2021-2022学年第二学期福州市高一期中质量抽测-参考答案

准考证号姓名

(在此卷上答题无效)

2021-2022年第二学期福州市高一期中质量抽测

数学试卷

(完卷时间120分钟；满分150分)

友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.复数1+i的共粗复数为

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

【答案】D

【考查意图】本题考查共输复数概念，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等，涉

及的核心素养是数学运算.满分5分.

【解析】根据定义，求出复数1+i的共规复数为l-i,选择D选项.

2.已知向量。=。,加-1),6=(〃?,2),^a1h,则实数"，的值为

2

A.2B.-C.-1D.-2

3

【答案】B

【考查意图】本题考查平面向量的垂直关系，向量坐标运算等，考查运算求解能力，考

查化归与转化思想等，涉及的核心素养是数学运算、直观想象.满分5分.

2

【解析】由a_Lb得。力=0,即lx”?+(加-1)x2=0,解得加=§,选择B选项.

3.已知a为锐角,

【答案】C

【考查意图】本题考查三角函数同角关系，三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能

力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算.满分5分.

【解析】方法一：利用所求角和已知角之间的关系，结合诱导公式进行化简即可求解.

因为c为锐角，所以-&<a-工〈工，而cos(工-a]=cos(a-工]=也，选择C选项.

444U(4J2

方法二:由条件得,a-卜今即a今

所以cos((-a)=cos?-(?+1))=c°s(一$=*.选择C选项.

数学试题(第1页共13页)

4.在四边形初8中，若而=反，且口豆-万卜口豆+而则该四边形一定是

A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形

【答案】C

【考查意图】本题考查平面向量等基础知识，考查推理论证能力，考查数形结合思想、

化归与转化思想，涉及的核心素养是逻辑推理、直观想象.满分5分.

【解析】由方+而=0，得方=况，所以四边形，8CZ)为平行四边形，又由

同-羽=|刀+画，得网=|阿，所以/8CD为矩形.选择C选项.

5.已知dbeR,“6*0”是复数“。+历为虚数”的

A.必要非充分条件B.充分非必要条件

C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件

【答案】C

【考查意图】本题考查复数概念等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想,

涉及的核心素养是逻辑推理.满分5分.

【解析】"0是复数a+bi(a,beR)为虚数的充要条件.

6.多项式x?+2x+4在复数集中因式分解的结果是

A.(x+1+后)(x+l-病B.(x-l-73i)(x+l-^i)

C.(x-l-®)(x-l+6i)D.(x+l-^3i)(x-l+.y/3i)

【答案】A

【考查意图】本题主要考查因式分解，复数的乘法运算，一元二次方程虚根求解等基础

知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算.满分5分.

【解析】因为A=〃—4ac=4—16=—12<0,所以X2+2X+4KX+1++1—Gi),

选择A选项.

7.在边长为2的正方形48CO中，点E为边8。上的动点，点尸为边CO上的动点，且

DF=CE,则正.市的最小值为

A.3B.5C.-1D.0

【答案】A

【考查意图】本题考查二次函数的最值，数量积的坐标表示，向量在几何中的应用等知

识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，涉及的核心

素养是数学运算，逻辑推理、直观想象.满分5分.

【解析】方法一：以力为原点建立直角坐标系，设。尸=x,则8(2,0),E(2,2-x),

尸(x,2),故丽=(无一2,2),EF=(x-2,x),

数学试题(第2页共13页)

则而历=(X-2)2+2X=--2X+4=(X-1)2+3,选择A选项.

方法二：由图可以判断旃.而为正数，故排除C和D,取中点为尸，则8c上的中

点为E,此时而=(-1,2),市=(-1,1),得旃.丽=3，故选择A选项.

方法三：极化恒等式。

8.m^|a=lg2,b=log23,c=log34,则a,瓦c的大小关系为

A.a>b>cB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】C

【考查意图】本题考查对数函数的图像与性质，不等式比较大小等基础知识，考查运算

求解能力、应用意识，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、

逻辑推理.满分5分.

