2023年高考数学一轮复习（艺考）第03讲二项式定理高频考点（解析版）

第03讲二项式定理（精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典型例题剖析

题型一：二项展开式的通项及其应用

角度1：求二项展开式的特定项（或系数）

角度2：两个二项式之积中特定项（或系数）问题

角度3：三项展开式中特定项（或系数）问题

题型二：二项式系数与各项的系数和问题

题型三：项式系数的性质

角度1：二项式系数最大问题

角度2：系数最大问题

第一部分：知识点精准记忆

知识点一：二项式定理

（1）二项式定理

一般地，对于每个左（々=0,1,2门.〃），（。+与”的展开式中废一%人共有0个，将它们合并同类项，

22rn

就可以得到二项展开式：（a+b）"=C：a"b°+C'na'-'b'+C；,a'-b+…+Cna-b'+…+（〃eN*）.

这个公式叫做二项式定理.

（2）二项展开式

公式中：（«+b）n=C°anb°+C\an-'b'+C^a"-2b2+…+£/"+•••+C：a°b",neN*等号右边的

多项式叫做+bY的二项展开式.

（3）二项式系数与项的系数

二项展开式中各项的二项式系数为C,："=0,1,2,…〃），项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符

号等.

（4）二项展开式的通项

二项展开式中的"（攵=0,1,2,…〃）叫做二项展开式的通项，用，+1表示,即通项为展开式的第

Z+1项：Tk+t=CM"-%、通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它

在求展开式的某些特定项（如含指定基的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有

着广泛的应用.

知识点二：二项式系数的性质

①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：C：=C：T

/74-172+1

②增减性：当％<——时，二项式系数递增，当上〉——时，二项式系数递减；

22

③最大值：当〃为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当〃为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.

知识点三：各二项式系数和

（1）（。+与”展开式的各二项式系数和：

C+C+…+C+…+Q=2"（neN*）；

（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：

C+C；+…=C：+C；+…=2"%eN*）

第二部分：典型例题剖析

题型一：二项展开式的通项及其应用

角度1：求二项展开式的特定项（或系数）

典型例题

例题1.（2022•全国•模拟预测（理））已知（l+2x）”的展开式的各项系数之和为81,则〃=（

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【详解】由题意，令x=l得：（1+2）"=3"=81,解得：〃=4.

故选：B

例题2.（2022•北京师范大学第三附属中学模拟预测）+的展开式中的常数项为

【答案】24

【详解】解：由通项公式得:心=C：（2x广=2』《”2，，

令4-2「=0,即可得/=2,

所以展开式的常数项为：2"2c；=24.

故答案为：24

例题3.（2022云南师大附中高三阶段练习）在（*2+日丫的展开式中，V的系数为8,则实数上的值为

【答案】2

【详解】任+自丫的展开式的通项为&尸禺产2”中=，

令6—r=3,解得r=3,

所以/系数是C"3=8,解得％=2.

故答案为：2.

例题4.（2022•浙江绍兴•一模）的展开式中常数项为.（用数字作答）

【答案】84

/1、9-〃3〃-18

【详解】根据通项公式（用j卜五)=(T)"GX丁,

令卫|丫=0，解得"=6,所以4=（-1）七；=84,

故答案为：84.

同类题型归类练

1.（2022•四川广安•高三阶段练习（理））在他+尤）4展开式中/的系数为24,则实数〃的值为（）

A.1B.±1C.2D.±2

【答案】D

【详解】解：（a+x＞展开式中Y的系数为C：aJ24,解得a=12.

故选：D.

2.（2022•上海市延安中学高三期中）（/+2）5的二项展开式中，V的系数为.

【答案】40

【详解】（d+2）5的二项展开式通项为加=C；（x3厂2="2J产，

令15-3r=9,解得r=2,

所以1=C；",X9=40X9,

所以X，的系数为40,

故答案为：40.

3.（2022・四川雅安・模拟预测（理））在（2》-“『的展开式中，V的系数为-20,贝心=.

