初一升初二暑假数学教材讲义

初二数学（培优）

第7锦平方根

月日姓名：

【当打目标】

1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；

2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；

3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。

【笈钠要点】

1、算术平方根：如果一个正数x的平方等于。，即x2=。，那么这个正数x就叫做a的算

术平方根，记作，读作“根号

注意：（1）规定。的算术平方根为0,即、/6=0：

（2）负数没有算术平方根，也就是行有意义时，。一定表示一个非负数；

（3）Ja>0（a>0）»

2、平方根：如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根

（也叫二次方根）。

注意：（1）一个正数。必须有两个平方根，一个是a的算术平方根“后”，另外一个是“-G”，

读作“负根号a”，它们互为相反数；

（2）0只有一个平方根，是它本身；

（3）负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a的平方根的运算。其中a叫做被开方数。

47=\a\=[a（"-0）

（4a）2=a（a>0）

观察二者的特征，注意他们的区别与联系。

【典型例驳】

例1、求下列各数的算术平方根与平方根

（1）52（2）100（3）1

暑假培优教材\

初二数学Z培优

I

X

2

4

5

4

5

+

+

-

--

9

36

多少?

范围是

的取值

时，a

意义

二有

当等

例4、

2

J”

2

优教材

暑假培

初二数学培优)

【经典称灯】

1、求下列各数的算术平方根和平方根

,、121

(1)16(2)——(3)12

225

(4)0.01(5)(-5)2

3、判断

(1)-5?的平方根为一5()

(2)正数的平方根有两个，它们是互为相反数()

(3)0和负数没有平方根()

(4)4是2的算术平方根()

(5)百的平方根是土3()

暑假培优教材3

初二数学（培优）

（6）因为-L的平方根是土L所以1_=土_1

()

164V164

4、J1—x—V2x-1有意乂，则x的范围

5、如果a（a>0）的平方根是土m，那么（）

A.a-±mB.a二土层C.\[a=±mD.土-Ja=±m

【锦后作业】

1、下列各数中没有平方根的数是（)

A.-(-2)3B.3TC.aD.一（才+1）

2、肝等于（）

A.aB.-aC.±aD.以上答案都不对

3、若正方形的边长是a,面积为S,那么（）

A.S的平方根是aB.a是S的算术平方根

C.a=±J?D.9瓜

4、当x时，Jl-3x是二次根式.

5、要使立亘有意义，则x的范围为

x—2

6、计算

(2)^32+42

i己——t己

102=100II2==121122=144132=169

142=196152:=225162=256172=289

暑假培优教材4

初二数学(培优)

182=324192=361202=400252=625

第6饼立方根

月日姓名：

【皆行目粽】

i.掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。

2.能够利用立方根运算与立方根之间的关系求一个数的立方根，并理解两者之间的互逆关系，同时掌握

立方根与平方根的区别。

3.熟练掌握并熟记一些常见的数的立方数。

4.会用立方根解决简单的实际应用问题，提高学生的应用能力。

【笈钠要点】

1、立方根的概念：如果一个数x的立方等于a,即1=a,那么这个数x就叫做a的立方根(或叫做三次

方根)。

2、立方与立方根的关系：若有x：'=a成立，则a是x的立方，x就是a的立方根。

注：任何数均有立方根，立方根是唯一的；任何数不一定有平方根，平方根是不唯一的。

3、开立方的概念：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数。

注：=a，(V«)3=a

4、正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数

注：正数的立方根大于负数的立方根，0是介于两者之间。

【典型例观】

例1、(1)由于(—3)3的-27,则是的立方根。

暑假培优教材5

初二数学(培优)

(2)若〃成立，则是的立方：是的立方根。

例2、(1)2的立方等于多少？是否有其他的数，他的立方等于8?

(2)—3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是一27?

例3、求下列各数的立方根

3

(1)512(2)-3-(3)0(4)-0.216

8

例4、比较三个数的大小：V^59,0,V6

例5、若Ja+4+性—12|=0,则疝工的立方根是多少？

★例6、已知x=y〃?+〃+3是m+n+3的算术平方根，^m~2n+fm+2n是m+2n的立方根，求y-x的立方

根.

暑假培优教材6

初二数学（培优）

【经尊称灯】姓名/氏楂：

一、填空题：

1、若（0.5）3=0.125,则是的立方根.