【解析】方法一:a=lg2<IglO=1,b=log,3>log,2=1,c=log,4>log,3=1,

b=log,3=logs27>log,27>c=log,4=log916,a<c<h.故选择C选项.

八］alg3141g46(lg3)2

方法一一=1暇3=硬,c=log34=—,二0说‘

Ig2-lg4<(lg2^lg4)2=(等)2<(号/=(lg3)2,

>1,c<h,a<c<6.故选择C选项.

c

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

1,x>0,

9.已知函数s(x)=<0,x=0,则函数〃(x)=s(x)-x的零点是

—1,x<0,

A.-1B.0C.1D.2

【答案】ABC

【考查意图】本题考查分段函数的图像与性质，函数的零点等基础知识，考查运算求解能

力，推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、逻

辑推理、几何直观.满分5分.

【解析】在同一个坐标系中作出，=S(x)与y=x的图象，易得交点个数为3个.

10.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，当x?0时，f(x)=x2-2x,则

A./(x)的最小值为-1B./(x)在(-2,0)上单调递减

C./3>0的解集为(-8,-2)11(2,+«))D.存在实数x满足/(x+2)+/(_x)=0

【答案】ACD

【考查意图】本题考查函数的图像，函数的单调性、奇偶性、对称性，解一元二次不等式

等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉

数学试题(第3页共13页)

及的核心素养是数学运算、逻辑推理、几何直观,满分5分.

【解析】设x<0,则一x>0,所以/(一工)=(一工)2-2(-幻=工2+2%=/(工)，

x"+2x,x<0,

综上，/(x)=12c故的最小值为-1,选项A正确；

因此“X)在(-2,-1)上单调递减，在(-1,0)上单调递增，选项B错误；

作出图像得到/(x)>0的解集为(V,-2)1)(2,+8),选项C正确；

存在实数x=-2、x=0使得/(x+2)+/(-x)=0,选项D正确。

11.在直角坐标系中，已知点直角),8(2,3),C(3,2),OP=mAB+nAC<(W,«GR),

则

A.若OP]]BC，则〃7+〃=0

B.若点P在BC上，贝1」加+〃=1

C.^PA+PB+PC=O,则m-"=0

D.若万在就方向上的投影向量是(2,1),则加_〃=1

【答案】AC

【考查意图】本题考查平面向量基本定理，投影向量的坐标表示，向量的几何性质等基础

知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程

思想，涉及的核心素养是数学运算、逻辑推理、直观想象.满分5分.

【解析】荏=(1,2),%=(2,1),因为°P=w"B+"4C,所以丽=(加+2〃,2加+〃)，

由而=("?+2〃,2机+〃)，SC=(1,-1),得用+〃=0,选项A正确；

若P在8c上，则/=丽一次，

AP=(mAB+nAC)-OA=(mAB+nAC)-^AB+^AC)=(m-^)AB+(n-^)AC,

所以(加-；)+("-；)=1,即"?+〃=g,选项B错误；

由方+方+定=0，解得加=(2,2),由"?+2"=2,2机+见=2,得/-"=0,选项C

正确；

对于选项D,若万在正方向上的投影向量是(2,1),则万=就，

此时点夕与点。重合，且用+〃=g,解得团=；.选项D错误.

12.在△48。中，三个角4优。所对的边分别为6,C,sinsinsinC=-,△ZBC的面

8

积为2,则

数学试题(第4页共13页)

A.abc=16^2B.若a=&,则4=巴

3

C.△/BC外接圆半径R=2&D.+232sinC

Isin4sinB)

【答案】ACD

【考查意图】本题考查三角恒等变换，正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，均值不

等式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查数形结合思想、

化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、逻辑推理、直观想象.满分5分.

【解析】由S=』bcsin4=2R2sin8sinCsin4，得*=8,:.R=2近,故选项C正确；

2

由正弦定理上一=2尺，而巫*40所以选项B错误；

sinJj兀

sin—

3

所以abc=82sinAsin5sinC=16\[2，故选项A正确;

---+---=8|---+---|sin4sinBsinC=8(sinBsinC+sinZsinC)

sinJsinB(sin4sinBJ

》8x2Jsin4sinBsinC•sinC=4@嫉inC

所以(」一+」一)232sinC,故选项D正确.

