2023届泉州市第三次质检数学试题含答案

、保密★使用前J

泉州市2023届高中毕业班质量监测(三)

2023.03

高三数学

本试卷共22题，满分150分，共8页。考械用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内

作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号：

非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔,书写，字体工空、笔迹清楚。

4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.己知集合4={x|-5<x<2},8={x||x|<3},则4UB=

A.(-oo,2)B.(-oo,3)C.(-3,2)D.(-5,3)

2.已知复数z满足(l-i)z=4i,则zS=

A.—8B.0C.8D.8i

3.已知sina—0cosa=O,则cos2a=

A.--B.0C.-D.

333

4.某运动员每次射击击中目标的概率均相等，若三次射击中，至少有一次击中目标的概率为

竺，则射击一次，击中目标的概率为

64

711

C-

A.8-B.4-D.8

高三数学试题第1页(共8页)

5.已知抛物线C的焦点为“，准线为/,点/在。上，点3在/上.若|万＞1^1=4,

万•（而+法）=0,则尸到/的距岗等「

A.1B.2C.3D.4

6.定义在R上的偶函数/（x）满足/（2-x）+/（x）=O,且当xw[O,l）时，=则曲

Q0

线y=/（.、）在点处的切线方程为

44

A.4x-4），+ll=0B.4x+4y+ll=0

C.4x-4y+7=0D.4x+41y+7=0

7.图1中，正方体NBCD-EFG〃的每条棱与正八面体MP驯N（八个面均为正三角形）的

一条棱垂直且互相平分.将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体,

该十二面体能独立密铺三维空间.若48=1,则点M到直线RG的距离等于

8.已知平面向量a,b,c满足同=1,bc=0ab=\,ac=-l,则|b+c|的最小值为

A.1B.&C,2D.4

高三数学试题第2页（共8页）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.己知48为圆C:.d+j，2=4的直径，直线/：)，=h+1与V轴交于点则

A./与C恒有公共点B.A/18M是钝角三角形

C.ZUBM的面积的最大值为1D./被C截得的弦的长度的最小值为2月

10.已知函数/(x)=sinxcosx,g(x)=sinx+cosx,则

A./(x)与g(x)均在(0止)单调递增

4

B./(x)的图象可由g(x)的图象平移得到

C./(力图象的对称轴均为g(x)图象的对称轴

D.函数歹=/(x)+g(x)的最大值为』+垃

2

11.在长方体中，AB=AD=2,AAX=\,点尸,0在底面44GA内，直线

4尸与该长方体的每一条棱所成的角都相等，且⑷3_LCQ,则

A.AP=41

B.点。的轨迹长度为&

C.三棱锥408的体积为定值

D.力尸与该长方体的每个面所成的角都相等

12.某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，

且每次只能随机选择一个开启.已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为2,从第二

7

次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为工，若前一次抽中奖品.则

2

这次抽中的概率为;.记玩家第〃次抽盲盒，抽中奖品的概率为？，则

A.巴唠1QB.数列化-a3为等比数列

19

C.Pn^—D.当〃22时，〃越大，月越小

高三数学试题第3页(共8页)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设随机变量X~N(72,〃)，若P(70<X<73)=03,则P(71<X<74)=•

23456

14.已知(x+mF=a。+qx+a2x+a3x+aAx+a5x+a6x,且%+“6=1，则，=

15.已知函数/«=|/-1|一如有两个零点，则实数a的取值范用为,

16.已知双曲线C：J$=l(a>0/>0)的左、右焦点分别为％&，C的渐近线与圆

》2+产=。2在第一象限的交点为“，线段”与C交于点N,。为坐标原点.若

MF'/ON,则C的离心率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，

17.(10分)

在△/IBC中，角4£C所对的边分别为G,b,c,(a+c)sin/=sinN+sinC,

c2+c=b2—1.

(1)求8；

(2)已知。为ZC的中点，BD=—,求A48C的面积.

2

高三数学试题第4页(共8页)

18.（12分）

已知｛%｝为等差数列，且。川=2/-2〃+3.

（1）求｛q｝的首项和公差；

]u=2k-2,60

（2）数列｛"｝满足"=（。广％+|'-'其中•，求

3k7Wn&3k,'='

19.（12分）

如图，三棱台ZBC-44G中，AB=BC=2B\G=2,。是ZC的中点，E是棱BC上

的动点.

（1）试确定点E的位置，使44〃平面0EG；

（2）已知/BlBG，CC），平面4BC.设直线与平面DEG所成的角为。，试在（1）

的条件下，求COS。的最小值.

