2022北京铁二中高二（下）期中数学（教师版）

1/12022北京铁二中高二（下）期中数学一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.数列{an}是递增数列，则{an}的通项公式可以是下面的（）A. B. C. D.2.随机变量的分布列如下：若，则的值是（）X01PaA. B.1 C.2 D.33.等差数列｛an｝中，a1=1，a3＋a5=14,其前n项和Sn=100,则n等于（）A.9 B.10 C.11 D.124.两点分布也叫分布，已知随机变量服从参数为的两点分布，则下列选项中不正确的是（）A. B. C. D.5.正项等比数列的公比，且成等差数列，则的值（）A. B. C. D.或6.已知为等比数列，是它的前n项和．若，且与的等差中项为，则（）A.29 B.31 C.33 D.357.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A. B. C. D.9.在数列中，，且对任意大于1的正整数，点()在直线上，则（）A. B. C. D.10.从装有3个白球m个红球n个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若，取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为（）A. B. C. D.11.设，，（），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.12.下列说法不正确的是（）A.若函数满足则函数在处切线斜率为B.函数在区间上存在增区间，则C.函数在区间上有极值点，则D.若任意，都有，则有实数的最大值为二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．13.函数图象在处的切线的斜率为__________．14.{an}等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则S10＝________．15.等差数列{an}中，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为________．16.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____．17.甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为_________；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________．18.已知函数（常数），①当时，有最小值②当时，有两个极值点③曲线在点处的切线方程为④当时，在有最大值1上述判断正确的结论的标号是______三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19.已知数列是等差数列，为其前项和，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．20.某书店打算对A，B，C，D四类图书进行促销，为了解销售情况，在一天中随机调查了15位顾客（记为，1，2，3，…，15）购买这四类图书的情况，记录如下（单位：本）：顾客图书A11111B11111111C1111111D111111（1）若该书店每天的人流量约为100人次，一个月按30天计算，试估计A类图书的月销量（单位：本）；（2）书店进行促销活动，对购买过两类以上（含两类）图书的顾客赠送5元电子红包．现有甲、乙、丙三人，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（3）若某顾客已选中B类图书，为提高书店销售业绩，应继续向其推荐哪类图书？（结果不需要证明）21.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若在区间上的最大值为M，最小值为m，求证：．22.某市某路口用停车信号管理，在某日后的一分钟内有15辆车到达路口，到达的时间如下（以秒作单位）：1，4，7，10，14，17，20，22，25，28，30，33，36，38，41．记，2，3，…，15，表示第k辆车到达路口的时间，表示第k辆车在路口的等待时间，且，，，记，M表示a，b中的较大者．（1）从这15辆车中任取2辆，求这两辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；（2）求的值；（3）记这15辆车在路口等待时间平均值为，现从这15辆车中随机抽取1辆，记，求的分布列和数学期望；23.已知函数．（1）当时，求函数的极值点；（2）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值．

参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.数列{an}是递增数列，则{an}的通项公式可以是下面的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据数列通项公式的性质，由数列{an}是递增数列，根据各个函数的单调性，逐个选项进行判断即可.【详解】对于A，因为单调递增函数，所以，为递增数列，A正确；对于B，因为，所以不是递增数列，B错误对于C，因为为递减函数，所以，为递减数列，C错误；对于D，为摆动数列，D错误.故选：A2.随机变量的分布列如下：若，则的值是（）X01PaA. B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】利用分布列的性质，求得，结合公式求得随机变量的期望，进而求得随机变量的期望.【详解】由题可得，∴，∴，∴，故选：C．3.等差数列｛an｝中，a1=1，a3＋a5=14,其前n项和Sn=100,则n等于（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】【详解】，可得，又，所以，则，所以，由已知，可得.此题为等差数列通项及前项和基本公式考查，属基础题.4.两点分布也叫分布，已知随机变量服从参数为的两点分布，则下列选项中不正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由两点分布的定义即可判断A、B选项；由期望和方差公式即可判断C、D选项.【详解】由参数为的两点分布知，故A、B正确；，C正确；，D错误.故选：D.5.正项等比数列的公比，且成等差数列，则的值（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】首先根据条件求，再根据等比数列的性质，得，即可求解.【详解】因为成等差数列，所以，即，，解得：，.故选：B6.已知为等比数列，是它的前n项和．若，且与的等差中项为，则（）A.29 B.31 C.33 D.35【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为，由已知可得和，代入等比数列的求和公式即可【详解】因为，，，所以，，故选：B.7.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围.【详解】∵，∴，若在区间内存在单调递增区间，则有解，故，令，则在单调递增，，故.故选：D.8.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答.【详解】令“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”，则，且互斥，，，依题意，，解得，所以所求近视的概率为.故选：B【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.9.在数列中，，且对任意大于1的正整数，点()在直线上，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据点()在直线上，得到，再利用等差数列的定义求解.【详解】点()在直线上，，∴数列是首项为，公差为的等差数列.∴数列的通项公式为.,故选：D.10.从装有3个白球m个红球n个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若，取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知求出X的分布列，借助期望求出，再由给定概率求出m，n即可计算作答.【详解】依题意，X的可能值为0，1，2，则有，，，于是得，解得，袋中共有10个球，因此，取出一白一红的概率为，解得，则，所以取出一红一黄的概率为.