二次函数与图形面积问题

知识储备：（1）将二次函数化为顶点式化顶点式为：y=-（x-1）2+2该二次函数图像开口

，图像有最

点，函数值有最

值。该函数图像的对称轴是

，顶点坐标是

，当x=

时，函数最大值是

；当x

时，y随x的增大而增大；当x

时，y随x的增大而减小；xyo2xyo（2）若-1≤x≤2，该函数当x=

，最小值是

,当x=

，最大值是

;y=-（x-1）2+2-12xyoy=-（x-1）2+2-212-7-212（3）若-2≤x≤0，该函数当x=

，最小值是

；当x=

，最大值是

，面积最大化的问题—实际问题与二次函数的应用1、将如下二次函数解析式转化成顶点式2、如图：利用两面互相垂直的墙面用长度为16米篱笆围成一个矩形，设矩形一边长为x米，则另一边为

米；矩形的面积S=

；当x=

时该矩形的面积最大，为

平方米。预习检测(每空一分)x

学习目标

1、能从与几何图形面积的实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系；

2、能利用二次函数的图象和性质求出面积的最值；

3、培养分析问题、解决问题的能力。用总长为60米长的篱笆围成一个矩形（如下图）设矩形一边长为X米，另一边用含X的式子表示：XXXX60-X60-2XX60-3X2、用总长为60米的篱笆围成矩形场地（1）设矩形的一边长为x米时，则另一边长为

；草坪的面积为S平方米则S与x的函数关系为

；（2）自变量x的取值范围为

；（3）配成顶点式为

顶点坐标为

；因为

，图像开口

，函数图像有最

点，当x=

时，函数最大值S=

。组内交流课本P49——50（备展）活动提纲：X1、一般地，抛物线的顶点是最低（高）点，也就是说，当x=

时，函数有最小（大）值

。向上高

为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.变式一

为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图4）.若设绿化带的CD边长为xm，绿化带的面积为ym².(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？变式一解:(1)当CD=xm时，则BC=(40-2x)m∴y=x(40-2x)=-2(x-10)²+200

(2)当x=10时满足7.5≤X＜20∴当x=10时y有最大值200

即此时绿化带面积最大。

XX∵0＜BC≤25,∴0＜

40-2x≤25

又x＞0∴7.5≤X＜20

为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长16m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图4）.若设绿化带的CD边长为xm，绿化带的面积为ym².(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？变式二解:(1)当CD=xm时，则BC=(40-2x)m∴y=x(40-2x)=-2(x-10)²+200

x的取值范围是12≤x＜

20

xyO510-5200150250100501520x=12Y=192●方法一：根据函数的图像我们可以知道，当x=12时y最大，最大值为192。方法二：∵10＜

12≤x＜

20

∴y随x的增大而减小∴当x=12时y最大，最大值为192。○如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。ABCD变式三如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。ABCD解：(1)∵AB为x米、篱笆长为24米∴花圃宽为（24－4x）米

(3)∵墙的可用长度为8米

(2)当x＝时，S最大值＝＝36（平方米）∴S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0<x<6）∴0<24－4x≤84≤x<6∴当x＝4m时，S最大值＝32平方米学海反思：

1.对于矩形面积最值问题应该设图形一边长为自变量，所求面积为函数建立二次函数的模型，利用二

次函数有关知识求得最值，要注意自变量的取值范围。

2.用函数知识求解实际问题，需要把实际问题转化为数学问题再建立函数模型求解，解要符合实际题意，要注意数与形结合。

课堂小结：

当堂检测：《全品》P47第3、8题变式四某农场主计划建一个养鸡场，为节约材料，鸡场一边靠着一堵墙(墙足够长)，另三边用