高三数学试题第5页（共8页）

20.（12分）

港珠澳大桥海底隧道是当今世界上埋深城大、综合技术难度城商的沉管隧道，建设过程

中突破了许多世界级难题，其建成标志着我国在隧道建设领域已达到世界领先水平.在开挖

隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则窗及时调枝支

护参数.某施工队对正在施工的隧道工程进行下沉用监控地测工作，通过对监控加测结果进

行回归分析，建立前，天隧道拱顶的累加总下沉址z（单位：意米）与时间/（单位：天）的

回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数.已知该隧道拱顶下沉的实测数据如下

表所示：

t1234567

Z0.010.040.140.521.382.314.3

研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数z=Ae”进行拟合.令u=lnz,计算得:

777

z=1.24,£(^-7)(2,-1)=22.37,Z(z,-刃2=27.5；«=-1.2,-7)(%-丹=25.2,

仁I/«1

之（—）2=30.

（1）请判断是否可以用线性回归模型拟合”与，的关系；（通常|r|>0.75时，认为可以用

线性回归模型拟合变lit间的关系）

（2）试建立z与，的回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；

（3）已知当拱顶下沉速率超过9毫米/天，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险.若规定

每天下午6点为调整支护参数的时间，试估计最迟在第几天需调整支护参数，才能避免塌方.

名区-亍）0,一刃

附：①相关系数什;不/』“：

物（苟-见之（必一刃2

②回归直线步=4+八中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

.石5一三）8,一歹）

♦=旦~^-----------»a=y-iix；

£（巧-守

Ml

③参考数据：\/210«14.5,lnl0«2.30.

高三数学试题第6页（共8页）

21.（12分）

已知椭圆C:=+乙=1的左、右顶点分别为48.直线/与C相切，且与圆。：，+。=4

43

交于M,N两点，M在N的左侧.

（1）若|例=竽，求/的斜率；

（2）记直线4M,BN的斜率分别为%,证明：匕&为定值.

高三数学试题第7页（共8页）

22.(12分)

已知/(X)=-G(x-1)-XIn两个极值点xltx2,且占<*2.

(1)求a的范围I

(2)当0<a4】-ln2时，证明：a+1</(^)+/(^2)<L

高三数学试题第8页（共8页）

保密★使用前]

泉州市2023届高中毕业班质量监测(三)

2023.03

高三数学选择题参考解答

一'选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知集合力={x|-5<x<2},5={x||x|<3},则/UB=

A.(-oo,2)B.(-oo,3)C.(-3,2)D.(-5,3)

【命题意图】本小题考查集合的运算，不等式等基础知识；考查运算求解等能力；考查化归

与转化等思想；体现基础性，导向对数学运算等素养的关注.

【试题解析】由已知,得8={x||x|<3}={x|—3<x<3},则2113=(-5,3).

故选D.

2.已知复数z满足(l—i)z=4i,则zG=

A.-8B.0C.8D.8i

【命题意图】本小题主要考查复数的运算及其复数的模等基础知识：考查运算求解等能力；

考查化归与转化等思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注.

【试题解析】

解法一：因为(l-i)z=4i,所以(l-i)(l+i)z=4i(l+i),即2z=-4+4i,所以z=—2+2i,

所以zG=(-2+2i)(—2—2i)=8.故选C.

解法二由(l—i)z=4i,可得|1一电|=囹，故|z|=2五,zS=|z『=8.故选C.

3.已知sina-J5cos。=0,则cos2a=

I]/y

A.——B.0C.-D.—

333

【命题意图】本小题主要考查同角三角函数关系，二倍角等基础知识；考查运算求解等能力；

高三数学试题第1页(共8页)

考查化归与转化等思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注.

【试题解析】由sina-夜cosa=0,可知tana=8，

c2.cos%-sin2a1-tan2a1

cos2a=cos-a—snr2a=——---——=---------=——.

cos-a+sin-a1+tana3

故选A.

4.某运动员每次射击击中目标的概率均相等，若三次射击中，至少有一次击中目标的概率为

竺，则射击一次，击中目标的概率为

64

A.ZB.2C.1D.-

8448

【命题意图】本小题考查事件的概率，相互独立事件等基础知识；考查抽象概括，运算求解

等能力：考查化归与转化等思想；体现基础性，导向对数学抽象，数学运算等

核心素养的关注.

