同济高等数学课件包含习题

r有关，也与与其高度h有关，所以，体积是两个变量rh的函数。又如地表的温度是地点及当地温度的三元函数。更一般地，有n元函数的概念。为此我们引入我们用Rn表示nRn=x,x x˛R,i=1,2 称Rn为n维(x)空间. Rn中的元素 x=,x2, ,xn 零元0称为Rn中的坐标原点.定义设D是n 的一个非空子集，从D到实数集的任一映射f称为定义在D上的一个n元（实值）函f:Dfi或y=f=f,x2, ,xn,x˛ ,xn称为自变量y称为因变量，D称ffx)x, ,xn,y)y=f, ,xn, ,x1, ,xn在D上的图形在n等于2与3时，习惯上将点x2x1x2x3分别写成x,y和x,yzPy)M,yz等，相应地二元函数与三元可写成zf或ufM一个二元函数zfxyxy˛D,y,f,y,y˛fx,yD.

x,y x,y)y o例如函数zlnxyoD=,yx+y>yx又如，函数zarcsinx2y2yxD=,y)x2+y2£

质与函数定义域的特征有关。为了在n 讨论n元函数的性质，我们首先来研究n 设x=,x2, ,y1, ,yn是rx,

x-

2+x-

2 +

2 变元x=

在Rn

a=a,a ,记作xfia,表达 rx,容易看到，变元xfia的充要条件是x的nxkfiak,k=1,2 , 设Pxy˛R2,d P=PrP,< =,x=,xy,为点0x0,y0的do0P=PrP,<00称为点0x0,y0的空心d设集合 R2,点P˛R2,如果存在d>0,使P,d则称P是E的内点（见图一）P内，都既有E中的点，又有余集E的点，则称点P是E的边界点 EE的边界，记为.见图二） 集合E=,y)0£x<1,0£y<,则内点的集合为E1=,y)0<x<1,0<y<,而相应的边界为,00£}£.

y E

oEU0,d„˘0 0无穷多个E中的点.设集合 EECE是R2中的1Dx,y1x2y212D=x,y1£23D=x,y1£x23

y2£y2 设集合 R2,如果存在常数K>0,使得对所有rP,0< 例如，集合Ey)0£x1,0£y

y= 设点

x,

,

x,

˛R2PP L=t,y1+1-t2,y2¥<t<+¥

S=t,y1+1-t2,y2)0£t£,1,12 12 称为R2 设 R2,若对E中的两点P,P,存在E ii11234 i定义ffx,y的定义域为D,00,y0oe,总存在正数d只要点P,y˛D

0,d,f-A

f,y-

<Afx,y当P,y在D上）趋于00,y0limf= x,y=Pfi x,fifiP0;,fi,fix0,fy

,

f,y=例x2+ x,fi)x2+证设Px,y,x2+x2+f,y-0 £yx2+o

P˛

,dx,fi)

f,y-f,y=

<x例 xxfiyfisinxy=sinxy

而limsinxy=1.

xfiyfixlimsinxy=limsinxyy=12=xxfiyfi

xfiyfi例 证明极限

x2x x

2xfiyfi证令x0yfi0

+x-yf,y=f,y=x2

=lim0=xyfi

x +x-y

yfiyxfi0,x2 fx,y=y=xfi y=xfi0x2

例 证明xfi0yfi

4y2不存在证当x0,yfi0时f,y=f,y= x2x yfi

=lim0=yfiyx2fi0, fx,y=y=xfi y=xfi

2f