【答案】3##0.5

【详解】（2x-a），的展开式中，含/的项为C：・（2x）3（_。）3=&.（_。）3.煤.丁=_160«V,

所以一160a3=-20,。=；,

故答案为：；

4.（2022•上海奉贤•高三期中）在（五-x）"的展开式中，/的系数为.

【答案】1

【详解】展开式的通项公式为=C；（五「,

令?=2,解得r=0,即f的系数为（T）°C；=1,

故答案为：1

角度2：两个二项式之积中特定项（或系数）问题

典型例题

例题1.（2022•福建•福州三中高三阶段练习）（1+2/）（1+X）4的展开式中V的系数是（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】C

【详解】由（1+2X2）（1+耳4知展开式中含有r的项为：

1XC：XFXX3=4X3和2X2XC；XFXX=8/,

所以展开式中/的系数为：4+8=12

故选：C.

例题2.（2022•广东惠州•高三阶段练习）（l-x）（x-2）6的展开式中，x的系数为.（用数字作

答）

【答案】-256

【详解】（x-展开式的通项公式为:配产Crf，（_2）"

（1—x）（x-2）'1展开式中含x项为：

C：•I-.（_2）5_C：•（-2,•x=-192x-64x=-256%,

展开式中含/项的系数为-256.

故答案为：-256

例题3.（2022•吉林•长春外国语学校高二期中）（I+x）2（l+2y）、的展开式中，记x"?”项的系数为/（加,〃）,

贝j|.f(2,l)+f(l,2)=.

【答案】30

【详解】含有*2y的项为C；x2.C；(2y)=6x2y,则/(2,1)=6；

含有x)F的项为C；re；。》=24xy2,则/(1,2)=24；

则”2,1)+2)=30.

故答案为：30.

同类题型归类练

1.(2022•浙江•高二期中)的展开式中所有项的系数和为.

【答案】0

【详解】令x=l有故(1+m(1)5的展开式中所有项的系数和为0.

故答案为：0

2.(2022•河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习)i+5](x-y)6的展开式中含X4)2项的系数是

(结果用数字表示).

【答案】-25

【详解】展开式中含弁4项的系数是C：X(-1)2+2XC：X(-1)3=15-40=-25.

故答案为：-25

3.(2022•云南普洱・高二期末)(/+1)(4-Ip的展开式的常数项为.

X

【答案】T1

【详解】由于(J+])(!_Ip=(X2+1)(^-—■++--1),

XXXXXX

故展开式的常数项为-10-1=-11,

故答案为：—11.

角度3：三项展开式中特定项(或系数)问题

典型例题

例题1.(2022•全国•高二单元测试)(f+x+2)」的展开式中V的系数为()

A.42B.56C.62D.66

【答案】B

【详解】(x2+x+2?=[(x+2)+x2T=c：(x+2)4+C：(x+2)3.x2+c；(x+2)2.d+C：(x+2)Lx6+C：.x8,故

V的系数为C7C>2+CIC[22=56.故选B.

一题多解

(f+x+2)"可以看成4个f+x+2相乘，展开式中/可以在1个f+x+2里选择/，在1个f+x+2里选

择x,在剩下的因式中选择2,此时V的系数为C；C；X22,也可以在3个V+x+2中各选1个x,剩下的因

式中选择2,此时『的系数为C12,综上所述，展开式中x’的系数为C：C；x22+C：x2=56.故选B.

例题2.(2022•辽宁•模拟预测)记(l-x+ox?)"的展开式中含x4项的系数为/(〃)(其中aeR),则函

数y=/(a)的最小值为()

A.-45B.-15C.0D.15

【答案】A

【详解】由二项式展开式得：含公项的系数为C〉(-l)'+C=(-l)tc3+C)2=i5+60“+15a2,

即/(a)=15.2+60°+15=15(a+2)2-452T5.

故选：A.

