点C作CD⊥l于点D.设CD=xkm．先解直角△ACD.得出AD=CD=xkm.再解直角△BCD.得出BD=CD=xkm.然后根据AD﹣BD=AB.列出关于x的方程.解方程即可．[解答]解：如图.过点C作CD⊥l于点D.设CD=xkm．在△ACD中.∵∠ADC=90°.∠CAD=30°.∴AD=CD=xkm．在△BCD中.∵∠BDC=90°.∠CBD=45°.∴BD=CD=xkm．∵AD﹣BD=AB.∴x﹣x=2.∴x=+1≈2.7〔km．故景点C到观光大道l的距离约为2.7km．[点评]本题考查三角形知识的实际运用.难度适中.通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．五、解答题〔三23．如图.已知正比例函数y=2x与反比例函数y=〔k＞0的图象交于A、B两点.且点A的横坐标为4.〔1求k的值；〔2根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围；〔3过原点O的另一条直线l交双曲线y=〔k＞0于P、Q两点〔P点在第一象限.若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形面积为224.求点P的坐标．[分析]〔1先将x=4代入正比例函数y=2x.可得出y=8.求得点A〔4.8.再根据点A与B关于原点对称.得出B点坐标.即可得出k的值；〔2正比例函数的值小于反比例函数的值即正比例函数的图象在反比例函数的图象下方.根据图形可知在交点的右边正比例函数的值小于反比例函数的值．〔3由于双曲线是关于原点的中心对称图形.因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形.那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即56．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标.然后表示出△POA的面积.由于△POA的面积为56.由此可得出关于P点横坐标的方程.即可求出P点的坐标．[解答]解：〔1∵点A在正比例函数y=2x上.∴把x=4代入正比例函数y=2x.解得y=8.∴点A〔4.8.把点A〔4.8代入反比例函数y=.得k=32；〔2∵点A与B关于原点对称.∴B点坐标为〔﹣4.﹣8.由交点坐标.根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围.x＜﹣8或0＜x＜8；〔3∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形.∴OP=OQ.OA=OB.∴四边形APBQ是平行四边形.∴S△POA=S平行四边形APBQ=×224=56.设点P的横坐标为m〔m＞0且m≠4.得P〔m..过点P、A分别做x轴的垂线.垂足为E、F.∵点P、A在双曲线上.∴S△POE=S△AOF=OE•PE=m•=16.若0＜m＜4.如图.∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF.∴S梯形PEFA=S△POA=56．∴〔8+•〔4﹣m=56．∴m1=﹣7+.m2=﹣7﹣〔舍去.∴P〔﹣7+.14+2；若m＞4.如图.∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE.∴S梯形PEFA=S△POA=56．∴×〔8+•〔m﹣4=56.解得m1=7+.m2=7﹣〔舍去.∴P〔7+.﹣14+2．∴点P的坐标是P〔﹣7+.14+2；或P〔7+.﹣14+2．[点评]本题考查了应用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y=中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想.做此类题一定要正确理解k的几何意义．利用数形结合的思想.求得三角形的面积．24．如图.在ABC中.AB=BC.以BC为直径的⊙O交AC于点D.过点D作DE⊥AB.DF⊥BC.垂足分别为E、F.①求证：ED是⊙O的切线；②求证：DE2=BF•AE；③若DF=3.cosA=.求⊙O的直径．[分析]〔1根据圆周角定理由BC为⊙O的直径得到∠BDC=90°.再根据等腰三角形的性质得AD=CD.即D点为AC的中点.则可判断OD为△ABC的中位线.所以OD∥AB.而DE⊥AB.则DE⊥OD.然后根据切线的判定定理即可得到DE是⊙O的切线；〔2根据等腰三角形的性质得BD平分∠ABC.则利用角平分线性质得DE=DF.再证明Rt△AED∽Rt△DFB.根据相似的性质得DE：BF=AE：DF.用DE代换DF根据比例的性质即可得到DE2=BF•AE；〔3由于∠A=∠C.则cosA=cosC=.在Rt△CDF中.利用余弦的定义得cosC==.设CF=2x.则DC=3x.根据勾股定理计算得DF=x.所以x=3.解得x=3.于是得到DC=9.在Rt△CBD中根据余弦的定义可计算出BC．[解答]〔1证明：∵BC为⊙O的直径.∴∠BDC=90°.即BD⊥AC.∵BA=BC.∴AD=CD.即D点为AC的中点.∵点O为BC的中点.∴OD为△ABC的中位线.∴OD∥AB.而DE⊥AB.∴DE⊥OD.∴DE是⊙O的切线；〔2证明：∵BA=BC.BD⊥AC.∴BD平分∠ABC.∴DE=DF.∵∠ADE+∠BDE=90°.∠BDE+∠BDO=90°.∴∠ADE=∠BDO.而OB=OD.∴∠BDO=∠OBD.∴∠ADE=∠OBD.∴Rt△AED∽Rt△DFB.∴DE：BF=AE：DF.∴DE：BF=AE：DE.∴DE2=BF•AE；〔3解：∵∠A=∠C.∴cosA=cosC=.在Rt△CDF中.cosC==.设CF=2x.则DC=3x.∴DF==x.而DF=3.∴x=3.解得x=3.∴DC=9.在Rt△CBD中.cosC==.∴BC=×9=.即⊙O的直径为．[点评]本