【试题解析】设该运动员射击一次，击中目标的概率为"，

则该运动员三次射击均不击中目标的概率q=(l-p)3,

则三次射击中，至少有一次击中的概率尸=1一兄=1-(1一p)3=H,

3

计算可得p=j，

故选B.

5.已知抛物线C的焦点为尸，准线为/,点4在C上，点8在/上.若|万而|=4,

AF-(.JF+BA)=0,则/至I"的距离等于

A.1B.2C.3D.4

【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义，向量的基本运算及其几何意义等基础知识；考

查推理论证等能力；考查数形结合，化归与转化等思想；体现基础性，综合性,

导向对直观想象，逻辑推理等核心素养的关注.

【试题解析】取"的中点连结5M.过户作FE_L/于点E,

高三数学试题第2页(共8页)

则而+瓦5=2而，

又因为N•（而+丽）=0,所以工厂JLBM,

所以|比1|=|8可.

依题意M用=1加'I，所以^为等边三角形.

由抛物线的定义，得,所以4B〃EF.

所以田3=乙面=60。，所以尸|=2.

即F至h的距离为2.

故选B.

6.定义在R上的偶函数/（幻满足"2-x）+/（x）=0,且当xe[O,l）0寸，八x）=«-l,则曲

99

线V=/（x）在点（-1/（-[））处的切线方程为

44

A.4x-4^+ll=0B.4x4-4y+11=0

C.4x-4y+7=0D.4x+4y+7=0

【命题意图】本小题主要考查函数的基本性质与导数的几何意义等基础知识；考查运算求解,

推理论证能力等；考查数形结合思想，化归与转化思想等；体现基础性，综合性,

导向对直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注.

【试题解析】由/（2—x）+/（x）=0,得/（x）的图象关于点（1,0）对称，

又/（X）为偶函数，故其图象关于y轴对称，

则/（2-x）=-f（x）=,可得f（x+4）=/（x）,

故/（X）的周期为4.则/（一t）=/（；）=—/（；）=；，

又由图象对称性，可得/'（—*=/'《）=/'（；）=1,

QQ1Q

故曲线歹=/（X）在（-Z,/（一3））处的切线方程为y一上=X+二,

4424

高三数学试题第3页（共8页）

化简得4x—4y+11=0.故选A.

7.图1中，正方体的每条棱与正八面体MPQRSW（八个面均为正三角形）的

一条棱垂直且互相平分.将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体,

该十二面体能独立密铺三维空间.若4B=1,则点〃到直线RG的距离等于

【命题意图】本小题主要考查基本立体图形，空间中点、线、面的位置关系与度量关系等基

础知识；考查空间想象，抽象概括，推理论证，运算求解等能力；考查化归与

转化等思想；体现基础性，应用性，导向对直观想象，数学抽象，逻辑推理，

数学运算等核心素养的关注.

【试题解析】

解法一：如解析图1,设与M尸交于点K,秋与G4交于点7,连结KT.

依题意，由图形特征，在正八面体MPQRSN中，MP=PN=NR=RM，

由对称性可知=所以四边形M/WR是正方形，则MRJ.RN,

又MRLCD,CD〃GH,所以MRLGH,

RNCGH=T,所以MR,平面&GM7,所以MRLAG.

由已知四边形MK77?是矩形，所以MR=KT=e，

所以M到直线RG的距离为历.

高三数学试题第4页（共8页）

故选A.

解析图1

解法二：如解析图2,设48与〃尸交于点K,RN与GH交于点、T,连结KT,

RG,MT,MG.

依题意，由图形特征，在正八面体AfPQRSN中，MP=PN=NR=RM>

由对称性可知MN=PR,所以四边形MPNR是正方形，则MR_LRV,

四边形MK77?是矩形，所以MR=KT=6；

在RtARTG中，RT=^-,TG=-,所以RG=@；

222

由已知，显然Ga_L平面尸A〃W,所以GT_LA/T,

则在RtZ\M7G中，MT=—,TG=~,所以m7=姮；

222

贝!]RG2+MR2=MG1,所以上饮工RG.

所以"到直线AG的距离为④.

故选A.

解析图2

高三数学试题第5页（共8页）

解法三：如解析图3,设与交于点K,RN与G”交于点7,连结KT.

依题意，由图形特征，在正八面体MPQRSN中，MP=PN=NR=RM，

由对称性可知朋N=PR,所以四边形MPNR是正方形，所以MN工PR；

同理：四边形尸0RS是正方形，QS工PR；

四边形MQVS是正方形，QSLMN；

以正八面体中心。为坐标原点，。。,。尺,0用所在直线为x轴，y轴，z轴，建

立空间直角坐标系.