2、64的立方根是.

3、-V二忑的立方根是

二、判断并加以说明.

1、―」的立方根是土,；（）

82

2、—5没有立方根：（）

3、----的立方根是一；（）

2166

2Q

4、----是-----的立方根：（）

9729

5、负数没有平方根和立方根；（）

6、a的三次方根是负数，a必是负数；（）

7、立方根等于它本身的数只能是。或1；（）

8、如果x的立方根是—2,那么x=—8；（）

9.—5的立方根是一六；（）

10、-一匚的立方根是没有意义；（）

216

11、一」-的立方根是一工；（）

273

三、选择题：

1、8的立方根是（）

A、2B、-2C、4D、+2

2、V64的立方根是（）.

A、16B、V?C、4D、8

3、计算后-我的结果是（）.

A.3B.7C.-3D.-7

4.下列叙述正确的是（）.

暑假培优教材7

初二数学(培优)

A.正是7的一个立方根B.(gl)的立方是11

C.如果x有算术平方根，则x>0D.如果x有平方根，它一定有立方根

四、计算题

1、己知+64+|/-27卜0,求(a+b)”的立方根。

★2、若3x+l的平方根是±4,求9x+19的立方根.

【锦后作业】四名—成横家衣签名

一、判断题：

1255

1、—的立方根是+2()

7299

2、负数没有立方根)

3、-47是-7的立方根)

4、若丘=/，则x=y)

5、若xNy,则正之苏()

选择题

1、若m<0,则m的立方根是()

A、\[mB、-y[mC、+\[mD、\J-rn

2、如果遥二1是6-x的立方根，那么()

A、x<6B、x=6C、x<6D、K是任意实数

三、填空题

1、若x<0,=

暑假培优教材8

初二数学(培优)

2、比较大小：V2—口

3、(-4)2的算术平方根与(-4尸的立方根的乘积是

4、若x=(H?)3,则J-x-l=

四、求下列各数的立方根.

(1)-1(2)—(3)-343(4)15-

10008

五、能力拓展题。

已知7+"T=a+b,7—JTT=c+d,(a,c为整数，为正的纯小数)，求b+d的平方根。

第7稀年方根加之方根的应用

月曰姓名：

【当灯目标】

1、进一步了解理解平方根，算术平方根，立方根和开立方的概念；

2、会用根号表示一个数的平方根，算术平方根，立方根，掌握三者的基本运算以及它们与相反数、

倒数、绝对值相结合的简单运算；熟练掌握一些基本数的平方和立方，以便解决开平方和开立方

的运算。

3、掌握平方根和立方根的一些简单的综合利用，让学生知道数学来源于实际生活，增强学生数学的

学习兴趣。

【笈徂要点】

1、算术平方根、平方根与立方根的区别与联系：

(1)区别：

A、根指数不同：平方根的根指数为2,且可以省略不写；立方根的根指数为3,且不能省略不

暑假培优教材9

初二数学（培优）

写。

B、被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数；立方根中被开方数可以是任何

数。

C、结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果；算术平方根只有一个，且

是正数;立方根的结果只有一。

（2）联系：二者都是与乘方运算互为逆运算。

特别注意：（"y=a=|a|=a（V«）3=a

2、无理数的相反数、倒数、绝对值与有理数的相反数、倒数、绝对值类似。

3、比较两个无理数的大小：（1）a>h>0<^Ja>4b

（2）a>b=&>&或a3>h3

4、含有二次根号式子取最小值时，当且仅当被开方数为0,且被开方数为非负数有意义。

5、简单方程的解法以及二次根式非负性的性质。

【算型例驳】

例1、下列说法，正确的有（）

（1）只有非负数才有平方根和立方根；（2）如果a有立方根，那么a一定是正数；（3）如果a没

有平方根，那么a一定是负数；（4）立方根等于它本身的数是0；

（5）一个正数的平方根一定大于它的立方根。

A.1个B2个C3个D4

例2、a.由于4,=64,则是的立方；是____的立方根。

b.若一a>0,贝I（"^）2=;=

例3、百一1的相反数是；-血的绝对值是；玳彳的倒数是。

例4、A.若a=-五*,b=-|-72|,c=-W（-2）3,则a^b^c的大小关系是（）.