例题3.(2022•全国•高二单元测试)(x+2y-3z)5的展开式中所有不含)，的项的系数之和为()

A.-32B.-16C.10D.64

【答案】A

【详解】在(x+2y-3z)5的展开式中，通项公式为心=G(x-3z尸(2)1

若展开式中的项不含则，=0,此时符合条件的项为(x-3z)5展开式中的所有项.

令x=z=1,得这些项的系数之和为(-2)5=-32.

故选：A.

同类题型归类练

1.（2022♦江苏•扬州中学高二阶段练习）关于12+*一2）的展开式，下列结论不正确的是（）

A.所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为0

C.常数项为-20D.系数最大的项为第3项

【答案】D

可得:项式系数和为26=64,故A正确;

令x=l得所有项的系数和为0,故B正确;

常数项C；第=-20,故C正确;

，系数为（-1）'黑，最大为C：或C：,为第3项或第5项，故D错误•

故选：D.

2.（2022•安徽•高二期中）（x-y-2）''的展开式中含x'V项的系数为（）

A.-120B.120C.-60D.60

【答案】A

【详解】由题意得，（x-y—2）6的展开式中含TV项为c#.C；（-l）2/.（_2）=-120丁丁.

故选：A.

3.（2022•浙江邵外高二阶段练习）（2F-X-的展开式的各项系数和为-32,则。的值是（）

A.2B.3C.6D.8

【答案】B

【详解】:（2/-x-。丫的展开式的各项系数和为-32,

令x=l,可得（2xF-l-a）5=-32,

故(I-。)'=-32=(―2)5,解得a=3,

故选：B.

题型二：二项式系数与各项的系数和问题

典型例题

例题1.（2022•吉林•长春吉大附中实验学校高二阶段练习）在卜/-：）的展开式中，所有二项式系数

和为64,贝！）〃=（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【详解】由题意可知:2"=64=〃=6,

故选：A

例题2.（2022•浙江邵外高二期中）己知卜-蛾］的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，贝！J”为

（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【详解】由已知可得C,=C：,所以，“=1+5=6.

故选：A.

例题3.（2022•浙江•绍兴一中高三期中）的展开式中，所有项的二项式系数之和为.

【答案】64

【详解】在展开式中，所有项的二项式系数和为26=64.

故答案为：64.

例题4.（2022•山东潍坊•高三阶段练习）若px+g）展开式的二项式系数之和为256,则展开式的常数

项为.

【答案】5670

【详解】因为二项式系数和等T2"=256,所以〃=8,

由二项式展开式通项公式&i=C；（3x）jd）'=3jC，3,

X

令8-2r=0,解得r=4,所以常数项为4=34C：=5670.

故答案为:5670.

例题5.（2022•上海市杨思高级中学高三期中）已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为

256,则展开式中的常数项为.

【答案】1120

【详解】•.•所有二项式系数的和为256,.12"=256,二〃=8,

则展开式的通项公式为加=2'C"j,

令8-2r=0,可得r=4,.・・展开式的常数项为£=24C：=1120.

故答案为:1120.

同类题型归类练

1.（2022•重庆市第十一中学校高二阶段练习）求（«—士）的展开式的第4项的二项式系数（）

515

A.——B.—C.15D.20

216

【答案】D

【详解】由二项展开式的二项式系数的性质，

可得二项式（五-赤）的展开式的第4项的二项式系数C：=20.

故选：D.

2.（2022•安徽师范大学附属中学高二期中）若（4+6）”的展开式中，第3项的二项式系数与第7项的二项

式系数相等，则〃=（）.

A.10B.9C.8D.7

【答案】C

【详解】根据二项式系数的对称性知C；=C＞则"=2+6=8,

故选：C.

3.（2022•江苏・扬州中学模拟预测）在，+9）的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为1：64,

则展开式的项数为

【答案】7

【详解】由题意，二项式（x+9）的展开式的二项式系数之和为2"，

令x=l,可得展开式的各项系数之和为4",

因为二项式系数之和与各项系数之和比为1:64,可得土2"=」1，即2〃=64,解得〃=6,

4"64

所以二项式卜+念）展开式的项数为6+1=7.