Isin力sinB)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知出力£R,i是虚数单位，若a+i=l-bi,则(a+bi)2=.

【答案】⑵

【考查意图】本题主要考查复数四则运算以及复数相等基础知识，考查运算求解能力，

考查化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算.满分5分.

【解析】。+bi=1-i,则(a+Z?i)2=(l-i)2=-2i.

14.已知向量。，〃的夹角为60。，k+2b|=2jj,|*|=1,则问=.

【答案】2

【考查意图】本题主要考查平面向量的运算法则，数量积，模及其几何意义等基础知识，考

查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，涉及的核心素养是

数学运算、直观想象.满分5分.

2

【解析】由卜+2^=26，得(〃+2力2=12,A+4b+4a-b=12»

设,卜工，则/+2工一8=0,解得菁=2,x2=-4,/.|a|=2.

15.在八距中，三个角4伉。所对的边分别为〃也。，若。=2,4=则八"。周长的最

数学试题(第5页共13页)

大值为.

【答案】6

【考查意图】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，三角形周长及基本不等式等基础

知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运

算、逻辑推理.满分5分.

【解析】由正弦定理得：—=—=—,

sin%sin8sinC

,asinB4百.nasinC4G.「4栏.,2乃

:.b=--------=------sin8,c=---------=------sinC=------sin(------B),

sin43sin/333

:.b+c=^^-[sin5+sin(--S)]=4(-cosB+—sinB)=4sin(B+今，

33226

...当6+巴=2，即5=工时，b+c取得最大值4.

626

AABC周长的最大值4+2=6.

16.如图，半圆。的半径为1,Z为直径所在直线上的一点，且。4=血，8为半圆弧上的

动点.将线段AB绕点A顺时针旋转|得到线段AC,

则线段0c长度的最大值是.

【答案】3

【考查意图】本题主要考查三角函数的简单应用等知

识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、数学抽象.满

分5分.

【解析】

解法一：以0为坐标原点建立平面直角坐标系，设N/OB=e,则8(cos0,sin夕),

”（及,0），

Z8=（cose-0,sin@,所以/=卜山。,虚-以与。），从而OC=（&+sin6,&-cos。）,

|反|=+sin夕『+(立-cos/丫=j5+4sin(6-?),所以，当0=”时，线段OC的长

取得最大值3.

解法二：由托勒密定理,得48.。。忘048(?+。8»(?,且/"BC为等腰直角三角形,

AB=AC,BC=-j2AB,0/=及,08=1,

所以。CW也空邛处”=3,此时N/O8=135。，AC=非，ZA0C=45°.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

数学试题(第6页共13页)

如图，在△4BC中，已知48=2,AC=5,ABAC=60°,BC、/C边上的中线4W、

BN相交于点尸.设方=a,~AC=b.

（1）用“，分表示丽；

（2）求网.

【考查意图】本题主要考查平面向量基本定理，平面向量的三角形法则，平行四边形法则，

向量的模等基础知识，考查向量方法解决平面几何问题的能力，考查运算求解能力，考查化

归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、数学抽象.满分5分.

【解析】

（1）方法一■：因为N是4c的中点，

所以丽=丽-荔............................................4分

2

方法二：因为8M是△/BC边上的中线，

所以丽=，（初+前）=!防+工（就一万）=!就一在=1/>一...........4分

22222

（2）方法一：AP^AB+BP,............................................................................5分

一22112

又BP=-BN=-(—b—a)=-b一一a.................................................................6分

33233,

—►1211

所以力尸=〃+(—〃一—a)=-a+-b.

