概率与统计课件

概率与统计课件第一页，共六十三页，编辑于2023年，星期六2序言?概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性概率论——研究和揭示随机现象的统计规律性的科学第二页，共六十三页，编辑于2023年，星期六3第一章概率论的基本概念第一节样本空间、随机事件第二节概率、古典概型第三节条件概率、全概率公式第四节独立性第三页，共六十三页，编辑于2023年，星期六在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.

“太阳不会从西边升起”,(1)确定性现象

“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例自然界所观察到的现象:确定性现象随机现象4第四页，共六十三页，编辑于2023年，星期六在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又不能预测是哪一种结果的现象称随机现象。实例1

在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.(2)随机现象结果有可能出现正面也可能出现反面.5第五页，共六十三页，编辑于2023年，星期六结果有可能为:1,2,3,4,5或6.实例3

抛掷一枚骰子,观察出现的点数.实例2

用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况.结果:弹落点会各不相同.6第六页，共六十三页，编辑于2023年，星期六实例4

从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.其结果可能为:

正品

、次品.实例5

过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯.7第七页，共六十三页，编辑于2023年，星期六实例6

出生的婴儿可能是男,也可能是女.实例7

明天的天气可能是晴

,也可能是多云或雨.8第八页，共六十三页，编辑于2023年，星期六

随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性

,概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?如何来研究随机现象?说明9第九页，共六十三页，编辑于2023年，星期六一、随机试验在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验。（1）可以在相同的条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。10第十页，共六十三页，编辑于2023年，星期六说明

随机试验简称为试验,是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的“调查”、“观察”或“测量”等.11第十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期六实例

“抛掷一枚硬币,观察正面、反面出现的情况”.分析(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;(2)试验的所有可能结果:正面、反面;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.故为随机试验.12第十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期六(1)抛掷一枚骰子,观察出现的点数.(2)从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数.同理可知下列试验都为随机试验.(3)记录某公共汽车站某时刻的等车人数.13第十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期六样本空间与随机事件随机事件（简称事件）：在随机试验中，可能发生也可能不发生,而在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件（或偶然事件）。通常用大写字母A、B,…表示。基本结果：（1）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本结果。（2）任何结果，都是由其中一些基本结果组成，每个基本结果称样本点。14第十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期六随机事件中有两个极端情况：每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件

。每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件。基本事件是样本空间的单点集。复合事件是由多个样本点组成的集合。必然事件包含一切样本点，它就是样本空间。不可能事件不含任何样本点，它就是空集。样本空间：随机试验的全体基本事件组成的集合称为样本空间。记为。15第十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期六1．事件的包含事件发生事件发生设、为两个事件，如果中的基本事件都是的基本事件，则称包含于，记为，或包含，记为.

事件之间的关系和运算实例

A=“长度不合格”必然导致B=“产品不合格”所以事件之间的关系（事件A发生必然导致事件B发生）16第十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期六welcome172.事件的相等=若两个事件和相互包含，则称这两个事件相等。记为.和同时发生或者同时不发生即A与B中的样本点完全相同第十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期六3.事件的和（并）将事件的基本事件和的基本事件合在一起组成的一个新事件，称为和的和事件，记为，可读成并或加.有时也可记为.

实例

某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此

C=“产品不合格”是A=“长度不合格”与B=“直径不合格”的并，即A和B两个事件至少有一个发生A∪B第十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期六194.事件的积（交）将事件的和共有基本事件合在一起组成的一个新事件，称为和的和事件，记为，可读成交或乘.有时也可记为.

实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格”,Ａ＝“长度合格”,Ｂ＝“直径合格”．第十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期六20第二十页，共六十三页，编辑于2023年，星期六21和事件与积事件的运算性质第二十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期六225.事件的差从事件中将属于事件的基本事件除去,剩下的基本事件组成的新事件称为和的差事件,记为.事件发生而事件不发生实例设Ｃ＝“长度合格但直径不合格”,Ａ＝“长度合格”,Ｂ＝“直径合格”.第二十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期六23事件、不可能同时发生6.事件的互斥（互不相容）若事件和没有共同的基本事件，则称和互斥，也称互不相容，记为.注意基本事件是两两互斥的.第二十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期六247.事件的逆（对立事件）称必然事件和事件的差为的逆事件，记为，如果和互逆，则也可称和互为对立事件事件不发生实例

“骰子出现1点”“骰子不出现1点”对立第二十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期六若事件A1,A2,……An为两两互不相容

的事件，并且A1+A2+,……+An=Ω，

称A1,A2,……An构成一个完备事件组。25第二十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期六26事件的运算规律由集合的运算律，易给出事件间的运算律.设为同一随机试验中的事件，则有(1)交换律(2)结合律(3)分配律第二十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期六27(4)自反律(5)对偶律注：上述各运算律可推广到件的情形.有限个或可数个事第二十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期六28(6)吸收律(7)替换律第二十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期六29例1.1

设A,B,C为3个事件，用A,B,C的运算式表示下列事件：（1）A发生而B与C都不发生：（2）A，B都发生而C不发生：（3）A，B，C至少有一个事件发生：（4）A，B，C至少有两个事件发生：（5）A，B，C恰好有两个事件发生：（6）

A，B，C恰好有一个事件发生：（7）A，B至少有一个发生而C不发生：（8）A，B，C都不发生：第二十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期六例1.2

