北师版数学七年级下册课件 5-3 简单的轴对称图形（第1课时）

5.3简单的轴对称图形（第1课时）北师大版数学七年级下册导入新知看到下面三角形了吗，它有何特点呢？我们今天来探讨一下等腰三角形的性质.1.理解并掌握等腰三角形的性质.2.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质，能初步运用其解决有关问题.素养目标有两条边相等的三角形叫做等腰三角形

等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ACB腰腰底边顶角底角底角知识点1等腰三角形的性质探究新知（1）等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴．（2）等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？（3）等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？（4）沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由．探究新知剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？操作探究探究新知ABCAB=AC等腰三角形探究新知折一折：△ABC

是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ACDB折痕所在的直线是它的对称轴.等腰三角形是轴对称图形.探究新知(1)等腰三角形是轴对称图形.(2)∠B=∠C

(3)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线(4)∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高(5)BD=CD，AD为底边上的中线.ABCD找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.探究新知ABCD解：在ΔABC中，因为AD是角平分线,所以∠BAD=∠CAD.在ΔABD和ΔACD中,因为AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD，所以ΔABD≌ΔACD.所以BD=CD,∠ADB=∠ADC=90˚.所以AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高.三线合一吗？探究新知等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）.归纳总结等腰三角形的两个底角相等.探究新知ACBD12因为AB=AC,∠1=∠2(已知)，所以BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）因为AB=AC,BD=CD(已知)，所以∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）因为AB=AC,AD⊥BC(已知)，所以BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三线合一）数学语言：如图,在△ABC中,探究新知画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？不重合！三线合一为什么不一样?探究新知“三线合一”的操作探究新知（1）等腰三角形的顶角一定是锐角.（2）等腰三角形的底角可能是锐角，也可能是直角、钝角.（3）钝角三角形不可能是等腰三角形.

（4）等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.（5）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.（6）等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.（

）（

）（

）（

）（

）（

）×××√×√判断对错探究新知ABCD

例1

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.分析：（1）找出图中所有相等的角；（2）指出图中有几个等腰三角形？∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC；△ABC,△ABD,△BCD.探究新知等腰三角形性质的应用素养考点1ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A.（4）设∠A=x°,请把△ABC的内角和用含x的式子表示出来.因为∠A+∠ABC+∠C=180°，所以

x+2x+2x=180°,探究新知ABCD解：因为AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2x方法总结：在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.探究新知如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.解：因为AB=AD=DC

所以

∠B=∠ADB，∠C=∠DAC.设∠C=x，则∠DAC=x，∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2x，在△ABC中，根据三角形内角和定理，得2x+x+26°+x=180°，

解得x=38.5°.所以

∠C=x=38.5°，

∠B=2x=77°.巩固练习变式训练例2

等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(

)A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.A探究新知等腰三角形的分类讨论问题素养考点2探究新知

方法总结等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．（1）等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_____

__；（2）等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________________；（3）等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________.75°,30°70°,40°或55°,55°35°,35°巩固练习变式训练例3

已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1)如图①，若AD＝AE，试说明：BD＝CE；(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，试说明：AF⊥BC.图②图①利用等腰三角形的性质说明线段间的关系探究新知素养考点3解：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.因为AB＝AC，AD＝AE，所以BG＝CG，DG＝EG，所以BG–DG＝CG–EG，所以BD＝CE；(2)因为BD＝CE，F为DE的中点，所以BD＋DF＝CE＋EF，所以BF＝CF.因为AB＝AC，所以AF⊥BC.图②图①G探究新知探究新知

方法总结在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；(2)试说明：EF＝ED.巩固练习变式训练

巩固练习1.（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于（）A．10

B．5

C．4

D．32.（2020•毕节市）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．13

B．17

C．13或17

D．13或10连接中考BB2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（）A．40°B．30°C．70°D．50°A1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（）A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°B基础巩固题课堂检测3.(1)等腰三角形一个角为75°,它的另外两个角为____

_________________；(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为______.75°,30°或52.5°,52.5°72°,72°或36°,108°30°，30°基础巩固题课堂检测4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°，求∠BAD

和∠ADC的度数.ABCD解：因为AB=AC，

所以

∠C=

∠B=30°，因为BD=CD，所以AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°.所以∠BAD=90°–∠B=60°.课堂检测基础巩固题如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，试说明：EC∥DF.所以∠DBC＝∠ECB.因为∠DBC＝∠F，所以∠ECB＝∠F，所以EC∥DF.解：因为△ABC为等腰三角形，AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.又因为BD、CE为底角的平分线，所以能力提升题课堂检测A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，