3333

.................................................................................................................................7分

于是

22

时=d〃+b)2=(la+-6+-«A)=-x(4+25+2x2x5xcos60°)=—=—,

I133999993

.................................................................................................................................9分

所以网=半，

故"的长为我.....................................................10分

3

—■1—■2——1―■I--11

方法二：AP=-AB+-AN=-AB+-AC=-a+-b........................................7分

333333,

因为卜4万"，

X|^A7|2=(la+^/>)2=^(«2+b2+2ab)=^-,所以|施卜与，...........9分

数学试题（第7页共13页）

所以网=与，

故"的长为华.....................................................10分

方法三：（坐标法）

以点z为坐标原点，/c所在直线为X轴，过点/的垂线为y轴，建立平面直角坐标系,

则Z（0,0）,C（5,0）,B（l，5,..............................................6分

由重心性质，得点尸的坐标为（生产,空等9）=（2,正），...............7分

所以网=出+净、率,..........................................9分

故后的长为半.....................................................10分

方法四：（利用正余弦定理解三角形）

在△XBN中，已知48=2,AN=）,ABAC=60°.

2

由余弦定理得BN7AB2+AN?_2AB-ANcos60°=叵,

2

g、iDD2721721DA1721V21

323326

由cosZAPB+cosZAPN=0,

*1112

nnPA+PB-2PA-PB-cosZAPBPA+PN-2PA-PN-cosZAPN八

2PAPB2PAPN

解得4尸=叵，

3

故万的长为半.....................................................10分

18.（12分）

在复平面内，已知正方形的三个顶点/,B,C对应的复数分别是

1+i,2-3i,6-2i.

（1）求点。对应的复数；

（2）已知.求需+荏+元对应的复数.

在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则

按①给分.

①点T是△RBC的垂心.

数学试题（第8页共13页）

②点7是△IBC的外心.

【考查意图】本题主要考查复数加减运算及其几何意义，考查运算求解能力，考查数形结

合思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是直观想象、数学运算.满分12分.

【解析】

(1)方法一：设O为复平面内的原点，

由题意忘=(1,1),砺=(2,-3)庆=(6,-2),前=(4,1),设砺=(x,y),...............2分

则而=历一方=(x,y)-(1,1)=(x-1,夕一1),..................................................3分

由题意知团=而，........................................................4分

fx—1=4,[x=5,

所以.「解得；...................................................5分

=[y=2.

故点。对应的复数为5+2i............................................................................6分

方法二：依题意得，在复平面内，点、4、B、C对应的坐标分别为(1,1),(2,-3),(6,-2),

71

所以4C的中点E的坐标是(夕一；)，........................................2分

又由平行四边形对角线互相平分知，点E也是5。的中点，....................3分

从而点。的坐标为(：x2-2,-：x2-(-3)),即为(5,2),............................5分

故点。对应的复数为5+2i............................................................................6分

方法三：依题意得，在复平面内，点/、B、C对应的坐标分别为(1,1),(2,-3),(6,-2),设点

。的坐标为(xj),则荔=(2,-3)-(1,1)=(1,-4),而=(x,y)-(l,l)=(x-l,y-l)

..................................................................................................................2分

1一1|一|(1)-4(”1)=0,

由刘,而且同卜网得，2=后旷.................4分

|x=5,Ix=-3,

解得，[=2或1r=0结合图形可知’点。的坐标为62)，

故点。对应的复数为5+2i............................................................................6分

(2)

若选择①，

因为点7是三角形4BC的垂心，所以点?位于直角顶点8处，...........8分

则方+茏+左=或+0+元=(1,1)一(2,-3)+(6,-2)-(2,-3)=(3,5),........10分

故向量普+方+无对应的复数是3+5i...............................................12分

若选择②，

因为点7是三角形4BC的外心，所以点7为直角三角形48c斜边/C的中点，8分

数学试题(第9页共13页)

点r坐标为(g,-；),

则讶+而+元=(万+元)+而=0+历=(2,_3)_(5，_p=(w),.....10分

35

故向量强+而+而对应的复数是-----i.................................12分

22

19.(12分)

已知向量。=(4，cos(2x-*),力=(sin2x,-；),设/(x)=a•人

(1)求/(x)的单调递增区间；

(2)若关于x的不等式/(x)-wWO在-1君恒成立，求机的取值范围.

