【高中数学】函数的单调性课件 2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1函数的单调性第五章

一元函数的导数及其应用问题引入

在必修第一册中，我们通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等的性质.在本章前两节中我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题.新知探索导数与函数的单调性问题

导数与函数的单调性有什么联系？yxy=xO（1）（2）yxOy=x2（4）xyOy=1xxyOy=x3（3）函数在R上（-∞，0）（0，+∞）函数在R上（-∞，0）（0，+∞）新知探索导数与函数的单调性问题

如何从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系？导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性f′(x)>0k____

角__________f′(x)<0k____

角__________>0<0锐钝上升下降递增递减新知探索导数与函数的单调性梳理一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内

；(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内

.单调递增单调递减注意点：(1)当f′(x)＝0时，f(x)是常函数；(2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)的变化．典例精析题型一：函数图象与导数图象的关系例1已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()解当0<x<1时，xf′(x)<0，∴f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数.故选C.√典例精析题型一：函数图象与导数图象的关系反思与感悟研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．典例精析题型二：利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间.典例精析题型二：利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间.(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，典例精析题型二：利用导数求函数的单调区间反思与感悟(1)利用导数求函数f(x)的单调区间，可以利用判断函数单调性的步骤来求，也可以转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0来求．(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接或直接用逗号隔开，不能写成并集的形式．(3)要特别注意函数的定义域．典例精析题型三：含参数的单调性问题例3

求f(x)＝a2x3＋ax2－x－1的单调区间．

典例精析题型三：含参数的单调性问题例3

求f(x)＝a2x3＋ax2－x－1的单调区间．

典例精析题型三：含参数的单调性问题反思与感悟(1)若导函数的二次项系数含参：①优先讨论是否为0，达到降次的目的，②当不为0时，再从符号上入手，③确定二次函数的开口方向，由判别式确定其根的情况，若有根，然后通过因式分解或求根公式求导函数大于0或小于0的解，若无根，则导函数大于0或小于0恒成立，从而确定原函数的单调性．(2)若导函数的一次项系数含参或常数项含参，按上述第③步求解．典例精析题型四：利用导数求参数的取值范围

即k的取值范围为[1，＋∞).典例精析题型四：利用导数求参数的取值范围

∴k的取值范围是(0,1).当k≤0时，f′(x)<0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意.典例精析题型四：利用导数求参数的取值范围反思与感悟

(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意.(2)恒成立问题的重要思路①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max；②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.跟踪练习1．已知f(x)在R上是可导函数，y＝f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为(

)A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－2，－1)∪(1,2)解析

因为f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上是增函数，所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)>0.√跟踪练习2.函数f(x)＝3＋x·lnx的单调递增区间是()√解析

f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)>0，跟踪练习3.已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是________.解析

f′(x)≤0，即3x2－12≤0，得－2≤x≤2.∴f(x)的减区间为[－2,2