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a

暑假培优教材10

初二数学（培优）

B.比较大小：VL54；V3m2+1Kim2-2；啦

例5、多项选择题：下列各数没有算术平方根的是（），有立方根的是（）

A.-（-2）B.（-3）3C.TT:O7D.11.1

例6、如果^/^?+1有意义，则x可以取的最小整数为,若有意义，最小值是

例7、A、解方程（2x—1）3=—8

B、若J）+|b-8卜0,则6"的立方根是多少？

【经典称幻】原名，戚楂，

一、判断题

(1)只有正数才有平方根、算术平方根和立方根;()

(2)如果a没有平方根，那么a也没有立方根：)

(3)如果a有立方根，那么a也有平方根；)

(4)算术平方根等于它本身的数为0；()

(5)a的三次方根是负数，a必是负数;)

4

(6)34—M3—()

63V63

二、填空题

1、廊的平方根是,V?的算术平方根是102的算术平方根是

暑假培优教材11

初二数学（培优）

2、而f+2的最小值是,此时a的取值是一

3、若一个正数的平方根是2〃-1和-。+2,则。=,这个正数是

4、当加时，VT而有意义；当加时，标与有意义;

5、5-五的相反数是；-正的倒数是；

三、选择题

1、2x+l的算术平方根是2,则》=（）

A.--B.-C.-D.--

2222

2、若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是（）

A.0B.1C.0和1D.-1和1

3、若-a-b>0,则J（a+b）2=（）.

A.-a-bB.a+bC.a-bD.\a-^-b\

4、比较大小：A.若a=-J(-5)2,b=-I-1c二-a-2户,则a、b、c的大小关系是（）.

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a

5、若a<0,则下列各数有平方根的是（）

A.~ciB.—da~C.—ci~

D.

四、计算题

1、解方程：（1）4（x+l）=8(2)8(1-x)3=27

2、若。>0,，。2_4+32_3卜0成立,则2。的算术平方根、平方根及立方根分别是多少？

暑假培优教材12

初数学(培优)

【僻后作业】姓名成楂家衣签名

一、判断题:

1、下列说法中正确的是（）

A、一4没有立方根B、1的立方根是±1

c、的立方根是D、一5的立方根是8?

366

2、在下列各式中:<2—=-Vo.ooi=0.1,Vo^oT=0.1,一,（—27）3=-27,其中正确的个数是

V273

（）

A.1B.2C.3D.4

3、下列说法中，正确的是（）

A、一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数

B、一个有理数的立方根，不是正数就是负数

C、负数没有立方根

D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是一1,0,1

4、若有意义，则爪=

.判断下列各式是否正确成立.

⑴若IaI>仇则a2>b2)

若0>&,则〃>6,且a3>b3()

3

⑵=V3・)

V26V26

填空题

1、平方根是它本身的数是—；立方根是其本身的数是—；算术平方根是其本身的数是.

2、若aVO,贝!

3、若1=1,贝二

暑假培优教材13

初二数学(培优)

4、”的5次方根是.

5、若±4a=ifa,则a是。

6、一0.008的立方根的平方等于.

四、解方程(x-l)3=--.

64

第巽并实微

月日姓名：

【皆打目标】

1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。

2、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义，了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用。

理解数轴上的点与实数一一对应关系，并能用数轴上的点来表示任何一个无理数。

3、能利用化简对实数进行简单的四则运算。在探索分类、化简、运算的过程中，获得解决问题的方

法和经验。

【知/要点】

1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数，实数有两种分类方法。

按定义分：实数可以分为有理数和无理数：整数和分数都是有理数，即有限小数或无限循环小数：

无理数是无限不循环小数

暑假培优教材14

初二数学(培优)

按正负分：实数可以分为正实数、0、负实数：正实数分为正有理数和正无理数：正有理数分为正整

数和正分数。负实数分为负有理数和负无理数；负有理数分为负整数和负分数。

注：(1)对实数进行分类时，可以有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏。

(2)n也是无理数

2、实数的性质(重点)：有理数的相反数、绝对值、倒数的定义完全适用于实数。

(1)a与。互为相反数=。+6=0,且互为相反数的两个数的绝对值相等。

(2)a与6互为倒数oab=l,正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。

(3)绝对值的非负性：同之0

3、比较两个实数的大小：做差法；平方法；取近似值法；倒数法

在数轴上，右边的数总比左边的数大；正数大于负数；正数大于0；负数小于0；两个负数相比较,

绝对值大的反而小。

4、实数的四则运算及化简

注：(1)有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用(交换律、结合律、分配律)