故答案为：7.

4.（2022•北京八十中高二期中）二项式（五+：）的展开式中各项的二项式系数之和为.

【答案】32

【详解】由C；+C+...+C；=25=32,即二项式系数和为32.

故答案为：32

5.（2022•山东德州•模拟预测）在卜+%）的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为1:64,则展

开式的常数项为.

【答案】1215

【详解】解：由题意得：

令x=l,则（x+白）=4",所以［+味）的展开式中，各项系数和为4"

4”

又二项式系数和为2"，所以1r=2"=64,解得“=6.

二项展开式的通项=晨3”号，令6-|r=0,得「=4

所以展开式的常数项为C：3"=1215.

故答案为：1215.

题型三：项式系数的性质

角度1：二项式系数最大问题

典型例题

例题1.（2022•黑龙江•哈尔滨七十三中高三阶段练习）已知IF)的展开式中，第3项的系数与倒

数第3项的系数之比为则展开式中二项式系数最大的项为第（）项.

16

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【详解】的展开式通项公式为北1

则第3项的系数为C:2?，倒数第3项的系数为C；2-2n-2,

因为第3项的系数与倒数第3项的系数之比为々，

16

所以是3$=2二所以C>22=C：H2"-6,解得”=8,

所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，

故选：C

例题2.（2022•全国•高二课时练习）已知，"为正整数，（x+y产展开式的二项式系数的最大值为“，

（x+>广向展开式的二项式系数的最大值为〃，且13a=7b,则，”的值为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【详解】由题意可知C^=a,C*=b,；13a=7d

（2m）!（2/n+l）!

・73］=7C1,即13T=7I

mvm\zn!・（〃z+l）!

.cr2机+1...

/.13=7x---------,解得zr〃1?=6.

加+1

故选：c.

例题3.（2022•湖南•郴州一中高三阶段练习）已知（五-gJ（〃eN,）展开式中第5项和第6项的二

项式系数最大，则其展开式中常数项是.

21

【答案】一~—##—10.5

【详解】解：因为（石（〃eN*）展开式中第5项和第6项的二项式系数最大,

所以C：=C：,解得〃=9

所以（石总］展开式的通项为“c声卜；卜=4-3芳，

由9亨-3r-0得，r=3,

所以常数项为第四项n=cR-；［=-=.

21

故答案为：一~~

例题4.（2022•北京•东直门中学高二阶段练习）在二项式（x+2『的展开式中.

（1）求d的系数；

（2）求展开式中二项式系数最大的项.

【答案】（1）60

⑵160/

(1)

(1)(x+2『的展开式的通项公式为产2,当6f=4,即厂=2时，X」的系数C：2z=60,即/的

系数为60

(2)

二项式(x+2『的展开式第『+1项的二项式系数为C；,因为C：>或=C：>Ct=C>C«=C：,即展开式中二

项式系数最大的项为C*323=160/,故展开式中二项式系数最大的项为160/

同类题型归类练

1.(2022•河南安阳•高三阶段练习(理))已知(4-：)的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该

展开式中各项系数的最小值为()

A.-448B.-1024C.-1792D.-5376

【答案】C

【详解】•••展开式中只有第5项是二项式系数最大，则〃=8

•1•展开式的通项为a=C；(6『=(-2)fC；x-T\r=0,l,...,8

则该展开式中各项系数4=(-2)'G/=O,1,...,8

r+22

(a-ar+2<0f(-2Y'C；-(-2)Cf<0

若求系数的最小值，则广为奇数且‘"2"八，即，-,-解得「=5

2

[ar-ar_2<0[(-2)Cg-(-2)Cf<0

系数的最小值为6=(-2)sC；=-1792

故选：c.

2.(2022•湖南益阳•高二期末)在(x+l)”(〃eN)的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则〃的值

可能是()

A.7B.8C.9D.10

【答案】ABC

【详解】解：•.・己知(a+切”的展开式中第5项的二项式系数C：最大，则”=8,或〃=7,或”=9,

故选：ABC.

