高数2上册chapter0213数列极限

Chap2极限与连续古希腊Archimede—“穷竭法”；中国魏晋时代刘徽—“割圆术”；Newton—“雏形”，Cauchy，Bolzano，Weierstrass等“发展完善”。

Chap2―1

数列极限一、概念引入1

割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积2

截杖问题“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列定义1

函数f:N+R称为数列，记为{xn}.即{xn＝f(n)},nN+,或x1,x2,…xn,…①xn称为数列第n项，其表达式称为数列的通项。②几何意义：数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取定义2

数列{xn}中依次取出下标为n1<n2<…<nk<…的项组成的新数列称为{xn}的一个子列，记为①子列是k的函数，而不是n的函数。且②奇子列例1

讨论下列数列的单调性和有界性（n重根号）三、数列极限定义定义3

设有数列{xn}.若存在常数A，使得>0,NN+,当n>N时，|xnA|<，则称{xn}的极限为A，或称{xn}收敛于A，记为若A不存在，则称数列{xn}无极限，或称为发散(不收敛)

是用来刻划xn与A的接近程度。首先，具有任意性，说明xn与A的接近程度可以任意小；其次，具有相对

固定性，一旦给出，就固定这个再去找N。②

N的存在性说明无论怎么小，第N项后的所有xn都满足

|xnA|<，故不满足这种接近程度的xn仅仅有限项。③通常N具有依赖性，即N＝N()，但不具有唯一性。④几何意义注给定来找N似乎是解不等式，由于N虽然依赖于，但不唯一，因此只需要找一个N使得n>N成为的充分条件即可.这就是所谓的“适当放大法”.适当放大法：四、无穷小与无穷大定义4

若，则称数列为无穷小（量）。

有限个无穷小量之和仍为无穷小；无穷小乘有界量仍为无穷小；有限个无穷小之积仍为无穷小例7

证明{xn}为无穷小的充要条件是{|xn|}为无穷小.定义5

对数列,若则称数列为无穷大（量），记为

无穷小，无穷大和无界的关系(A)无穷小.(B)无穷大.(C)有界的，但不是无穷小.(D)无界的，但不是无穷大.

Chap2―2

数列极限的性质和运算法则一、数列极限的性质定理1（唯一性）若数列{xn}存在极限，则其极限值必唯一.即定理2（有界性）收敛数列必有界。即如果{xn}收敛，则M>0,使得nN+有推论1

无界数列必发散。定理3（保号性）若

若将“A>0”换为“A<0”,则结论改为推论2

若推论3

若数列

即使将“xn0”换为“xn>0”,结论也不能改为“A>0”.定理4（归并性）

可用于判定数列发散。即若能找到{xn}的一个发散子列或两个极限不同的子列，就可断定{xn}发散.命题例1

说明数列{(－1)n}发散。二、数列极限的运算法则1.定理若思考

一个公式例12求极限

Chap2―3

数列极限存在的判别法一、夹逼定理例2.设求f(x)的表达式.二、单调有界数列极限存在准则单调有界定理

若数列{xn}单调增加且有上界,则{xn}收敛.

想一想数列{xn}单调减少的情形？

若{xn}为单调数列，则{xn}收敛{xn}有界.(n重根号).例1设证明存在并求之

有界是数列收敛的必要不充分条件;而单调有界是数列收敛的充分不必要条件