2023年高考高考冲刺理科数学（全国卷甲卷（Ⅱ））含解析数理化网

2023年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

(1)已知z=(m+3)+(〃Ll)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数〃?的取值范围是

(A)(-3,1)(B)(-1-3)(C)(1,田)(D)(。，-3)

【解析】A

/n+3>0,zn-1<0,-3<w<1,故选A.

(2)已知集合人={1,2,3},B={x|(x+l)(x-2)<0,XGZ],则A-8=

(A){1}(B){I，2}

(C){0,1,2,3}(D){-1,0,1,2,3}

【解析】C

R={x|(x+l)(x-2)<0,xez|={x|-l<x<2,xeZ},

8={0,1},AB={0,1,2,3},

故选C.

(3)已知向量“=(1,附，〃=(3,-2),且(£+3)J_B,则皿=

(A)-8(B)-6(C)6(D)8

【解析】D

a+b=(4,m-2),

'：(a+b)lb,，(£+垃•1=12-2(m-2)=0

解得加=8,

故选D.

(4)圆f+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线以+y-l=0的距离为1,则a=

43

(A)--(B)--(C)6(D)2

【解析】A

圆好+/!-2》一8)，+13=0化为标准方程为：(x-iy+(y-4)2=4,

.、|a+4-l|4

故圆心为(1,4),d==解得“=一，

Jtr+13

故选A.

(5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,

则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

(A)24(B)18(C)12(D)9

【解析】B

EfF有6种走法，F—G有3种走法，由乘法原理知，共6x3=18种走法

故选B.

(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

(A)207t(B)247t(C)287t(D)327t

【解析】C

几何体是圆锥与圆柱的组合体,

设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为/,圆柱高为心

22

由图得厂=2,=2兀「=4兀，由勾股定理得：/=J2+(2>/3)=4,

=7tr2+ch+-cl=4兀+16兀+8兀=28n

2

故选C.

(7)若将函数产2sin2x的图像向左平移已个单位长度，则平移后图象的对称轴为

(A)x=-----(左wZ)(B)x—---1—(左£Z)

2626

(C)X=-(jteZ)(D)x=—+—(fceZ)

212v'212v'

【解析】B

平移后图像表达式为y=2sin2(x+总，

令1=&兀+一得对称轴方程：x=—■H—(kGZ),

<12J226'，

故选B.

(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的

x=2,n=2,依次输入的〃为2,2,5,则输出的$=

(开始)

入X."/

1*

k0.J0

/输入Q/

/输中$/

(结束)

(A)7(B)12(C)17(D)34

【解析】C

第一次运算：s=0x2+2=2,

第二次运算：s=2x2+2=6,

第二次运算：5=6x2+5=17,

故选C.

，c、廿年13

(9)若cos[i_aj=1,则sinla=

故选D.

（10）从区间［0,1］随机抽取2〃个数百，*2,…，X,，M，%，…，％，构成"个数对（占，乂），（孙必），.•.，

其中两数的平方和小于1的数对共有，〃个，则用随机模拟的方法得到的圆周率无的近似值为

4/?/―、4m/—、2m

(A)(B)—(C)—(D)—

mmnn

【解析】C

由题意得：（苦，》）（，=1，2,在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在

如图所示的阴影中

n

由几何^型概率计算公式知4=生，7T=—,古攵选C.

n

1n

22

（11）已知G，F2是双曲线E：「一二二1的左,右焦点，点M在E上，M片与x轴垂直，sinZMF2Ft=^

crb-

则E的离心率为

3

(A)V2(B)(C)&(D)2

2

【解析】A

2>/2

sinM

离心率e=,由正弦定理得e

MF?_MFT

MF?-MF】sinF}-sinF2I--

3

故选A.

(12)已知函数〃x)(xeR)满足"r)=2-〃x),若函数y=三d与y=/(力图像的交点

X

为(占，yj,(》2,力)，…，(/，%,),则2(占+凹)=()

1=1

(A)0(B)m(C)2m(D)4加

【解析】B

由-2-〃力得外力关于(0,1)对称，

而丁=土上=1+±也关于(。，1)对称，

xx

，对于每一组对称点大+年=0y,+y,,=2,

.立(七+»)=z%+zy=0+2—=故选B.

