第四章导热基本定律及稳态导热讲义

第四章导热基本定律及稳态导热讲义第一页，共五十四页，编辑于2023年，星期五2一、温度场1.温度场：各时刻物体中各点温度分布称为温度场，它是时间和空间坐标的函数，记为：t—为温度;x,y,z—为空间坐标;t-时间

4-1导热的基本概念和定律第二页，共五十四页，编辑于2023年，星期五稳态温度场稳态导热（Steady-stateconduction）非稳态温度场非稳态导热（Transientconduction）三维稳态温度场：

一维稳态温度场:第三页，共五十四页，编辑于2023年，星期五42.等温面与等温线：等温面：温度场中同一瞬时温度相同各点连成的面。第四页，共五十四页，编辑于2023年，星期五5等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个等温线簇等温面与等温线的特点：(1)温度不同的等温面或等温线彼此不能相交(2)在连续的温度场中，等温面或等温线不会终止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止于物体的边界上(3)物体的温度通常用等温面或等温线表示。第五页，共五十四页，编辑于2023年，星期五6等温线图的物理意义：等温线的疏密可反映出不同区域导热热流密度的大小。如图所示是用等温线图表示温度场的实例。第六页，共五十四页，编辑于2023年，星期五7二、导热基本定律1、傅立叶定律定义：在导热现象中，单位时间内通过单位截面积的导热量正比于垂直于截面方向上的温度变化率，而热量传递的方向与温度升高的方向相反。数学表达式：负号表示热量传递的方向指向温度降低的方向第七页，共五十四页，编辑于2023年，星期五8（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）

傅里叶定律用热流密度表示：其中——热流密度(单位时间内通过单位面积的热流量)

——物体温度沿x轴方向的变化率第八页，共五十四页，编辑于2023年，星期五92.温度梯度（Temperaturegradient）是空间某点的温度梯度；

是通过该点等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向；是该处的热流密度矢量。

式中：第九页，共五十四页，编辑于2023年，星期五10热流线：热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。热流密度矢量与热流线的关系：相邻两个热流线之间所传递的热流密度矢量处处相等，构成一热流通道。

3、温度梯度与热流密度矢量的关系第十页，共五十四页，编辑于2023年，星期五11三、导热系数（Thermalconductivity）定义:导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位时间内通过单位面积的热量。w/(m·k)

导热系数:物性参数.导热系数的数值取决于物质种类与温度等因素。第十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期五12物质导热性能比较：保温材料：导热系数小的材料称为保温材料。国家标准：凡平均温度不高于350℃导热系数不大于0.12w/(m.k)的材料称为保温材料。第十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期五13同一种物质的导热系数也会因其状态参数的不同而改变，因而导热系数是温度和压力的函数。

一般把导热系数仅仅视为温度的函数，而且在一定温度范围还可以用一种线性关系来描述第十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期五144-2导热微分方程一维导热问题：根据傅立叶定律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。多维导热问题：首先获得温度场的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间各点的热流密度矢量。第十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期五15定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。

导热微分方程的数学表达式：

导热微分方程的推导，假定导热物体是各向同性的。

导热微分方程

理论基础：能量守恒定律与傅立叶定律

第十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期五16▲导热微分方程式通过空间任一点任一方向的热流量也可分解为x、y、z坐标方向的分热流量。第十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期五17▲导热微分方程式①通过x、y、z，三个微元表面而导入微元体的热流量：фx

、фy

、фz

的计算。根据傅立叶定律得

(a)第十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期五18▲导热微分方程式②通过x+dx、y+dy、z+dz三个微元表面而导出微元体的热流量фx+dx

、фy+dy

、фz+dz

的计算。根据傅立叶定律得：

(b)第十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期五19▲导热微分方程式③对于任一微元体根据能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热平衡关系：

导入微元体的总热流量

+微元体内热源的生成热

=导出微元体的总热流量

+微元体热力学能（内能）的增量

（C）第十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期五20▲导热微分方程式微元体热力学能的增量=微元体内热源的生成热=其中——

微元体的密度、比热容、单位时间内单位体积内热源的生成热及时间。第二十页，共五十四页，编辑于2023年，星期五21导入微元体的总热流量导出微元体的总热流量

▲导热微分方程式第二十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期五22将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。物理意义：物体的温度随时间和空间的变化关系。▲导热微分方程式第二十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期五231）对上式化简：

