5-3-4刚体的角动量

设刚体绕z轴作定轴转动，体元mi对轴的角动量

lzi

=ri

mi

vi

是角速度

,vi=ri

。

lzi=ri

2

mi

或整个刚体对转轴的角动量

Lz等于转动惯量与角速度的乘积。

一、刚体对转轴的角动量(Angularmomentum)riviOiz·mi§5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律15-3-4刚体的角动量1注意：2.在刚体对转轴的角动量的表达式中，所涉及的三个物理量都是相对于转轴的，所以不用写成矢量式。3.对于密度均匀、形状对称、且绕几何对称轴旋转的刚体。整个刚体对转轴上任意一点的角动量L必定沿转轴并与角速度的方向相同，故可写成矢量式1.与质点动量表达式对比25-3-4刚体的角动量1二、刚体对转轴的角动量定理将转动定理Mz=Ja

写成下面的形式:实验表明,此式更具普遍性。由上式得到

刚体对转轴的角动量定理作定轴转动的刚体对转轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于同一转轴所受外力的合力矩。35-3-4刚体的角动量1角动量定理也可以写为

Mz

dt称为冲量矩,等于力矩与力矩作用于刚体的时间的乘积。对上式积分得到角动量定理的积分形式

该式表示：动量的增量等于力矩对定轴转动刚体的时间累积效应45-3-4刚体的角动量1

刚体对转轴的角动量守恒定律当定轴转动的刚体所受外力对转轴的合力矩为零时,刚体对同一转轴的角动量不随时间变化。

刚体组绕同一转轴作定轴转动时,系统对转轴的角动量保持恒定，有两种情形：一是系统的转动惯量和角速度的大小均保持不变；另一种是转动惯量改,角速度的大小也同时改变但两者的乘积保持不变。恒量如果Mz=0,则三、刚体对转轴的角动量守恒定律55-3-4刚体的角动量1注意：1.该定律的应用条件，是刚体或刚体组必须满足所受外力的合力矩为零；2.角动量、转动惯量和角速度必须相对同一轴；3.若将该定律应用于刚体组，刚体组中各个刚体之间可以发生相对运动，但是它们必须是相对于同一转轴在转动.65-3-4刚体的角动量11.转动定理2.力矩作的功3.动能定理

小结

在定轴转动中,刚体相对于某转轴的转动惯量与角加速度的乘积,等于作用于刚体的外力相对同一转轴的合力矩

75-3-4刚体的角动量1

设刚体绕z轴作定轴转动，体元mi对轴的角动量

lzi

=ri

mi

vi

是角速度

,vi=ri

。

lzi=ri

2

mi

或整个刚体对转轴的角动量

Lz等于转动惯量与角速度的乘积。

一、刚体对转轴的角动量(Angularmomentum)riviOiz·mi§5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律85-3-4刚体的角动量1二、刚体对转轴的角动量定理将转动定理Mz=Ja

写成下面的形式:实验表明,此式更具普遍性。由上式得到

刚体对转轴的角动量定理作定轴转动的刚体对转轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于同一转轴所受外力的合力矩。95-3-4刚体的角动量1角动量定理也可以写为

Mz

dt称为冲量矩,等于力矩与力矩作用于刚体的时间的乘积。对上式积分得到角动量定理的积分形式

该式表示：动量的增量等于力矩对定轴转动刚体的时间累积效应105-3-4刚体的角动量1

刚体对转轴的角动量守恒定律当定轴转动的刚体所受外力对转轴的合力矩为零时,刚体对同一转轴的角动量不随时间变化。

刚体组绕同一转轴作定轴转动时,系统对转轴的角动量保持恒定，有两种情形：一是系统的转动惯量和角速度的大小均保持不变；另一种是转动惯量改,角速度的大小也同时改变但两者的乘积保持不变。恒量如果Mz=0,则三、刚体对转轴的角动量守恒定律115-3-4刚体的角动量1

刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的，如人手持哑铃的转动,芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作各种快速旋转动作,都利用了对转轴的角动量守恒定律。125-3-4刚体的角动量1花样滑冰中常见的例子花样滑冰收臂大小Iw张臂Jw大小先使自己转动起来收臂大小Jw135-3-4刚体的角动量1LwJ万向支架受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。角动量守恒LwJ恒矢量回转仪定向原理wJ其中转动惯量为常量若将回转体转轴指向任一方向使其以角速度高速旋转则转轴将保持该方向不变而不会受基座改向的影响基座回转体（转动惯量）Jw145-3-4刚体的角动量1

例1:一根长为l、质量为m的均匀细直棒，一端有一固定的光滑水平轴，可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求由此下摆角时的角加速度和角速度。

解:棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。重力作用在棒的重心,当棒处在下摆角时，重力矩为：l/2xO）P155-3-4刚体的角动量1棒处于θ角时的角加速度为：由角加速度的定义

重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。因为棒绕轴O的转动惯量为：l/2xO）P165-3-4刚体的角动量1作如下变换将上式两边积分角速度为175-3-4刚体的角动量1例题2

一个质量为100kg的圆盘状平台，以1.05rads-1的角速度绕通过中心的竖直轴自由旋转，在平台的边缘站着一个质量为60kg的人。问当人从平台边缘走到盘的中心时，平台的转速时多少？解：因为带人的平台是自由转动的，即不受外力矩的作用。若把人和平台看成一个系统，应满足角动量守恒定律，则当人站在平台的边缘时，刚体组的转动惯量为：185-3-4刚体的角动量1

当人站在平台中心时，刚体组的转动惯量等于平台本身的转动惯量，即将J1和J2代入角动量守恒定律195-3-4刚体的角动量1质点直线运动或刚体平动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度位移角位移vrr1t2r()tr()r1t2()t()qqqwddtwddtqaaddtvddt匀速直线运动srvt匀角速定轴转动qwt匀变速直线运动匀变角速定轴转动s021+vt2atqw0+t21a2t2vv022asw2w022aqvv0+atww0+at205-3-4刚体的角动量1刚体的平动刚体的转动转动定理转动动能动能牛顿定律功力矩的功动能定理转动动能定理215-3-4刚体的角动量1刚体的平动刚体的转动冲量冲量矩Mz

dt动量定理角动量定理动量守恒定理角动量守恒定律恒量机械能守恒定律机械能守恒定律225-3-4刚体的角动量1

一、固体在外力作用下的一般情形

形变固体受外力作用所发生的形状变化，分为弹性形变和塑性形变。

应力固体横截面单位面积上内力的改变量。应力是固体在单位横截面上产生的弹性力。

应变固体在外力作用下所发生的相对形变量。

固体受力作用而被拉伸的整个过程如图所示。BCEPσPσEσBoo′σε§5-4固体的形变和弹性235-3-4刚体的角动量1

曲线OP为直线，应力与应变成正比，点P的应力是满足比例关系的最大应力，称比例极限（

P）。点E的应力E是发生弹性形变的最大应力，称弹性极限。当应力

>E时，发生塑性形变。

点C对应的应力为C，若把外力撤除，固体的应力与应变的关系沿OC变化，留下一定的剩余形变OO。

当应力达到点B对应的应力

B时，固体就断裂，

B称强度极限。BCEPσPσEσBoo′σε245-3-4刚体的角动量1

有些固体的弹性极限与强度极限十分接近，因而塑性形变很小，称为脆体；有些固体的弹性极限与强度极限相距较远，可以产生很大的塑性形变，称为可塑体。

实验发现，固体发生塑性形变后的硬度增大了，若再要使它发生塑性形变，需要的外力比先前要大。称为加工硬化。二、固体的弹性形变(Elasticdeformation)弹性形变有多种，最简单的是长变和剪切。长变固体在外力作用下沿纵向拉伸或压缩。

255-3-4刚体的角动量1设有一均匀棒，如图所示。

拉力规定为正力，形变L也是正的，固体被拉伸，如图(a)。

压力规定为负力，形变L也是负的，固体被压缩，如图(b)。

在长变的情况下，固体的拉伸应变n为

固体受到力Fn发生长变，在任一横截面上出现的应力

n为LL+LFnFn(a)L+LFnFn(b)265-3-4刚体的角动量1

根据胡克定律，在比例极限内，

n与

n间存在线性关系

n

=Y

n

比例系数Y称为材料的长变弹性模量，或杨氏模量，它决定于固体材料自身的性质。

剪切当固体受到大小相等、方向相反、相距很近的两个平行力作用时，在两力间的固体各横截面将沿外力方向发生相对错动。物体错动的角度称为剪切角

，如图所示。FtFt）A′B′SψABCD275-3-4刚体的角动量1固体的剪应变

t为当很小时，近似有

t=

根据胡克定律，应有

t=G

t

比例系数G称为固体材料的剪切模量，简称剪模量。若横截面的面积为S，则剪应力

由于外力

与作用面是平行的，故固体横截面上产生的应力都与该截面相切，因而称为剪应力，如图所示。ψψ））σtσtFtFtSFtFt）A′B′SψABCD285-3-4刚体的角动量1思考题：外力、内力和应力，这三个力的区别与联系。对于一定物体，外界物体对它的作用力就是外力;