A/(0,0,1),及(0,1,0),,赢=(0,1,-1),而=

则疏•林=0，则A/到直线RG的距离为MR,MR=6.

故选A.

解析图3

8.已知平面向量。也c满足同=1,bc=0,a-b=l,ac=-\,贝1］弧+4的最小值为

A.1B.72C.2D.4

【命题意图】本小题主要考查向量的模、数量积等基础知识；考查运算求解等能力；考查数

形结合，化归与转化等思想；体现基础性，综合性与创新性；导向对直观想象,

逻辑推理，数学运算等核心素养的关注.

【试题解析】

解法一：设a=OA>h=OB>c=OC>OD=—OA-

因为a-Z>=l,ac--\,hc-0,

高三数学试题第6页(共8页)

所以由向量数量积的几何意义，可得DC1D0,OB1OC,如图.

因为|8+4=|6_《=|砺一反卜|而|,

|在|为夹在两平行直线N5与8间的线段长，、〜X

所以当8CJ.时，|而|取到最小值2•,"J

故M+c|的最小值为2.

故选C.

解法二：在直角坐标系xOy中，设a=（1,0）,Z>=（X］，M）,c^（x2,y2）.

因为4•/>=1,ac=-l,b-c=0,

所以再=1,x,=-1,x,x2+yty2=0,即为%=1.

所以M+c|=+.『+（必+/）?=+%2+22,2必y2+2=2,

当且仅当必=%=1或%=%=T时，等号成立.

故|b+c|的最小值为2.

故选C.

解法三：设“与力的夹角为a（0<a<］）,“与c的夹角为夕（•|<月<兀）.

7T

因为方4=。，ac=-l<0,所以p一二=5.

因为〃•〃=：!,ac=-\,同=1，

所以同cosa=l,|c|cosP=T,所以

I~i1-1、2r

=I—।------—=--------》—-------—=2■.

Vcos2asin2asinacosasin2a+cos2a

当且仅当a=；时，等号成立.故B+c|的最小值为2.

故选C.

解法四：由于b-c=0,可得B+c|=〃2

由〃方=1,ac=-l,可得。S-0=2=|b—c|xcos<q,〃—c>

高三数学试题第7页（共8页）

所以S一小

当且仅当<4,b-c>=0,且要满足条件Zrc=O时等号成立

所以他+c卜B—c|N2故B+c|的最小值为2.

故选C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.已知48为圆C:f+y2=4的直径，直线/:歹=丘+1与>轴交于点则

A./与C恒有公共点B.△18〃是钝角三角形

C.的面积的最大值为1D./被C截得的弦的长度的最小值为2百

【命题意图】本小题主要考查直线与圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识；考查推理

论证，运算求解等能力；考查函数与方程、数形结合等思想；体现基础性、综

合性、应用性，导向对发展直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注.

【试题解析】由题意可得

对于A选项，因为A/(O,l)在C内，所以/与C恒有公共点，故A正确；

对于B选项，因为M(0,1)在C内，所以N/M8>90°,故B正确：

对于C选项，当时，=；x4xl=2,故C错误；

对于D选项，因为C到/的距离dW|C"|=l，

所以/被C截得的弦长为254-核》2G,当d=l时，等号成立，故D正确.

故选ABD.

10.已知函数/(x)=sinxcosx,g(x)=sinx+cosx,则

A./(x)与g(x)均在(0「)单调递增

4

B./(x)的图象可由g(x)的图象平移得到

C./(x)图象的对称轴均为g(x)图象的对称轴

高三数学试题第8页(共8页)

D.函数y=/(x)+g(x)的最大值为■+收

【命题意图】本小题主要考查三角函数图象及性质、三角恒等变换等基础知识；考查推理论

证，运算求解等能力；考查数形结合，化归与转化等思想；体现基础性、综合

性，导向对数学运算、直观想象等核心素养的关注.

【试题解析】/(x)=sinxcosx=；sin2x,g(x)=sinx+cosx=V^sin(x+；).

jrrr

对于A选项，由2左兀——<2x<2kn+—,左£Z,

22

TTTT

可得f(x)的单调增区间为(而一丑兀+力,丘Z；

,.71兀271,_

由2攵兀—<xH—<2KTIH—£Z,

242

37171

可得g(x)的单调增区间为(2左兀一彳,左兀+彳),左eZ.