【考查意图】本题主要考查向量的数量积运算，考查三角函数恒等变换，三角函数的图

像与性质，不等式恒成立问题，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化

归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、逻辑推理、直观想象.满分12分.

【解析】f(x)=a-b=-y-sin2x—^-cos(2x-y)................................1分

_A/311>/3i八

=2sin2x—-(—cos2xH—sin2x)....................................2

百。1rr八

=——sin2x——cos2x..................................................3分

44

1的「1、

=~(—sm2x--cos2x)

=：sin(2x-B).........................................................4分

26

(1)T=—=7i；.............................................................5分

2

IT717r7TTt

由2®——<2x——<2kTt+—,keZ,得左兀——<x<kii+—,keZ,--------------6分

26263

所以/(x)的单调递增区间为[而一上E+刍,/eZ).........................8分

63

汽兀N•兀兀，5兀c八

(2)当工£---,—时，—W2xW—,....................................9分

122]366

由不等式/(x)-m40恒成立，得加之/(X)M，............................10分

因为/(x)11m=g，........................................................11分

所以加2工.........................................................12分

2

数学试题(第10页共13页)

20.（12分）

在锐角△/8C中，角48,C所对的边分别为a,b,c,已知cos（2N+28）+2cos2c=0,

a+b=2屈，且△/BC的外接圆半径为2K.

（1）求角C;

（2）求N8边上的高肌

【考查意图】本题主要考查正弦定理、余弦定理，三角函数求值等基础知识，考查运算

求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运

算、逻辑推理、抽象概括、直观想象.满分12分.

【解析】（1）由已知cos（2/+28）+2cos2c=0,得

cos2(/+8)+2cos2C=cos2(^-C)+2cos2C

=cos2C+2cos2C=4cos2C-1=0................................................................................3分

解得cosC=±—,.............................................................................................................4分

2

因为C为锐角，所以C=巴；............................................5分

3

（2）由正弦定理，得c=2x2jJsin"=6..................................................................7分

由余弦定理，Wc2=a2+b2-2abcos^=(a+b)'-3ab=36,又a+b=2岳，

所以叫=("+"-36,即帅=8...............................................................................10分

3

所以S=—aftsinC=—ch，

22

8X

所以八absinCT2百，即△/BC的边N8上的高〃=2叵.............12分

h=---------=----=----3

c63

21.（12分）

函数/（力的定义域为（0,+8）,且存在唯一常数k>0,使得对于任意的x总有

/(W=/(x)+不成立.

（1）若/⑴=0,求/化）+/（£|的值;

（2）求证函数g（x）=lnx符合题设条件.

【考查意图】本题主要考查函数相关新定义的理解，函数零点个数判断，函数图象的意

数学试题（第11页共13页）

义等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、创新意识，考查数形结合思想、化归与

转化思想，涉及的核心素养是数学运算、数学抽象、逻辑推理等。

【解析】(1)由条件，得............................1分

又/⑴=0,所以/•)=1，...............................................2分

K

而

/⑴=/-讣/|})+。....................................................3分

又/(l)=o,所以/［：)=->..............................................4分

所以，/小)+_/{£|=0...................................................5分

(2)易知g(x)=lnx的定义域为(0,”)，..................................6分

假设存在常数%>0满足lnA°x=lnx+!,等价于In%=厂...................8分

*0叫)

设p(x)=lnx-《，易知该函数为增函数.....................................9分

又p⑴=lnl-；=-l<0,p(e)=lne--=l-->0,.........................11分

所以，存在唯一的常数&e(l,e)使函数g(x)=lnx满足题设条件..............12分

22.(12分)

在△/8C中，向量等式％=方+沅或而+方心+9=0,沟通了几何与代数的联系,

利用它并结合向量的运算，可以很好地帮助我们研究问题，体现向量法的特性.

(1)如图，△/8C的三个角/,8,C的对边分别为设ec

为△Z8C所在平面的一个单位向量，记向量e与方的夹角