2022-2023学年上海市高二年级上册学期期中数学试题含答案

2022-2023学年上海市回民中学高二上学期期中数学试题

一、填空题

1.两两相交的三条直线可确定个平面.

【答案】1或3

【详解】当三条直线交于一点时，可以确定3个平面；当三条直线两两相交，有三个交点时，可确

定1个平面.两两相交的三条直线可确定1个或3个平面.

2.若向量。=（1，°，1）1=（°，1，1）的夹角为0,则。=.

71

【答案】3

【分析】利用空间向量夹角的坐标表示即可求解.

【详解】因为一。，0，1需=（0，1，1）,所以H冏=仓田=气

因为同°旬，所以

兀

故答案为：3.

3.一个平面截一个球得到面积为立的圆面，球心到这个圆面的距离等于球半径的一半，则该球的

体积等于.

32n

【答案】~

【分析】根据截面半径和球心到截面的距离与球的半径的勾股关系直接求解.

【详解】由平面截一个球得到面积为3兀的圆面可得，截面圆的半径为r=6，

d=—R

设球的半径为R,球心到这个圆面的距离为2,

-R2=2=3

所以由勾股定理可得*=/+/,即4r,所以H=2,

所以球的体积为33,

327t

故答案为：3.

2兀

4.某圆锥的底面半径为1,沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为丁的扇形.则该圆锥的侧

面积为.

【答案】3兀

【分析】根据已知可得扇形的弧长为2兀，进而根据弧长公式求出扇形的半径即圆锥的母线，即可

求出答案.

【详解】设圆锥的母线为/,底面半径厂=1,扇形的半径为4

由已知可得，的长为2口=2兀，

/,八c2兀,2兀,

Z-AOB=—2兀=—/,〜

又3,由3可得，/=3.

所以圆锥的侧面积为5=兀〃=3兀.

故答案为：3n.

5.已知空间向量a=Q，-3，l）,B=（X,6,-2）,若,〃不，则》=

【答案】-4

【分析】依题意可得力4=B，根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可.

【详解】解：因为）=（2,-3,1）,1=（苍6,-2）且源区，

x=2A

<6=_3412=-2

所以然=兀即1一2",解得卜=-4；

故答案为：-4

6.设三棱柱ABC'A'B'C'的体积为1,则四棱锥ice网的体积为

2

【答案】3

【分析】因为吃TSW匕i尾，根据等体积法求出三棱锥4-qca的体积，然后求出三

棱锥4-Emc的体积，即可得出结果.

a

A

B

【详解】

如图，连结”，阳，水,B、c.

设J8C的面积为S,则△44G的面积为S,设

由已知叱…£=助」所以-%=兴=；

V—1<?/,-1V=V-17-V—J.

rrrr

又,,'4-ABC-313,所以A-B,BC-ABC-A.B,C,J,-B.CC.A.-ABC-3-）.

所以，y4-8CG4-yy4-MG+v'4-B/C=—3

2

故答案为：3.

7.在矩形力88中，E为边4。的中点，AB=\,BC=2,分别以A、。为圆心，1为半径作圆弧

EB、EC（E在线段工。上）.由两圆弧EB、EC及边8c所围成的平面图形绕直线/。旋转一周，

则所形成的几何体的表面积为.

D------、C

A------%

【答案】8兀

【分析】由已知可得，旋转得到的几何体为圆柱去掉两个半径为1的半球，该几何体的表面包括圆

柱的侧面以及两个半球的表面，分别求出圆柱的侧面积以及球的表面积即可得出答案.

【详解】由已知可得，该几何体为圆柱去掉两个半径为1的半球.

圆柱的底面半径〃=1，母线，=2,所以圆柱的侧面积为2"/=47r.

2-x1—x-42兀厂=4A7t

两个半球的表面积为2

该几何体的表面包括圆柱的侧面以及两个半球的表面，所以几何体的表面积为8兀.

8.空间四边形各边及对角线长均为啦，E,F,G分别是"8,AD,℃的中点，则

GEGF=

【答案】2##0.5

【分析】利用向量的线性运算，转化向量，再计算向量的数量积.

GE=AE-AG=-AB--C4C+AD^=-（AB-AC-AD^

【详解】如图，22'

9

GF=--AC

2,

GEGF=--（AB-AC-AbyAC

所以八）

=-^AC-AC2-ACAb^

因为向量方，就，力的模相等，夹角相等,所以福刀-就.而=0,AC2=2

GEGF=-

及2

C

答案为：2

9.己知依夕是两个不同平面，机，"是两条不同直线，下列命题中：①“直线。、人为异面直线”的充

分非必要条件是“直线“、'不相交"；②垂直于三角形两边的直线必垂直第三边；③。内有不共

线三点到齐距离相等，则a〃尸；④若直线机,〃，加1。，则〃〃a；⑤若加〃〃，则

〃，夕;⑥若加工见"?1〃，则其中正确的命题编号为.