IT

故〃X)与g(x)均在。R单调递增’故A正确；

对于B选项，/(x)与g(x)的周期及最值均不相同，故/(x)的图象无法由g(x)

的图象平移得到，故B错误；

冗KTCJT

对于C选项，由2x=左兀+万,左eZ,可得/(X)的对称轴为x=5-+w，左ez；

JI

由=左兀+5,左£Z,可得g(x)的对称轴为X=左兀+EZ,

因而了(X)图象的对称轴不全是g(x)图象的对称轴，故C错误；

对于D选项，y=/(x)+g(x)=sinxcosx+sinx+cosx,

令，=sinx+cosx=y/2sin(x+—),贝心£[-V2,V2],

4

高三数学试题第9页(共8页)

1,11,

则_)/=sinxcosx+sinx+cosx=]f+Z--=—(Z+l)--1,

/=0时，—皿=；+3，故D正确.

故选AD.

11.在长方体/8C£)-48IGA中，AB=AD=2,44]=1,点P,0在底面481Goi内，直线

/尸与该长方体的每一条棱所成的角都相等，且"_LC0,则

A.AP=y/2

B.点。的轨迹长度为加

C.三棱锥。-408的体积为定值

D./尸与该长方体的福个面所成的角都相等

【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，空间几何体的体积等基

础知识：考查推理论证，空间想象，运算求解等能力；考查数形结合，化归与

转化等思想；体现基础性、综合性，导向对数学运算，直观想象，逻辑推理等

核心素养的关注.

【试题解析】如图，将长方体/8CO-4AG。补成正方体NBCO-&B2G3，连结

B2D2,B2C,CD2,AC2,星C交于点M,CD2交C\D]于点N,

因为直线ZG与正方体NBC。-482G2的每一条棱所成的角都相等，所以

/G与底面44GA的交点即为点P-

对于A选项，AP=-AC=43,故A错误;

22

高三数学试题第10页(共8页)

对于B选项，因为AC?1CB2,AC21CD2，且CB2DC。？=。，

所以/C2_L平面CD2B2,即ZP1平面CMN,

因为ZPJ_CQ,所以C0u平面CMN,即Qe平面CMN,又Qe平面451GR,

所以Qe平面CMNPI平面4402=MN,所以点0的轨迹为线段MN,

所以线段MM=加，故B正确；

对于C选项，记。到面4曲的距离为仙VD-AQB=%-ABD=；SMBD-h，

因为MN//BD,所以点。到面的距离是定值，

又△48。的面积是定值，所以三棱锥。-4。8的体积为定值，故C正确；

对于D选项，AP与长方体的每一个面所成的角即为Ze?与正方体每一个面所

成的角；易知/C?与正方体每一个面所成的角相等，所以ZP与长方体的每一个

面所成角也都相等，故D正确；

故选BCD.

12.某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，

且每次只能随机选择一个开启.已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为士，从第二

7

次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为」，若前一次抽中奖品，则

2

这次抽中的概率为g.记玩家第〃次抽盲盒，抽中奖品的概率为勺，则

A.g吟B.数列代为等比数列

C.P„^—D.当"22时，〃越大，匕越小

【命题意图】本小题考查全概率公式，数列的递推关系，数列的通项公式等基础知识：考查

抽象概括，推理论证，运算求解等能力；考查化归与转化，函数与方程等思想；

体现应用性、创新性、综合性，导向对数学建模，数学抽象，逻辑推理，数学运

算等核心素养的关注.

高三数学试题第11页（共8页）

【试题解析】记玩家第i次抽盲盒并抽中奖品为事件4，

依题意，P、=3,尸⑷4”J=g，尸⑷4；)=；.

对于A选项，p(4)=尸(4/U彳4)=p(4)p(4⑷+P(7)尸⑷彳)

即巴=三，故A正确：

42

对于B选项，尸(4)=尸(4"u碎"卜尸(4-JP(4,乩-J+尸跖尸(4K7)•

1111313

因此々=三匕一|+3(1-乙一)，即月==&+▼所以=

3262/o/

231

又P产,即6_'=_'=0,

所以优-会3为首项为不2,公比为-L的等比数列，故B正确;

6

33

对于C选项，由化-卞为等比数列可得月

即+-|>

1I311319

当”为奇数时，P„+->因为j•菽T>。，所以甘,〈亍〈万，

/0//O/4，

11319

当H为偶数时，E,随着〃的增大而减小，则

故C正确;

对于D选项，P=(-1).(-1)«-'+1,因此，^>|>/>,故D错误.

故选ABC.