3.(2022•北京•牛栏山一中高二期中)在已知(2x+gj的展开式中各项的二项式系数之和为32.

⑴求”;

⑵求展开式各项系数之和；

⑶求展开式中二项式系数取得最大值的项.

【答案】⑴〃=5

⑵243

(3)7；=80x,T4=40%-'

(1)

由题知：2"=32,解得〃=5.

⑵

因为,令*=1得35=243，

所以展开式各项系数之和为243.

⑶

因为〃=5,所以展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，

因为,匕=仁(2》广(』=25-fC；x5-2r,

T3=23cx=80x,T&=22cF=40”.

4.(2022•全国•高二专题练习)已知(1+3/)”的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.求展开

式中二项式系数最大的项.

【答案】4=90/,7；=270/

【详解】解：令x=l，则展开式中各项系数和为(1+3)"=4"=2”,

又；展开式中二项式系数和为2"，

:2?"-2"=992,即“=5.

n=5,展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项,

7；=C；xl3x(3x2)2=90x4,

7；=C^xl2x(3x2)3=270x6.

角度2：系数最大问题

典型例题

例题1.（2022•全国•高三专题练习）按x降幕排列的展开式中，系数最大的项是（）

A.第4项和第5项B.第5项

C.第5项和第6项D.第6项

【答案】B

【详解】因为（XT），的展开式通项为45=C<X9-*.（-1）*,

其中第5项和第6项的二项式系数最大，但第5项的系数为正，第6项的系数为负，

故（X-1），按x降幕排列的展开式中，系数最大的项是第5项.

故选：B.

例题2.（2022•河南河南•三模（理））已知的展开式中，第4项的系数与倒数第四项的系数

之比为:，则展开式中二项式系数最大的项的系数为一

【答案】1120

［详解］设卜+始）|展开式的通项为&=。,厂（5）_5

=G；2"F'（r=o』,2…小，故第四项的系数

厂?31C323231

为亡23,倒数第四项的系数CT2”3,所以...€>（丁.・.£内才=产=“解得〃=8,所以

第五项二项式系数最大，故最大项的系数为C；2,=112O.

故答案为：1120

例题3.（2022•江苏宿迁•高二期中）在（五+壶）”的展开式中，第2,3,4项的二项式系数依次成等差

数列.

(1)证明：展开式中没有常数项；

(2)求展开式中系数最大的项.

【答案】⑴证明见解析

(2)第二项g一和第三项铲2

(1)

证明：由二项式定理可知：第2,3,4项的二项式系数为C：,C：，C依次成等差数列，."duG+C，

_n(n-1)n(n-1)(〃一2)

/.2x------=〃H------------,

23x2x1

n2-9n+14=0,(n-2)(n-7)=0,:.n=2(舍)或〃=7.

l■,112-虹73r14

二项展开式中第r+l项&I=C；(五)7"(砺』，令5—工=0,r交N,

所以展开式中没有常数项得证.

⑵

由(1)知二项展开式中第r+1项的系数为($'3,设第『+1项系数最大，则(，G2(；)EC；“且

]>\1

(*吗广G1,化简得；/+1=卬42,

—2----

13r-8-r

7n7

又・IEN.」=1或2,则展开式中系数最大的项是第二项二户和第三项彳尸.

33

例题4.(2022•全国•高二单元测试)在(2/+£|'-的展开式中.求：

(1)所有项的系数和；

(2)*4的系数;

(3)系数最大的项.

【答案】(1)312;(2)7920；(3)126720/。.

【详解】(1)令x=l,该展开式中所有项的系数和为3<

(2)该展开式的通项公式为九1=3-2陵£一…，&=0,1,2,…12,

令36—4Z=4,解得2=8,

故/的系数为G2-=7920.

（3）设第r+l（reN,Y12）项的系数最大,

2r3r

（C；2-2'->C［；'-2'-

解得?