椭球面元素归算至投影面

椭球面元素归算至投影面第一页，共八十页，编辑于2023年，星期日2三差改正第二页，共八十页，编辑于2023年，星期日第八章椭球面元素归算至投影面

——高斯投影8.1地图数学投影的基本概念8.2高斯投影概述8.3正形投影的一般条件8.4高斯坐标正反算及换带计算8.5高斯坐标坐标计算的实用公式及算例8.6平面子午收敛角8.7方向改化公式8.8距离改化公式8.9高斯坐标换带计算8.10工程测量投影面与投影带选择的概念第三页，共八十页，编辑于2023年，星期日本章提要

本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相邻带的坐标坐标换算。讨论在工程应用中，工程测量投影面与投影带选择。第四页，共八十页，编辑于2023年，星期日[知识点及学习要求]1．高斯投影的基本概念（掌握）；2．正形投影的一般条件（理解）；3．高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换

—高斯投影的正算与反算（掌握）4．椭球面上观测成果归化到高斯平面上的计算（掌握）；5．高斯投影的邻带换算（掌握）；6．工程测量投影面与投影带的选择（掌握）。[难点]在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算；高斯投影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的选择。第五页，共八十页，编辑于2023年，星期日8.1地图数学投影的基本概念一.投影变换的意义和方程

所谓地图投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称作投影的变形

第六页，共八十页，编辑于2023年，星期日二、地图投影的分类1.按变形性质分类（1）等角投影又称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的。（2）等积投影在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即面积变形等于零。（3）等距投影定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方向长度比为1。在这种投影图上并不是不存在长度变形，它只是在特定方向上没有长度变形。（4）任意投影第七页，共八十页，编辑于2023年，星期日2.按投影面的形状分类（1）方位投影：以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。（2）圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。（3）圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。3.按投影面和原面的相对位置进行分类正轴投影、斜轴投影和横轴投影第八页，共八十页，编辑于2023年，星期日第九页，共八十页，编辑于2023年，星期日4、中国各种地图投影：

1）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割圆锥投影。2）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯-克吕格投影（宽带）。3）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯-克吕格投影（解放以后）。第十页，共八十页，编辑于2023年，星期日

从世界范围看，各国大中比例尺地形图所使用的投影很不统一，据不完全统计有十几种之多，最常用的有横轴等角椭圆柱投影等。中华人民共和国成立后，我国大中比例尺地形图一律规定采用以克拉索夫斯基椭球体元素计算的高斯-克吕格投影。我国新编1:100万地形图，采用的则是正轴等角圆锥投影。5、常用的几种地图投影第十一页，共八十页，编辑于2023年，星期日1、控制测量对地图投影的要求1）等角投影（又称正形投影）

2）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数。在微小的范围内保持了形状的相似性。长对比与点的位置有关，与方向无关。3）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计算公式和用表把各带联成整体。8.2高斯投影概述（重点）第十二页，共八十页，编辑于2023年，星期日高斯投影是等角横切椭圆柱投影。高斯投影是一种等角投影。它是由德国数学家高斯(Gauss，1777～1855)提出，后经德国大地测量学家克吕格(Kruger，1857～1923)加以补充完善，故又称“高斯—克吕格投影”，简称“高斯投影”。2、高斯投影的基本概念第十三页，共八十页，编辑于2023年，星期日NSc中央子午线赤道高斯投影平面赤道中央子午线1).高斯投影的原理:

高斯投影采用分带投影。将椭球面按一定经差分带，分别进行投影。第十四页，共八十页，编辑于2023年，星期日2)、高斯投影必须满足：（1）高斯投影为正形投影，即等角投影；（2）中央子午线投影后为直线，且为投影的对称轴；（3）中央子午线投影后长度不变。第十五页，共八十页，编辑于2023年，星期日3)、高斯投影的特点:（1）中央子午线投影后为直线，且长度不变。（2）除中央子午线外，其余子午线的投影均为凹向中央子午线的曲线，并以中央子午线为对称轴。投影后有长度变形。（3）赤道线投影后为直线，但有长度变形。赤道中央子午线平行圈子午线Oxy第十六页，共八十页，编辑于2023年，星期日（4）除赤道外的其余纬线，投影后为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴。（5）经线与纬线投影后仍然保持正交。（6）所有长度变形的线段，其长度变形比均大于l。（7）离中央子午线愈远，长度变形愈大。赤道中央子午线平行圈子午线Oxy第十七页，共八十页，编辑于2023年，星期日4)、投影带的划分