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设随机变量万一%(72,/),若尸(70<X<73)=0.3,则尸(71<X<74)=.

【命题意图】本小题考查正态分布等基础知识；考查运算求解等能力；考查数形结合，化归

与转化等思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注.

【试题解析】由正态分布密度曲线的对称性可知，

尸(70<X<73)=尸(70<XW72)+尸(72<X<73)

高三数学试题第12页(共8页)

=P(72WX<74)+尸(71<X<72)=/(71<X<74)=0.3，

故答案为0.3.

23456

14.已知(x+m)6=a0++a2x+a3x+a4x+a5x+a6x,Jia3+a6=1,贝!I附=.

【命题意图】本小题主要考查二项式定理等知识；考查运算求解等能力；考查函数与方程等

思想：体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注.

【试题解析】由已知，得的=。>/=20加\%=《.加"=1-

又4+“6=1，所以20m3+1=1>得〃?=0，

故答案为0.

15.己知函数/(x)=|e'-l|-ox有两个零点，则实数a的取值范围为.

【命题意图】本小题主要考查函数的基本性质，利用导数研究函数的性质等基础知识；考查

运算求解，推理论证等能力；考查数形结合，化归与转化等思想；体现基础性，

综合性，导向对直观想象，逻辑推理等核心素养的关注.

【试题解析】函数/(x)=|e*有两个零点，

等价于y=|e'-l|与y=ax的图象有两个不同

的交点.

如图，两个临界情况对应的直线的斜率分别为

尢=(1一1)'忆。=1，&=(l-e')'L=—l.结

合图象，y=|e"—1|与歹=依的图象要有两个不

同的交点，则直线歹="斜率

ae(-l,0)U(l,+oo)，

故答案为(―l,0)U(l,+«)).

16.已知双曲线C:=I(a>0,6>0)的左、右焦点分别为耳,耳，C的渐近线与圆

«2b2

x2+/=/在第一象限的交点为〃，线段加入与C交于点N,O为坐标原点.若

高三数学试题第13页(共8页)

MF、〃ON,则C的离心率为

【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义，直线与双曲线的位置关系等知识；考查运算求

解，推理论证等能力，空间想象等能力及创新意识；考查数形结合，函数与方

程等，函数与方程等思想；体现综合性与创新性，导向对直观想象，逻辑推理,

数学运算等核心素养的关注.

【试题解析】

解法一：依题意，可得1Mgi=6.

因为MF"ON,用=|。周，所以==

由双曲线的定义，^\NF]=2a+\NF2\,Bp|^|=2a+|.

在△g居中，由余弦定理，得cosN耳、岬一产1,即

2|百用|阿

2

b

2x2cx^

2

化简得,2b2=4c2-4a2-2ab，故a=6,所以离心率e=£=&.

a

解法二:依题意,设月(c,0).

由已知,可得"

因为崎〃CW,|。耳|=|。月|,所以N为朋的中点.

a2+c2ab、=1,得3+巧2懦

所以N,将点N的坐标代入

2c'2c=1，

442c24c2b2

c2=2a2,所以离心率e=£=亚,

a

故答案为加.

高三数学试题第14页（共8页）

保密★使用前］

泉州市2023届高中毕业班质量监测（三）

2023.03

高三数学试题解析

17.（10分）

在△Z8C中，角所对的边分别为a,仇c,（a+c）sinZ=sin4+sinC,c2+c=b2-l.

（1）求8；

（2）已知。为ZC的中点，BD=—,求ZX/BC的面积.

2

【命题意图】本题主要考查正、余弦定理、面积公式等基础知识：考查运算求解、推理论证

能力等；考查数形结合思想、化归与转化思想等.体现基础性和综合性，导向

对发展数学运算等核心素养的关注.

【试题解析】

解法一：（1）由正弦定理，

（a+c）sinJ=sinJ+sinC可等价转化为（a+c）o=a+c.................1分

因为a+cHO,故＜z=l..............................................2分

由余弦定理可得，cosB-2+a2i1...............................3分

2ac

，+I",、，,......................4分

2c2c2

因为8€（0,兀），故8=与..........................................5分

（2）依题意，BD=^（BA+BC）.得丽2=；廊+画2,...................6分

即而°=1（02+20.团+就2）,故3=_L（/+2ccos空+1），.........8分

4443

即/_”2=0，故（c-2）（c+l）=0,求得c=2.......................9分

故△N8C的面积S=，Z8-8Csin8=e.............................10分

22

解法二：（1）同