/=1/=!!=1乙

第n卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~24题为选

考题，考生根据要求作答.

4s

(13)△/铠(7的内角4,B,C的对边分别为“，b,c,若cosA=—，cosC=—,a=\,

513

贝3.

【解析】/21

.4厂5

.cosA=—，cosC=——,

513

sinA=-,sinC=—,

513

63

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=急，

由正弦定理得：上=，解得〃=可.

sin8sinA13

(14)尸是两个平面，m,〃是两条线，有下列四个命题：

①如果m_L〃，mLa,n//p,那么a_L/.

②如果〃z_La,n//a,那么机_L〃.

③如果。〃用，机ua,那么"2〃/.

④如果m〃“，a〃尸，那么，〃与a所成的角和〃与△所成的角相等.

【解析】②③④

（15）有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后

说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙

说：“我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是

【解析】（1,3）

由题意得：丙不拿（2,3）,

若丙（1,2）,则乙（2,3）,甲（1,3）满足，

若丙（1,3）,则乙（2,3）,甲（1,2）不满足，

故甲（1,3）,

（16）若直线y="+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=In（x+l）的切线，b=.

【解析】l-ln2

y=lnx+2的切线为：y=—x+lnx,+1（设切点横坐标为“）

]x~

y=ln（x+l）的切线为：y=------x+ln（x+1）----------

X）+12X,+1

1_1

%x2+1

InXj+1=In（x2+1）----

解得%=3

/.Z?=In+1=1-In2.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

S“为等差数列｛4｝的前〃项和，且4=1,S=28.记"=[吆《』，其中国表示不超过x的最大整数,

如[0.9]=0,[lg99]=l.

（I）求瓦,仇।;

(II)求数列也｝的前1000项和.

【解析】⑴设的公差为d,S7=7^=28,

4

•e•a4=4,二—="3"=1,an=a,+(n—V)d=n.

•'«b、=[lg«,]=[lgl]=0,第=[lgq]=[lgll]=l,bm=[lga101]=[lgl01]=2.

⑵记出｝的前"项和为T.，则—=仿+&+…+biaoo

=[lga,]+[lga2]+---+[lgal(K)0].

当OWlga,<1时，n-\,2,••­,9;

当lWlga“<2时，〃=10,11,…，99;

当2Wlga“<3时，〃=100,101,…，999;

当1g4=3时，n=1000.

7；()00=0x9+1x90+2x900+3x1=1893.

(18)(本小题满分12分)

某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其

上年度出险次数的关联如下:

上年度出险次数0123425

保费a2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:

一年内出险次数0123425

概率

(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(II)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率;

(III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

【解析】⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A,

P(A)=1-P(A)=1-(030+0.15)=0.55.

⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件3,

尸(A8)0.10+0.05

P(8|A)=2

P(A)0.55n

⑶解：设本年度所交保费为随机变量x.

X0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

p0.300.150.200.200.100.05

平均保费

欧=0.85x0.30+0.15。+1.25。x0.20+1.5ax0.20+1.75。x0.10+2^x0.05

=0.2554+0.15a+0.25a+0.3a+0.115a+0.la=1.23a,

.•・平均保费与基本保费比值为1.23.

(19)(本小题满分12分)

如图，菱形488的对角线AC与8。交于点O,AB=5,AC=6,点E,尸分别在AD,C£＞上，AE=CF=~,

4

EF交BD于点、H.'^^DEF沿EF折到△D'EF的位置OD=回.

(I)证明：平面ABC。；

(II)求二面角8—DA—C的正弦值.

【解析】⑴证明：：人?二仃二』，

4

.AECF

AD-C5,

:.EF//AC.

:四边形/WCD为菱形，

:.ACLBD,

：.EFLBD,

:.EF1DH,

：.EFVOH.

AC=6f

/.A。=3;

又AB=5,AOVOB9

；.0B=4,

AP

・•・OH=——OD=l

AOf

：.DH=DH=3,

：.\OD^=\OHf+\D'f

：.D'HLOH.

义,：OH\EF=H,

:.。//_1面ABCO.