【答案】②⑤⑥

【分析】①利用异面直线的性质判断即可，②利用线面垂直的性质即可判断，③④⑤⑥画图分析

即可

【详解】①若直线。、分不相交，则直线。、方为有可能平行，有可能异面,

故“直线。、6不相交，，是“直线a、6为异面直线”的不充分条件，

反之，若直线。、台为异面直线，则直线。、6不相交成立，

故“直线。、〃不相交”是“直线“、人为异面直线”的必要条件，

所以①错误；

②垂直于三角形两边的直线必垂直三角形所在面，即线面垂直,

又三角形第三边在三角形面中，故该直线一定垂直第三边，

所以②正确；

③如图，

设4民C为平面a内不共线的三点，且到平面方的距离相等，但是此时平面a与

平面广相交，故③不正确;

④如图所示

直线，nla,则〃ua；故④错误;

⑤如图所示:

⑥如图所示

若心，巴加，尸，则a〃力，故⑥正确；

故答案为：②⑤⑥

10.我国南北朝时期的数学家祖晒在计算球的体积时，提出了一个原理：“幕势既同，则积不容异

这里的“累”指水平截面的面积，“势”指高.如图（1）是一种“蒙古包”的简易视图，其中底面/8CO是

个正方形，曲线力℃和8。。均是以2为半径的半圆，平面和平面8OQ均垂直于底面.想要计

算该蒙古包的体积厂就可以利用祖晒原理，构造一个与蒙古包同底等高的正四棱柱，从中挖去一个

倒放的同底等高的正四棱锥（如图（2））,从而求得/=.

32

【答案】§

【分析】由题知NC=4,/B=2&,正四棱柱的高为2,进而根据'四棱柱面网锥计算即可.

【详解】解：因为底面Z8C。是个正方形，曲线和88均是以2为半径的半圆

所以"C=4,/8=20,正四棱柱的高为2

根据祖唯原理，该蒙古包的体积

〃=勺四梭桂靛傩=2V2x2V2x2-lx2V2x2V2x2=16-^=y

32

故答案为：3

二、单选题

11.下列命题中不正确的是（）

A.相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B.正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等

C.圆柱的母线垂直于底面D,过球面上两点的大圆有且只有一个

【答案】D

【分析】选项A根据直棱柱的定义，结合线面垂直判定定理即可；选项B画出正四棱锥验证线面

角是否相等即可，选项C有圆柱的特征及结构即可判断，选项D根据球截面的特性即可判断.

【详解】选项A,如图所示，在四棱柱"88-48GR中，

RG

若侧面ABB'A'和侧面B8出为相邻的矩形，

因为BB、1AB,BB、LCB,4BCCB=B

C8，N8u底面/8CQ,则8名_L底面

由直棱柱定义可知四棱柱"88-44GA为直棱柱，故A正确;

选项B,如图在正四棱锥中，

由正四棱锥可得，尸°工底面月8。，底面为正方形，且侧棱相等，

所以侧棱？4P民尸。,也》与底面/8CO所成角分别为：NP/0=ZP80=ZPC0=ZP£)0,故选项

B正确，

选项C,由圆柱的特征及结构可知，圆柱的母线都垂直于底面，

故C正确，

若球面上所取的任意两点与球心在同一直线上，则过这两点的大圆有无数个，

故D错误；

故选：D.

12.已知空间三点'(一2，°，8),尸(〃?,〃?,〃?)，'(4,~4,5),若向量强，荏，则实数切=()

A.37B.36C.-38D.一36

【答案】B

【分析】根据那•荏=°可求得加值.

【详解】解：因为已知空间三点"a*),尸("?,"?,〃?)，8(4,7,5),

所以PZ=(-2-m,-m,8-m)=(6,-4,-3)

由于沙，在，

:.PA-AB=(-2-WJ)x6+(-w)x(-4)+(8-/n)x(-3)=0

解得加=36.

故选：B.

13.柏拉图多面体，是指严格对称，结构等价的正多面体.由于太完美，因此数量很少，只有正四、

六、八、十二、二十面体五种.如果用边数不同的正多边形来构造接近圆球、比较完美的多面体，

那么数量会多一些，用两种或两种以上的正多边形构建的凸多面体虽不是正多面体但有些类似，这

样的多面体叫做半正多面体.古希腊数学家物理学家阿基米德对这些正多面体进行研究并发现了

13种半正多面体(后人称为“阿基米德多面体”).现在正四面体上将四个角各截去一角，形成最简

单的阿基米德家族种的一个，又名截角四面体.设原正四面体的棱长为6,则所得的截角四面体的

表面积为

A.2073B.24石c.28也D32方

【答案】C

【分析】由题意可求出正六边形的边长为2,截去的正三角形的边长为2,进而求出正六边形的面

积和每个截面的面积，求出所得的截角四面体的表面积.

