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角平分线定理数学术语01定理定义应用例子验证推导目录0302基本信息角平分线定理1是描述角平分线上的点到角两边距离定量关系的定理，也可看作是角平分线的性质。角平分线定理2是将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。定理定义定理1角平分线长定理2定理定义定理1角平分线上的点到这个角两边的距离相等。证明：如图1，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC图1定理1证明图∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠CAD∵DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为B、C∴∠ABD=∠ACD=90°又AD=AD∴△ABD≌△ACD∴CD=BD故原命题得证。该命题有逆定理：定理2三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。证明：如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线过点D作DE⊥AB，DF⊥AC图2定理2证明图∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE=DF(定理1)∵2S△ABD=AB×DE,2S△ACD=AC×DF∴S△ABD：S△ACD=AB：AC过点A作AG⊥BC，垂足为G∵2S△ABD=BD×AG，2S△ACD=CD×AG∴S△ABD:S△ACD=BD:CD∴AB:AC=BD:CD角平分线长由定理2和斯特瓦尔特定理可以推导出三角形内的角平分线长公式。如右图3，在△ABC中，AD平分∠BAC图3可设AB=x,AC=y,BD=u,CD=v，则BC=u+v由定理2我们知道AB:AC=BD:CD，所以xv=uy由斯台沃特定理，有w²=(x²v+y²u)/(u+v)-uv用u=xv/y,v=uy/x替换原式中的u和v即得AD²=xy-uv=AB×AC-BD×DC

验证推导面积法正弦定理法相似法验证推导面积法由三角形面积公式，得图4面积法图S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAMS△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM∵AM是∠BAC的角平分线∴∠BAM=∠CAM∴sin∠BAM=sin∠CAM∴S△ABM:S△ACM=AB:AC根据：等高底共线，面积比=底长比可得：S△ABM:S△ACM=MB:MC，则AB:AC=MB:MC相似法过C作CN∥AB，交AM的延长线于N相似法图∵CN∥AB∴∠ABC=∠BCN又∠AMB=∠CMN∴△ABM∽△NCM∴AB:NC=BM:CM∵AM是∠BAC的角平分线∴∠BAN=∠CAN又∠BAN=∠ANC∴∠CAN=∠ANC∴AC=CN正弦定理法作△ABC的外接圆，AM交圆于D正弦定理法图由正弦定理，得AB:sin∠AMB=MB:sin∠BAM,AC:sin∠AMC=MC:sin∠CAM∵AM是∠BAC的角平分线∴∠BAM=∠CAM∴sin∠BAM=sin∠CAM又∠AMB+∠AMC=180°sin∠AMB=sin∠AMC∴AB:AC=MB:MC应用例子

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