①导热系数为常数

式中，，称为热扩散率。②导热系数为常数、无内热源（傅里叶方程）

▲导热微分方程式第二十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期五24▲导热微分方程式③导热系数为常数、稳态（泊松方程）

④导热系数为常数、稳态、无内热源（拉普拉斯方程）

第二十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期五25▲导热微分方程式1）圆柱坐标系中的导热微分方程：

2）球坐标系中的导热微分方程：

第二十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期五26▲导热微分方程式说明：（1）导热问题仍然服从能量守恒定律；（2）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量（非稳态项）；（3）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体在单位时间内增加的能量(扩散项

)；（4）等号右边最后项是源项；（5）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。

第二十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期五27导热过程的单值性条件：对特定的导热过程：需要得到满足该过程的唯一解单值性条件：确定唯一解的附加说明条件单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界完整数学描述：导热微分方程

+单值性条件4-3初始条件和边界条件第二十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期五1、几何条件如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等说明导热体的几何形状和大小2、物理条件如：物性参数l、c和r

的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；是否各向同性说明导热体的物理特征3、时间条件稳态导热过程不需要时间条件

—

与时间无关说明在时间上导热过程进行的特点对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布时间条件又称为初始条件（Initialconditions）第二十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期五４、边界条件说明导热体边界上过程进行的特点反映过程与周围环境相互作用的条件边界条件一般可分为三类：第一类、第二类、第三类边界条件（Boundaryconditions）（1）规定了边界上的温度值，称为第一类边界条件。对于非稳态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：第二十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期五（2）规定了边界上的热流密度值，称为第二类边界条件。对于非稳态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：（3）规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数及周围流体的温度，称为第三类边界条件。第三类边界条件可表示为第三十页，共五十四页，编辑于2023年，星期五若物性参数l、c和r

均为常数：热扩散率

反映了导热过程中材料的导热能力（l

）与沿途物质储热能力（r

c）之间的关系

值大，即l

值大或r

c值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力4-4热扩散率：第三十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期五32一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和圆柱内的导热。一、单层平壁的导热几何条件：单层平板；

物理条件：、c、常数；无内热源

时间条件：稳态导热

边界条件：第一类ot1tt24-5一维稳态导热第三十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期五33xot1tt2直接积分，得：根据上面的条件可得：第一类边条件：带入边界条件线性关系第三十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期五34热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况带入Fourier定律第三十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期五35二、多层平壁的导热t1t2t3t4t1t2t3t4三层平壁的稳态导热多层平壁：由几层不同材料组成第一类边界条件：热阻：第三十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期五36由热阻分析法第一层：第二层：第i层：第三十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期五37单位：tf1t2t3tf2t1t2t3t2三层平壁的稳态导热h1h2多层、第三类边界条件第三十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期五38

通过多层平壁的导热第三十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期五39三、单层圆筒壁的导热圆柱坐标系：假设单管长度为l，圆筒壁的外半径小于长度的1/10一维、稳态、无内热源、常物性：(a)第一类边界条件第三十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期五40对方程(a)积分两次:温度呈对数曲线分布第四十页，共五十四页，编辑于2023年，星期五41圆筒壁内温度分布：第四十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期五42圆筒壁内部的热流密度和热流分布:虽然此时为稳态情况，但热流密度q

与半径r成反比！长度为l的圆筒壁的导热热阻第四十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期五43四、n层圆筒壁由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算第四十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期五44单层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热h1h2

通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻

[mK/W]第四十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期五45

通过多层圆筒壁的导热第四十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期五46对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此时，一维Fourier定律：五、其它变面积或变导热系数问题求解导热问题的主要途径分两步：求解导热微分方程，获得温度场根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量第四十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期五47当随温度呈线性分布时，即则分离变量后积分，当时，第四十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期五481通过等截面直肋的导热l已知：矩形直肋肋跟温度为t0，且t0>t¥肋片与环境的表面传热系数为h.l，h和Ac均保持不变(Ac-截面积)求：温度场t

和热流量F六、通过肋片的导热第四十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期五分析：严格地说，肋片中的温度场是三维、稳态、无内热源、常物性、第三类边条的导热问题。但由于三维问题比较复杂，故此，在忽略次要因素的基础上，将问题简化为一维问题。简化：a宽度l

>>d

且肋片宽度方向温