故选：A11.设，，（），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的单调性对a，b，c进行大小比较即可.【详解】令，则由，得，由，得则在单调递减，在单调递增，在时取最小值.故，且又由，可得，则即，则综上，有，即故选：A12.下列说法不正确的是（）A.若函数满足则函数在处切线斜率为B.函数在区间上存在增区间，则C.函数在区间上有极值点，则D.若任意，都有，则有实数的最大值为【答案】C【解析】【分析】根据切线斜率与导数的关系、二次函数的性质、极值点、构造函数法对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A，由，可知函数在处切线斜率为，故A正确；对于B，由函数在区间上存在增区间，可知，所以，故B正确；对于C，由，可得，当时，，所以函数在区间上没有极值，故C错误；对于D，令，则，所以，函数单调递增，，函数单调递减，又任意，都有，即，故，即实数的最大值为，故D正确．故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．13.函数的图象在处的切线的斜率为__________．【答案】##【解析】【详解】分析：求函数导数，将代入即可求出在处的切线的斜率.详解：，所以，函数的图象在处的切线的斜率为.故答案为.点睛：本题考查了导数的几何意义，在函数图象上某点处切线的斜率为该点处的导数值是解题关键.14.{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则S10＝________．【答案】40【解析】【分析】根据等差数列的性质求解即可.【详解】由等差中项的性质可知，，由已知得公差，；故答案为：40.15.等差数列{an}中，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为________．【答案】an＝38－5n(n∈N*)【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，列出相关的不等式方程组，即可计算求解.【详解】由题意可得即解得，又∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n．故答案为：an＝38－5n(n∈N*)16.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】由函数在上单调递增，得在上恒成立，利用二次函数的性质即可求解.【详解】由题意，函数，则，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，当时，满足；当，，解得.综上，实数的取值范围是.故答案为：17.甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为_________；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________．【答案】①.##0.375②.【解析】【分析】由相互独立事件的概率公式可得空1；分甲对2个乙对一个和甲对1个乙对2个两种情况，根据相互独立事件概率乘法公式分别计算，然后可得.【详解】解：设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件．根据独立事件的性质，可得设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，所以因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语概率是．故答案为：,18.已知函数（为常数），①当时，有最小值②当时，有两个极值点③曲线在点处切线方程为④当时，在有最大值1上述判断正确的结论的标号是______【答案】②③④【解析】【分析】对于①，求导后通过求出函数单调区间，从而可求出其最值，对于②，分和两种情况求函数的极值，对于③，利用导数的几何意义求解，对于④，由已知可得，利用导数求得在有最大值，从而可得结论【详解】对于①选项，当时，，求导得，令，解得．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以当时，有最大值，故选项①错误；对于②选项，当时，对求导得，当时，令，解得，且，当时，，当时，，当时，，所以在时取极小值，在时取极大值．当时，令，解得，且，当时，，当时，，当时，，所以在时取极大值，在时取极小值，所以当时，有两个极值点，故选项②正确；对于③选项，因为，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选项③正确；对于④选项，当时，，则，显然当时，，所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以，故选项④正确.故答案为：②③④三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19.已知数列是等差数列，为其前项和，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得，结合即可求出公差，进而求得通项公式；（2）先求出，再按照等比数列求和公式求和即可.【小问1详解】因为，所以．因为数列是等差数列，，所以，．所以．【小问2详解】由可得，所以．从而可知是首项，公比为等比数列，所以其前项和为．20.某书店打算对A，B，C，D四类图书进行促销，为了解销售情况，在一天中随机调查了15位顾客（记为，1，2，3，…，15）购买这四类图书的情况，记录如下（单位：本）：顾客图书A11111B11111111C1111111D111111（1）若该书店每天的人流量约为100人次，一个月按30天计算，试估计A类图书的月销量（单位：本）；（2）书店进行促销活动，对购买过两类以上（含两类）图书的顾客赠送5元电子红包．现有甲、乙、丙三人，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（3）若某顾客已选中B类图书，为提高书店销售业绩，应继续向其推荐哪类图书？（结果不需要证明）【答案】（1）1000本（2）分布列见解析；期望为9（3）图书D【解析】【分析】（1）根据表格，直接计算可得答案.（2）根据题意，列出X的分布列，根据公式计算出数学期望即可.（3）直接观察表格，可得答案.【小问1详解】（本）答：A类图书的月销量约为1000本【小问2详解】顾客购买两类（含两类）以上图书的概率为X可取0，5，10，15；；；所以X的分布列为X051015P所以【小问3详解】直接观察表格，明显可见，购买B类书籍与购买D类书籍的顾客几乎一致，所以，应继续向其推荐D类图书.21.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若在区间上的最大值为M，最小值为m，求证：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得，讨论与的大小关系，讨论不同情况下导函数的正负，即可求得对应单调性；（2）根据（1）中所求函数单调性，求得关于的函数关系，再构造函数求其单调性和最值，即可证明.【小问1详解】因为，则，当时，令，解得或，此时单调递增；令，解得，此时单调递减；当时，，故此时在上单调递增；当时，令，解得或，此时单调递增；令，解得，此时单调递减；综上所述：当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增.【小问2详解】由（1）可知，当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，又，，故；又，，则，即，故；则令，则，令，可得，此时单调递增，令，可得，此时单调递减，又，故当时，，即当时，，即证.【点睛】本题考察含参函数单调性的讨论，以及利用导数求函数的最值，属综合中档题.22.某市某路口用停车信号管理，在某日后的一分钟内有15辆车到达路口，到达的时间如下（以秒作单位）：1，4，7，10，14，17，20，22，25，28，30，33，36，38，41．记，2，3，…，15，表示第k辆车到达路口的时间，表示第k辆车在路口的等待时间，且，，，记，M表示a，b中的较大者．（1）从这15辆车中任取2辆，求这两辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；（2）求的值；（3）记这15辆车在路口等待时间的平均值为，现从这15辆车中随机抽取1辆，记，求的分布列和数学期望；【答案】（1）（2），（3）分布列见解析；期望为0【解析】【分析】(1)计算