我国规定按经差6º和3º进行投影分带。

6º带自首子午线开始，按6º的经差自西向东分成60个带。

3º带自1.5º开始，按3º的经差自西向东分成120个带。高斯投影带划分第十八页，共八十页，编辑于2023年，星期日

6º带与3º带中央子午线之间的关系如图:

3º带的中央子午线与6º带中央子午线及分带子午线重合，减少了换带计算。

工程测量采用3º带，特殊工程可采用1.5º带或任意带第十九页，共八十页，编辑于2023年，星期日

按照6º带划分的规定，第1带中央子午线的经度为3º，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：

L。=6ºN－3º

（N为6º带的带号）例：20带中央子午线的经度为：

L。＝6º×20－3º＝117º

按照3º带划分的规定，第1带中央子午线的经度为3º，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：

L。=3ºn

（n为3º带的带号）例：120带中央子午线的经度为

L。＝3º×120＝360º第二十页，共八十页，编辑于2023年，星期日

若已知某点的经度为L，则该点的6º带的带号N由下式计算：

若已知某点的经度为L，则该点所在3º带的带号按下式计算：

（四舍五入）第二十一页，共八十页，编辑于2023年，星期日高斯平面直角坐标系的建立：x轴

—中央子午线的投影y轴

—赤道的投影原点O

—两轴的交点OxyP（X，Y）高斯自然坐标注：X轴向北为正，

y轴向东为正。赤道中央子午线第二十二页，共八十页，编辑于2023年，星期日

由于我国的位于北半球，东西横跨12个6º带，各带又独自构成直角坐标系。

故：X值均为正，而Y值则有正有负。世界地图赤道第二十三页，共八十页，编辑于2023年，星期日xyo500km=500000+=636780.360m=

500000+=227559.720m国家统一坐标：

（带号）（带号）一带的宽度是667km第二十四页，共八十页，编辑于2023年，星期日例：有一国家控制点的坐标:x=3102467.280m,y=19367622．380m，（1）该点位于6˚带的第几带？（2）该带中央子午线经度是多少？（3）该点在中央子午线的哪一侧？（4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？（第19带）

（L。=6º×19-3º=111˚）（先去掉带号，原来横坐标y＝367622.380—500000＝-132377.620m，在西侧）（距中央子午线132377.620m，距赤道3102467.280m）第二十五页，共八十页，编辑于2023年，星期日3、椭球面三角系化算到高斯平面

第二十六页，共八十页，编辑于2023年，星期日将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：将起始点的大地坐标B，L归算为高斯平面直角坐标x，y；为了检核还应进行反算，亦即根据x，y反算B，L。通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的直线长度。当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。第二十七页，共八十页，编辑于2023年，星期日

长度比:投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。

8.3正形投影的一般条件（了解）

研究高斯投影应首先满足正形投影的一般条件，然后加上高斯投影的特殊条件，即可导出高斯投影坐标正反算公式。推求时抓住正形投影区别于其它投影的特殊本质：在正形投影中，长度比与方向无关。

在微小的范围内保证了形状的相似性，当ABCDE无限接近时，多边形可看作是一个点，因此在正行投影中，长度比与位置有关，与方向无关。第二十八页，共八十页，编辑于2023年，星期日8.3正形投影的一般条件（了解）

正形投影方法都必须遵循的法则：柯西(Cauchy)—黎曼(Riemann)条件引入等量纬度第二十九页，共八十页，编辑于2023年，星期日8.4高斯投影坐标正反算公式1、高斯投影坐标正算公式：B,l

x,y高斯投影必须满足以下三个条件：①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。

对于任何一种投影：①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外，还有它本身的特殊条件。第三十页，共八十页，编辑于2023年，星期日赤道第三十一页，共八十页，编辑于2023年，星期日由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，的偶函数，y为的奇函数；，即，如展开为的级数，收敛。式中是待定系数，它们都是纬度B的函数。由第三个条件知：x为求偏导数（1）第三十二页，共八十页，编辑于2023年，星期日

位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X，即(1)式第一式中，当l=0时有：顾及(对于中央子午线)故得：依次求得

第三十三页，共八十页，编辑于2023年，星期日自赤道量起的到所求点的子午线弧长所求点的大地经度与该点所在带的中央子午线的大地经度之差第三十四页，共八十页，编辑于2023年，星期日2、高斯投影坐标反算公式：x,yB,l

满足以下三个条件：①x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；②x坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。过所求点P作中央子午线的垂线，该垂线与中央子午线的交点的纬度，称垂足纬度。其值由子午线弧长计算公式反算求得。第三十五页，共八十页，编辑于2023年，星期日

