2022-2023学年高一数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练专题02含解析

Page1第2讲高一学科素养能力竞赛不等式专题训练【题型目录】模块一：均值不等式模块二：柯西不等式模块三：权方和不等式模块四：培优试题精选模块五：全国高中数学联赛试题精选【典例例题】模块一：均值不等式1、高中阶段涉及的几个平均数：设（1）调和平均数：（2）几何平均数：（3）代数平均数：（4）平方平均数：2、均值不等式：，等号成立的条件均为：特别的，当时，即基本不等式3、基本不等式的几个变形：（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围【例1】，，且，不等式恒成立，则的范围为_______.【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时，取等号，因为不等式恒成立，所以小于等于最小值，所以【例2】若，，则的最小值为__________．【答案】【解析】因为，所以，所以，所以当且仅当，等号成立.【例3】若是正实数，且，则的最小值为．【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，等号成立.【例4】设，，则的最小值是．【答案】【解析】因为，所以，当时，，当当时，【例5】已知正实数x，y满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】C【解析】【分析】依题意可得，则，再由乘“1”法及基本不等式计算可得；【详解】解：由，且，可得，所以，当且仅当，即，时取等号．故选：C【例6】若实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】对已知条件和要求最值的代数式恒等变形之后应用均值不等式即可求解【详解】因为，，所以，又所以当且仅当即，时，取等号所以故选：A【例7】已知，且，则的最小值是(

)A．49 B．50 C．51 D．52【答案】B【解析】【分析】将中分子1替换为a+b，将中分子8替换为8(a+b)，化简即可利用基本不等式求该式子的最小值．【详解】由已知，得，当且仅当，即，时等号成立．因此，的最小值是50．故选：B．【例8】设，，，则的最小值为______．【答案】.【解析】【分析】两次运用“1”进行整体代换，结合基本不等式，即可得结果.【详解】因为，所以当且仅当时，等号成立，即的最小值为，故答案为：.【例9】已知，，且，则的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】由题得，再利用基本不等式求出的最小值即得解.【详解】解：由题得，所以.(当且仅当时取等)因为，所以的最小值为4.故答案为：4【例10】若，且，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用给定条件确定，变形并借助均值不等式求解即得.【详解】因，且，则，即有，同理，由得：，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：D【例11】设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用可得，根据基本不等式最值成立的条件可得，代入可得关于的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数，，满足，．，当且仅当时取等号，此时．，当且仅当时取等号，即的最大值是1．故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.【例12】已知，，，则取到最小值为________．【答案】．【解析】【详解】试题分析：令，∴，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．考点：基本不等式求最值．【思路点睛】用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．【例13】对任意x，y，，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．模块二：柯西不等式（1）二维形式的柯西不等式若都是实数，则，当且仅当时，等号成立.（2）已知都是实数，则：（3）已知同号且不为0，则：【例1】（柯西不等式）实数x、y满足，则的最小值是（）A． B． C．3 D．4【答案】A【解析】实数x、y满足，，，，当且仅当时取等号，的最小值是.故选：A.【例2】若实数，则的最小值为（）A．14 B． C．29 D．【答案】B【解析】根据柯西不等式：，即，当且仅当，，时等号成立.故选：B.【例3】已知：，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用柯西不等式，可得,解不等式即可.【详解】解:利用柯西不等式，得,，解得.故选:B【点睛】本题是一道求代数式取值范围的题目，关键是掌握柯西不等式.【例4】已知a，，，则的最大值为（）A．18 B．9 C． D．【答案】C【分析】利用柯西不等式，即可求出的最大值.【详解】由题意，，当且仅当时等号成立，当，时，故的最大值为.故选：C.【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题.【例5】若实数，则的最小值为（）A．14 B． C．29 D．【答案】B【分析】直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式：，即，当且仅当，，时等号成立.故选：B.【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.【例6】“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将代入二维形式的柯西不等式的公式中，进行化简即可得到答案。【详解】由柯西不等式可知：所以，当且仅当即x＝时取等号，故函数的最大值及取得最大值时的值分别为，故选：A．【点睛】本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题。【例7】已知，，且，则的最小值是______.【答案】【分析】凑配，进而根据柯西不等式结合已知求解即可.【详解】解：根据柯西不等式得：，，当且仅当时，上述两不等式取等号，所以，因为，所以当且仅当时，等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值问题，解题的关键在于根据已知条件凑配使得，再根据柯西不等式求解，考查运算求解能力，是中档题.【例8】已知，，均为非负数，且，则的最小值为______．【答案】2【分析】根据题意得到，再由柯西不等式，即可求出结果.【详解】因为，，均为非负数，且，则，所以由柯西不等式可得：，所以；当且仅当，即，由解得：，即时，等号成立.故答案为：2.【点睛】本题主要考查由柯西不等式求最值，熟记柯西不等式即可，属于常考题型.模块三：权方和不等式二元：已知，则有：（当且仅当时，等号成立）.一般形式：设()，实数，则，其中等号当且仅当时成立.称之为权方和不等式.【例1】已知，且满足，则的最小值为________．【答案】【分析】由知：，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】（取等条件略）.【例2】已知，，则的最小值为.【答案】【分析】由知：，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】（等号成立条件，略，下同）.【例3】已知x＞0，y＞0，且则的最小值是．【答案】【解析】当，即时，等号成立．【例4】已知，则的最小值为.【答案】【解析】当且仅当时,等号成立.【例5】已知正实数x，y满足x+y＝xy，则的最小值是．【答案】15【解析】x+y＝xy可化为，模块四：培优精选试题【例1】已知实数，满足，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角换元，设，再化简，再换元根据基本不等式求解最值即可【详解】因为，利用三角换元可设，且.则，设，则，当且仅当，即时取等号.故选：A【例2】已知，且，则下列不等式不正确的（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】因为，，可求出，可判断A；由，可判断B；举反例可判断C；由得，所以可得，可判断D.【详解】因为，，当且仅当时等号成立，所以，A正确；由得，，同理，，当且仅当，即时等号成立，B正确；满足题意，但，C错；由得，所以，当且仅当即时等号成立，所以．D正确．故选：C【例3】已知正实数，满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．【答案】B【分析】将已知的式子，然后判断函数，，的单调性，从而可得，即，再利用基本不等式可求得结果【详解】因为，所以．设，，易知在上单调递增，故，即，又，，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为2．故选：B．【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知等式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得，再利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题【例4】已知正数，满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用双换元法化简后，根据基本不等式计算【详解】，令，，则，，，当且仅当，即，时，等号成立，故有最小值．故选：B【例5】若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.所以，即实数a的最小值为.故选：D.【例6】若a，，，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】，当且仅当时，等号成立；又，当且仅当时，即，等号成立；，解得，，所以的最大值为故选：A【例7】已知，，下列命题中正确的是（