从一批产品中每次取出一个产品进行检验（每次取出的产品不放回），事件Ai表示第i次取到合格品（i=1,2,3）。试用事件的运算符号表示下列事件：三次都取到了合格品；三次中至少一次取到合格品；三次中恰有两次取到合格品；三次中至多有一次取到合格品。30第三十页，共六十三页，编辑于2023年，星期六解：三次中全取到合格品：A1A2A3;三次中至少一次取到合格品:A1+A2+A3;三次中恰有两次取到合格品:三次中至多有一次取到合格品。

31第三十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期六32练习甲,乙,丙三人各射一次靶,记“甲中靶”,“乙中靶”,“丙中靶”,则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件:(1)(3)(4)(2)“甲未中靶”“甲中靶而乙未中靶”“三人中只有丙未中靶”“三人中恰好有一人中靶”(5)“三人中至少有一人中靶”或第三十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期六33(10)(9)(8)“三人中至少有两人中靶”“三人中均未中靶”“三人中至多一人中靶”(11)“三人中至多两人中靶”或(6)(7)“三人中至少有一人未中靶”“三人中恰有两人中靶”或第三十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期六34注:用其它事件的运算来表示一个事件,方法往往不唯一,如本例中的(6)和(11)实际上是同一事件,大家应学会特别在解决具体问题时,往往要更具需要方法.用不同方法表达同一事件,选择一种恰当的表示(6)“三人中至少有一人未中靶”(11)“三人中至多两人中靶”第三十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期六35一、概率的统计意义三、概率的几何定义二、概率的古典定义1.2

随机事件的概率五、概率的性质四、概率的公理化定义第三十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期六36

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件发生可能性大小的度量

事件发生的可能性越大，概率就越大！第三十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期六37一、概率的统计意义定义显然次数为频率.若在相同条件下进行次试验，其中发生的则称为事件发生的第三十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期六试验序号12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做

7遍,观察正面出现的次数及频率.随n的增大,频率

fn(A)呈现出稳定性38第三十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期六从上述数据可得(2)抛硬币次数n较小时,频率fn(A)的随机波动幅度较大,但随n

的增大,频率fn(A)呈现出稳定性.即当n

逐渐增大时频率fn(A)总是在0.5附近摆动,且逐渐稳定于0.5.(1)频率有随机波动性,即对于同样的n,所得的fn(A)不一定相同;39第三十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期六实验者德摩根蒲丰204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.500540第四十页，共六十三页，编辑于2023年，星期六重要结论当实验次数n

较小时,事件Ａ发生的频率波动幅度比较大,当n逐渐增大时,频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件Ａ在试验中出现可能性的大小.它就是事件的概率．41第四十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期六概率的统计定义定义在相同条件下进行n次重复试验,若事件A发生的频率随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数P附近摆动,则称P为事件A的概率，记为P(A).42第四十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期六2、概率的古典定义定义1.4：

设随机试验E满足如下条件:试验的样本空间只有有限个样本点，即(2)每个样本点的发生是等可能的，即则称试验为古典概型，也称为等可能概型。古典概型中事件A的概率计算公式为43第四十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期六例1一个袋子中装有10个大小相同的球,其中3个黑球,7个白球,求:(1)从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的概率解以及两个球全是黑球的概率.(1)10个球中任取两球的取法有种,其中刚好一个白球,一个黑球的取法有种取法,两个球均是黑球的取法有种,记为好取到一个白球一个黑球”,为为黑球”,则事件“刚事件“两个球均44第四十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期六例2

12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求：（1）每班各分配到一名优秀生的概率；（2）

3名优秀生分配到同一个班的概率.解

12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为

（1）设A表示“每班各分配到一名优秀生”45第四十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期六（2）

设B表示“3名优秀生分到同一班”，故3名优秀生分到同一班共有3种分法，其他9名学生分法总数为，故由乘法原理，B包含样本总数为

46第四十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期六例3

两封信随机地向标号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4个邮筒投寄，求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率。解：设事件A表示第二个邮筒只投入1封信。两封信随机地投入4个邮筒共有42种等可能的投法，而组成事件A的不同投法只有C21C31种。有古典概型公式P(A)=C21C31/42=3/847第四十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期六3、几何概型若试验具有如下特征:48第四十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期六例

两人相约在某天下午2∶00~3∶00在预定地方见面，先到者要等候20分钟，过时则离去.如果每人在这指定的一小时内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到面的概率.

解

设x,y为两人到达预定地点的时刻，那么，两人到达时间的一切可能结果落在边长为60的正方形内，这个正方形就是样本空间Ω,而两人能会面的充要条件是｜x-y｜≤20，即x-y≤20且y-x≤20.49第四十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期六例两人约定上午9:00——10:00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率。解：设两人到达时刻分别为X、Y，则

0≤X、Y≤60，事件一人要等另一人半小时以上等价于

如图阴影部分所示

50第五十页，共六十三页，编辑于2023年，星期六练习甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是1小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一艘船都不需要等候码头空出的概率。51第五十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期六解：设甲、乙两艘轮船到达码头的时刻分别是x、y，由题意0≤x≤24，0≤y≤24xy0212424设事件A表示两艘轮船中的任何一艘都不需要等候码头空出，等价以下2种可能情况（1）若甲先到码头（即x＜y）,则有y-x＞1;（2）若乙先到码头（即y＜x）,则有x-y＞2；事件A包含的基本事件可以用图中阴影部分表示52第五十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期六在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础.数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容.4、概率的公理化定义53第五十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期六即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.

下面介绍用公理给出的概率定义.

1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.54第五十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期六定义:设E是