【详解】解：设正六多边形的边长为x,

则由题意可知：6-2X=X,

所以x=2,

—X62-3X^X22=6V3

所以每个正六边形的面积为44,

4x6x/3+4x^-x22=2873

所以所得的截角四面体的表面积为

故选：c.

三、解答题

V=-(S'+y[S^S'+S\l

14.设台体上、下底面积分别为S'和S,上下底面的距离为力.求证：“体3、7

【答案】证明见解析

店h

【分析】设顶点p到平面4AG4的距离为X,根据相似得出了一JM,即可根据

%体=VP-ABCD-VP-AACA计算化简证明.

【详解】如图所示：棱台可以看作由棱锥截成，

设顶点P到平面"4G4的距离为x,

S'x2

根据平行四边形ABCD与44CQ相似可得：$(〃+x)-,

ylS'h

则Vs—Vs7,

=；[S〃+(S—SA]

国

故棱台的体积3、J

15.如图，长方体"88-4及*中，|明=|皿=1,M4|=2,点户为的中点.

⑴求证：直线8〃〃平面P/C；

（2）求异面直线与AP所成角的大小.

【答案】⑴证明见解析

（2）30°

【分析】（1）设/C和8。交于点°,可得PO//BR,根据线面平行的判定定理即可得证.

（2）由「°〃8",得NZPO即为异面直线8A与4尸所成的角.求得各个边长，根据三角函数的定

义，即可得答案.

【详解】（1）设/C和8。交于点°,则。为5。的中点，连接尸°，

是。乌的中点，

.POHBD,（

又「POu平面PNC,30U平面p/C,

直线8以〃平面尸/C；

(2)由⑴知，PO//BD\,

・・・乙4Po即为异面直线与力产所成的角，

________]五

...|尸4|=|PC|=1CD。+P»=丘,以。卜5,。1=彳，f|P0_L/0,

也

sin4Po=吗=

...\AP\V22

又44尸。£(0。,90。],

•N4PO=30°

故异面直线8R与IP所成角的大小为30°.

16.如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的怫钉(图1)穿在一起，在没有

帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，钾合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截

(1)若钉身长度是钉帽高度的3倍，求钾钉的表面积；

(2)若每块钢板的厚度为10mm,求钉身的长度(结果精确到1mm).

【答案】（l）1395mm2；

（2）55mm.

【分析】（1）由图可知，钾钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以0=15为半径的

圆的面积.根据已知条件，分别求出各部分的面积即可得出答案；

（2）设钉身的长度为x,表示出钉身的体积根据已知求出钉身加工后的体积，列出方程，求解

即可得出答案.

【详解】（1）解：由己知可得，钾钉为以4=匕为半径的半球与圆柱的组合体

由钉身长度是钉帽高度的3倍，可知圆柱的高为=45,圆柱底面半径为々=8

由图可知，钾钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以。=匕为半径的圆的面积

半球的表面积为SLEX劭'lu^MxWndSO、圆柱的侧面积为邑=2兀9=2兀><8x45=720-

圆的面积$3=叫2=225兀

所以，钾钉的表面积S=岳+$2+S3=1395M"加）

（2）解：设钉身的长度为x,x>20,则钉身的体积"=叫晨=64口

由已知加工前后体积不变，加工后体积为钉身与钉帽体积之和，其中钉身长度为20,底面圆半径

为4=8,钉帽是以半径"=匕的半球

夕=兀々2x20+—x—兀，「=12807t+2250兀=3530兀（，"〃/）

所以23।/

所以64*=3530兀，解得x=55,满足条件.

所以钉身的长度为55（"〃"）,

17.我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一

侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，

在堑堵48C-481G中，若AC上BC,A}A=AB=2

B

H

（1）求证：四棱锥8-//CC为阳马;

（2）若直线48与平面“4GC所成的角为Z时，求该堑堵/8C-/4G的体积;

（3）当阳马3-44GC的体积最大时，求点G到平面42c的距离

【答案】（1）证明见解析

⑵2

2出

⑶3

【分析】（I）根据定义证明底面"4G。为矩形，侧棱8c工矩形面/4GC即可；

（2）找出线面角，根据题意以及（1）中的相应条件求出所需线段长度，然后利用三棱柱的体积公

式计算即可；

（3）由前两问表示出阳马8一44GC的体积，利用基本不等式求出最值，从而得到相应线段的长

度,在根据图找出、证明、求解点G到平面42c的距离.

【详解】（1）证明：由题意在堑堵/8C-44G中，“41底面N8C,

由/Cu底面ABC,BCU底面ABCf

所以，4c,44-LBC,

在三棱柱4及G中，四边形"4GC为平行四边形，

所以四边形"4G。为平行四边形为矩形，

又ACJ.BC,AAtr\AC=A

所以5C/平面Z4GC,

所以根据题意得：四棱锥8-44CC为阳马.

（2）由（1）知8C/平面44GC,

所以斜线4B在平面"4GC的射影为4C,

JI

所以直线“由与平面"4”所成的角为“'4°一6,

在中，44=43=2,