底点纬度计算(迭代法)在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设以后每次迭代按下式计算：重复迭代直至为止。在1975年国际椭球上计算时，也有类似公式。第三十六页，共八十页，编辑于2023年，星期日3、高斯投影坐标正反算公式的几何解释：高斯投影坐标正算第三十七页，共八十页，编辑于2023年，星期日高斯投影坐标反算第三十八页，共八十页，编辑于2023年，星期日①当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。②当l=常数时(经线),随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当用-B代替B时，y值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。③当B=常数时(纬线)，随着的l增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。又当用-l代替l时，x值不变，而y值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。④距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。高斯投影的特点第三十九页，共八十页，编辑于2023年，星期日正算需要哪些设置？正反需要哪些设置？正反算与椭球参数有什么关系？第四十页，共八十页，编辑于2023年，星期日3、椭球面三角系化算到高斯平面

第四十一页，共八十页，编辑于2023年，星期日子午线收敛角的概念如右图所示，、及分别为椭球面点、过点的子午线及平行圈在高斯平面上的描写。由图可知，所谓点子午线收敛角就是在上的切线与坐标北之间的夹角，用表示。在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于投影具有正形性质，因此它们的描写线及也必正交，由图可见，平面子午线收敛角也就是等于在点上的切线同平面坐标系横轴的倾角。8.5平面子午线收敛角公式第四十二页，共八十页，编辑于2023年，星期日1、求γ的公式

1）由大地坐标L，B计算：第四十三页，共八十页，编辑于2023年，星期日第四十四页，共八十页，编辑于2023年，星期日①在中央子午线上l=0,r=0；在赤道上B=0,r=0。③在同一经线上(l=常数)纬度愈高，r的绝对值也愈大，在极点处最大；在同一纬线上(B=常数)，经差l的绝对值愈大，r的绝对值也愈大。②r为奇函数，有正负，当描写点在中央子午线以东时，经差为正，r也为正；当描写点在中央子午线以西时，经差为负，r也为负。第四十五页，共八十页，编辑于2023年，星期日2）由高斯平面坐标x，y计算：底点纬度第四十六页，共八十页，编辑于2023年，星期日8.6方向改化公式方向改正数就是指大地线的投影曲线和连接大地线两点的弦之夹角。第四十七页，共八十页，编辑于2023年，星期日1、方向改化近似公式的推导误差小于0.1″，可适用于三、四等三角测量的计算第四十八页，共八十页，编辑于2023年，星期日8.7距离改化公式（重点）由S化至D所加的△S改正称为距离改正

1、研究平面曲线长度s与其弦线长度D的关系；2、研究用大地坐标B、L和平面坐标x、y计算长度比m的公式；3、最后导出距离改化的计算公式。m＞1第四十九页，共八十页，编辑于2023年，星期日1、平面曲线长度s与其弦线长度D的关系由于v是一个小角，最大不会超过方向改化值δ，因此可把cosv展开为级数：

式中用v的最大值δ代替v第五十页，共八十页，编辑于2023年，星期日已是二次项，

D与s之差是四次项微小量。当δ取最大40″,s=50KM时，代入上式得，化算为相对中误差为：

所以，对现有测量方法这个误差可忽略不计，完全可以认为大地线的平面投影曲线长度s等于其弦线长度D。第五十一页，共八十页，编辑于2023年，星期日2、长度比和长度变形长度比m是指椭球面上某一点的微分元素dS，与其投影面上的相应的微分元素ds之比，即：由于长度比m恒大于1，故称为长度变形。1）用大地坐标表示的长度比公式实用时一般取至二次项在6°带的边缘及低纬度处，有时用到项。第五十二页，共八十页，编辑于2023年，星期日2）用平面坐标表示的长度比公式代入大地线始末两端的平均纬度计算的椭球的平均曲率半径mmmm第五十三页，共八十页，编辑于2023年，星期日①m随点的位置(B,L)或(x,y)而异，但在一点上与方向无关；③当时，由于m是y（或l）的偶函数，且各项都为“+”号，故m恒大于1，即除中央子午线外其它投影后都变长了；④长度变形（m-1）与成正比例地增大，愈离远中央子午线长度变形愈大。②当y=0(或l=0)时，各点的m都等于1，即中央子午线投影后长度不变；m第五十四页，共八十页，编辑于2023年，星期日3、距离改化公式：对于一条三角边来说，由于边长较短，长度比的变化实际上是很微小的，可以认为是一个常数，因而可以用D/S来代替dD/dS，即有：代入当S<70km,ym<350km(6°带的边缘)计算精度小于0.001m，对于一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去项，对于三四等边长的归算又可再略去项。m第五十五页，共八十页，编辑于2023年，星期日→产生换带的原因高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用带、带或任意带，而国家控制点通常只有带坐标，这时就产生了带同带（或带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如下图所示：8.8高斯投影的邻带换算（掌握）第五十六页，共八十页，编辑于2023年，星期日需要进行坐标邻带换算的情况：