）A．“”的最小值为B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BD【分析】求得最小值排除选项A；求得最小值选B；求得最小值排除选项C；求得最小值选D.【详解】选项A：，则令，则在上为增函数，则故，则最小值为.判断错误；选项B：由，，可得，则（当且仅当时等号成立），解之得.判断正确；选项C：，，，（当且仅当时等号成立），则.判断错误；选项D：由，可得，则，又，，则则（当且仅当时等号成立），故有.判断正确.故选：BD【例8】已知，是正实数，则下列选项正确的是（

）A．若，则有最小值2B．若，则有最大值5C．若，则有最大值D．有最小值【答案】AC【分析】将已知转化，再利用基本不等式可判断ABC选项；利用特值法判断选项D。【详解】对于A，，，，，当且仅当，即时取等号，则有最小值2，故A正确；对于B，，，，，当且仅当，即时取等号，则有最大值4，故B错误；对于C，，，，，当且仅当，即时取等号，则则有最大值，故C正确；对于D，当时，，故D错误；故选：AC【例9】已知，且，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为【答案】BC【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得的最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D；【详解】，且，，对于A，利用基本不等式得，化简得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；对于B，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；对于D，利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，，，故D错误；故选：BC【例10】已知，均为正实数，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】ACD【分析】对A，利用基本不等式即可解得；对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案；对D，将原式变化为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案.【详解】因为，均为正实数，且，对A,，当且仅当时取“=”，正确；对B，，当且仅当时取“=”，错误；对C，，当且仅当时取“=”，正确；对D，，设，则上式，当且仅当时取“=”，正确；故选：ACD.【例11】已知正数满足，则的最大值是___________.【答案】【分析】设，表达出，结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式求解即可.【详解】设，则，所以，当且仅当时取等号.所以，解得，即的最大值，当且仅当，即，时取等号.故答案为：【例12】若实数m，n满足，则的最小值是___________.【答案】##【分析】通过换元使变量系数相同，巧用“1”的代换结合基本不等式即可求解.【详解】解析：令，则，因为，所以.从而，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.【例13】已知正数满足，，则的最小值为__________.【答案】##【分析】把给定条件两边平方，代入结论构造基本不等式，再分析计算，并求出最小值作答.【详解】由，得，，则，，当且仅当时取“=”，所以当时，的最小值为.故答案为：【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.【例14】已知，则的最大值为________．【答案】##【分析】根据题意得，设，所以，所以，求出的范围，所以，分析求最值即可.【详解】，所以，设，代入，则有，看成关于的一元二次方程，若方存在，则关于的一元二次方程必须有解，所以判别式或，所以或又函数在上单调递增，所以当且仅当时取得等号，此时，.故答案为：．【点睛】求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．【例15】已知实数，则的最小值为_________．【答案】【分析】依题意可得，利用基本不等式及与的关系计算可得；【详解】解：因为，所以因为，所以，所以原式，当且仅当时取等号．故答案为：【例16】设，则最小值为_____