⑵建立如图坐标系H-xyz.

3（5,0,0）,C（l,3,0）,£>（0,0,3）,A（l,-3,0）,

LlUUnumLlUU

AB=（4,3,0）,A»=（-l,3,3）,AC=（0,6,0）,

u

设面ABD,法向量〃]二（x,y,z）,

八，"=3

AB=0p[4x+3y=0

由4得<,取心=-4,

n-ADf=0[r+3y+3z=0

11z=5

u

/.n}=（3，—4,5）.

uu

同理可得面AD'C的法向量%=（3,0,1）,

irini

9+5后

-icos（9i_^d_ii_7

11吗时572-71025

...2回

・・sm夕=-----.

25

(20)(本小题满分12分)

22

已知椭圆£:土+汇=1的焦点在x轴上，4是E的左顶点，斜率为％a>0)的直线交E于A,"两点，点N

t3

在E上，MA1.NA.

(I)当r=4,|AM|=|AN|时，求AAMN的面积；

(II)当21AMi=|AN|时，求”的取值范围.

22

【解析】⑴当r=4时，椭圆E的方程为三+匕=1,A点坐标为(-2,0),

43

则直线AM的方程为y=%(%+2).

£_+21=i

联立143"并整理得，(3+4公卜2+]6抬工+16标-12=0

y=k(x+2)

8女2-68/-612

解得x=_2或工=_坐一?贝MAM|=+2=J1+/.

3+4公3+4k23+4k2

因为A”_LAN,所以

因为=k>0,

/[।z,212_（J212

所以",i7^=+.,整理得小_0（4/_R+4）=0,

k

4公-%+4=0无实根，所以々=1.

所以ZVIMN的面积为；|4M「144

4?

⑵直线AM的方程为y=k(x+〃),

联立｛t3并整理得，（3+tk2）x2+2ty/tk2x+rk2-3r=0

y=k（x+〃）

解得x=<或x=」山匕—3小

3+以/

所以\AM\=Jl+二一;"+A/7=+.6"

113+tk23+tk2

所以网.上]

3k+—

k

因为21AMi=HM

所以2,用了'•第F=成*,gr,整理得，七隼二手

3Z+,k-2

K

因为椭圆E的焦点在尤轴，所以f>3,即唯二3">3,整理得化+1)(人二2)

犬一2Ie-2

解得蚯“<2.

(21)(本小题满分12分)

Y—2

⑴讨论函数f(x)=-的单调性，并证明当%>0时，a-2)e'+x+2>0;

%+2

(H)证明：当ae[0,I)时，函数g(x)=更菱N(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为〃⑷，求函数/?⑷的

值域.

【解析】⑴证明：f(x)=^^ex

''x+2

/\

/，(x)=e<匕=士9:

卜+2("2)!(X+2)2

・・,当xe(-oo,-2)U(-2,+8)时，/'(x)>0

・・・/(九)在(_oo,一2)和(一2,+8)上单调递增

.•.x>0时，三|e">/(0)=-l

•**(x—2)e'+x+2>()

«G[0,1)

由⑴知，当%>。时，y(x)=：~的值域为(-1,+8),只有一解.

使得^~~~-=-a9re(O,21

r+2'」

当%w(0")时g'(x)<0,g(x)单调减；当x£(1,+co)时g'(x)>0,g(x)单调增

—2

%)=et-"t+il\)\=e'+(I7+l)什----2--,e-'/

t2t+2

记％(。=总，在re(O,2］时，&'(/)=⑺单调递增

；・Ma)"")©］；,N,

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号

(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形A8CZ),E,G分别在边DA,QC上(不与端点重合)，且OE=OG,过。点作。尸_LCE,垂

足为F.

(I)证明：B,C,G,尸四点共圆；

(II)若AB=1,E为D4的中点，求四边形8CG/的面积.

【解析】(I)证明：:DFLCE

：.RtADEF^RtACED

J4GDF=ZDEF=/BCF

DFCF

~DG~~BC

VDE=DGfCD=BC

.DF_CF

^~DG~~BC

：./\GDF^/\BCF

：.4CFB=NDFG

，ZGFB=Z.GF