1、控制网跨越两个投影带；

2、在分界子午线附近地区测图，需要用到另一带的三角点作为控制点时；

3、6°带、3°带、1.5°带之间的换算。坐标邻带换算的一般方法：把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，首先把某投影带（如21带）内的有关点的平面坐标x，y利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标B，L。然后再由大地坐标B，L利用投影正算公式换算成相邻带的（如22带）的平面坐标。第五十七页，共八十页，编辑于2023年，星期日计算步骤：根据,利用高斯反算公计算换算,，得到，。采用已求得的,，并顾及到第Ⅱ带的中央子午线，求得，利用高斯正算公式计算第Ⅱ带的直角坐标,。为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算算例在中央子午线的Ⅰ带中，有某一点的平面直角坐标，，现要求计算该点在中央子午线的第Ⅱ带的平面直角坐标。第五十八页，共八十页，编辑于2023年，星期日椭球面上的观测量改化至高斯平面有哪些改化？哪些是主要的？哪些是次要的？第五十九页，共八十页，编辑于2023年，星期日8.12工程测量投影面与投影带的选择（重点）

1999年《城市测量规范》规定：一个城市只应建立一个与国家坐标系统相联系的、相对独立和统一的城市坐标系统，并经上级行政主管部门审查批准后方可使用。城市平面控制测量坐标系统的选择应以投影长度变形值不大于2.5cm/km为原则，并根据城市地理位置和平均高程而定。第六十页，共八十页，编辑于2023年，星期日有关工程测量平面控制网的精度要求的概念为便于施工放样的顺利进行，要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量得的边长，在长度上应该相等，即由上述两项归算投影改正而带来的变形或改正数，不得大于施工放样的精度要求。一般地，施工放样的方格网和建筑轴线的测量精度为1/5000～1/20000。因此，由归算引起的控制网长度变形应小于施工放样允许误差的1/2，即相对误差为1/10000～1/40000，也就是说，每公里的长度改正数，不应该大于10～2.5cm。第六十一页，共八十页，编辑于2023年，星期日1、投影面和投影带选择的基本出发点1）有关投影变形的基本概念引起投影变形的因素：（1）实量边长归算到参考椭球体面上的变形影响

由公式可以看出：的值总为负，即地面实量长度归算至参考椭球体面上，总是缩短的；值与成正比，随增大而增大。s第六十二页，共八十页，编辑于2023年，星期日（2）将参考椭球面上边长归算到高斯投影面上的变形影响：为投影归算边长，即在参考椭求面上的长度。

由公式可以看出：的值总为正，即椭球面上长度归算至高斯面上，总是增大的，值与成正比而增大，离中央子午线愈远变形愈大。在测区平均高程面上的长度。第六十三页，共八十页，编辑于2023年，星期日y/km第六十四页，共八十页，编辑于2023年，星期日1、当长度变形值不大于2.5cm/km时,应采用高斯正形投影统一3°带的平面直角坐标系统。统一3°带的主子午线经度由东经75°起,每隔3°至东经135°。2、当长度变形值大于2.5cm/km时，可依次采用：

1）投影于抵偿高程面上的高斯正形投影带的平面直角坐标系统；

2）高斯正形投影任意带的平面直角坐标系统，投影面可采用黄海平均海水面或城市平均高程面。如何选择城市平面控制网坐标系统？

3、面积小于25k㎡的城镇,可不经投影采用假定平面直角坐标系统在平面上直接进行计算。第六十五页，共八十页，编辑于2023年，星期日工程测量投影面和投影带选择的基本出发点

（1）在满足精度要求的前提下，为使测量结果一测多用，应采用国家统一3°带高斯平面直角坐标系，将观测结果归算至参考椭球面上。即工程测量控制网应同国家测量系统相联系；（2）当边长的两次归算投影改正不能满足上述要求时，为保证测量结果的直接利用和计算的方便，可采用任意带的独立高斯平面直角坐标系，归算测量结果的参考面可自己选定。(a)通过改变Hm从而选择合适的高程参考面，将抵偿分带投影变形（称为抵偿投影面的高斯正形投影）；(b)改变ym从而对中央子午线作适当移动，以抵偿由高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变形（称为任意带高斯正形投影）；

(c)通过既改变Hm（选择高程参考面），又改变ym（移动中央子午线），来抵偿两项归算改正变形（称为具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影）。第六十六页，共八十页，编辑于2023年，星期日2、工程测量中几种可能采用的直角坐标系1）国家3°带高斯正形投影平面直角坐标系

据计算，当测区平均高程在100m以下，且ym值不大于40km时，其投影变形值均小于2.5cm，可以满足大比例尺测图和工程放样的精度要求。因此在偏离中央子午线不远和地面平均高程不大的地区，无需考虑投影变形问题，直接采用国家统一的3°带高斯正形投影平面直角坐标系作为工程测量的坐标系，使两者一致。2）抵偿投影面的3°带高斯正形投影平面直角坐标系

此时仍采用国家3°带高斯投影，但投影的高程面不是参考椭球面而是依据补偿高斯投影长度变形而选择的高程参考面。在该参考面上长度变形为零。第六十七页，共八十页，编辑于2023年，星期日抵偿投影面的高程如何确定？当采用第一种坐标系时，有：若超过允许的精度要求(10～2.5cm)时，应考虑采用抵偿投影面进行投影，即采用第二种坐标系，此时在抵偿投影面上的投影变形为0，设该面的高程为H抵即：此时ym是定值，且假设不同投影面上同一距离近似相等。RHm△H第六十八页，共八十页，编辑于2023年，星期日

某测区海拔=2000（m），最边缘中央子午线100（km），当=1000（m）时，则有而超过允许值（10～2.5cm）。这时为不改变中央子午线位置，而选择一个合适的高程参考面，经计算得高差：

将地面实测距离归算到：算例1：第六十九页，共八十页，编辑于2023年，星期日例2：某测区的平均高程为Hm=400m，测区中心在高斯投影3°带的坐标为y=80km，要使测区内抵偿投影面上的长度与实地长度之差最小，试问抵偿高程面应如何选定？所以抵偿高程面高程应为：第七十页，共八十页，编辑于2023年，星期日3）任意带高斯正形投影平面直角坐标系该坐标系中，仍把地面观测结果归算到参考椭球面上，但投影带的中央子午线不按国家3°带的划分方法，而是依据补偿高程面归算长度变形而选择的某一条子午线作为中央子午线。

当Hm不变，且假设不同投影面上同一距离近似相等。表示某测区中心的横坐标值（或测区内y坐标的平均值）如果是用上式计算得到的ym时，此时的投影变形为0，即已知ym的情况，来反确定中央子午线的位置。_第七十一页，共八十页，编辑于2023年，星期日

某测区相对参考椭球面的高程=500m，为抵偿地面观测值向参考椭球面上归算的改正值，依上式算得

即选择与该测区相距80km处的子午线。此时在=80km处，两项改正项得到完全补偿。算例：但在实际应用这种坐标系时，往往是选取过测区边缘，或测区中央，或测区内某一点的子午线作为中央子午线，而不经过上述的计算。第七十二页，共八十页，编辑于2023年，星期日例：某测区中心所在的大地坐标为L=114°10′20″，B=34°21′18″（北京54），测区内平均高程为Hm=400m，为使高斯投影面上的长度与实地长度保持一致，试确定抵偿投影带中央子午线的经度（设Rm=N=6371km）。取高斯坐标正算y的第一项所以抵偿投影带的中央子午线的经度为：第七十三页，共八十页，编辑于2023年，星期日4）具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影平面直角坐标系

该坐标系中，往往是指投影的中央子午线选在测区的中央，地面观测值归算到测区平均高程面上，按高斯正形投影计算平面直角坐标系。因此，这是综合第二、三两种坐标系长处的一种任意高斯直角坐标系。显然这种坐标系更能有效地实现两种长度变形改正的补偿。5）假定平面直角坐标系

当测区面积小于时，可不进行方向和距离改正，直接把局部地球表面作为平面建立独立的平面直角坐标系。这时起算坐标和起算方位角最好能与国家网联测，如果联测有困难可自行测定边长和方位，而起始点坐标可假定。这种假定平面直角坐标系只限于某种工程建筑施工之用。第七十四页，共八十页，编辑于2023年，星期日

这种方案的思路结合了前面两种方案的一些特点，即将中央子午线移动至测区中部，又变换了高程投影面。当测区东西向跨度较大时，需要抵偿的带宽较大时，应采用此种方案建立坐标系统。该方案同时要求：表示若抵偿高程面的高程取测区的平均高程，或略低于该平均高程面（考虑到高程异常），则各边长的高程投影变形近似为0表示若测区在中央子午线附近，则各边长的高斯投影变形近似为0实现