(2)化简遵循无理数的化简原则，一直化为最简的为止。

【粪型例敢】

例1、把下列各数按要求分别填入相应的集合内：V2,1,V7,V9，n,

4

--,V2,J--V5-V8,0,J-,0.37377377737777…，0.373773773773773…

2V3V9

有理数集合：__________________________________________________________________

无理数集合：__________________________________________________________________

正数集合：___________________________________________________________________

负数集合：___________________________________________________________________

例2、(1)--的相反数是，倒数是，绝对值是;

2

(2)在数轴上离原点距离是逐的点表示的数是.

(3)-125的立方根是,±8的立方根是一，0的立方根是。正数的立方根是—数;

负数的立方根是—数；0的立方根是O

例3、比较下列各组数的大小：

暑假培优教材15

初二数学(培优)

(1)—石+1与一行+1(2)3行与2&I

(3)旧-屈与屈-用(4)——与---

2V24

例4、计算下列各式

一、V3xV8

(U—广—(2)(V3-V2)(V3+V2)

V6

(3)7(-4)2-VF+A/82+62-7132-52(4)(VT+近了(5-2V6")

例5、若y=J2-x+Jx-2-1,则X」是多少?

暑假培优教材16

初二数学(培优)

【经粪体灯】

1、填空题

(1)、在数轴上表示与V3的点距离最近的整数点表示的数是。

(2)、已知数轴上两点A、B到原点的距离分别是痣和2,则48=。

(3)、若卜+=0,则(盯了00：1.

(4)、计算：V18-(V2+1)=。

★(5).已知A48c的三边长为a,b,c,且a和6满足+〃一46+4=0,则c的取值范围

为.

2、比较下列各组数大小

⑴71^12(2)^―1-0.5⑶乃3.14

2——

3、已知"，”为实数，且|七一A/J|+J〃­2=0,求zn”

4、已知J2Txi+J1-3=0,且|x-y|=y-x,求x+y的值.

【锦后作业】

一、填空题

1、一个的算术平方根是8,则这个的立方根的相反数是

2、若》2=64,则3«=.

暑假培优教材17

初二数学(培优)

3、行的相反数是；绝对值是.

4、化简(1)12—右|=；(2)|3-TZ-|=.

5、若以,6互为相反数，互为倒数，则以+乙+场=.

6、比较大小：(1)7痴6"；⑵1一后1-也；

7、已知J7=T+Jj二1有意义，则x的平方根为。

8、已知—5|+Jy+6+(z+8)-=0,求3x+y—z+1的值_

9、若h一6+1|与Ja+2b+4互为相反数,则(a+b)20°6=。

二、解答题

1、已知x、y为实数，且y=&-9-497+4.求4+J7的值.

三、计算题

(2)(V8+713)(78-713)

(3)(5-V3)2+(l+V3)(V3-8)

第1讲二次根式的化简

月日姓名：

【老灯目标】

1、本节的重难点是肝的化简.本章自始至终围绕着二次根式的化简与计算进行，而行的化简不但

涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质，还要牵涉到绝对值以及各

种非负数、因式分解等知识，在应用中常常需要对字母进行分类讨论。

暑假培优教材18

初二数学(培优)

2、能够利用二次根式的性质化简二次根式，且结果为最简二次根式。

3、通过二次根式的学习，让学生形成分类讨论的数学思想与方法。

【扣但要点】

1、二次根式的重要性质：

注1：式子中籽=时中的&可以取任意实数，同时注意与(Ji)?的区别。

注2：必=同中a既可以是单个数字，单个字母，单项式，也可以是可进行因式分解的多项式，等

等，总之它是一个整体概念。

2、最简二次根式的概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式;

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

3、同类二次根式的概念：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，则这几个二次根

式成为同类二次根式

【典型例敢】

例1、计算下列各题,并回答以下问题:

1、各小题中被开方数的幕的底数都是什么数？

2、各小题的结果和相应的被开方数的暴的底数有什么关系？

3、用字母a表示被开方数的事的底数，将有怎样的结论？并用语言叙述你的结论。

例2、填空题

暑假培优教材19

初二数学(培优)

1、当a_________时,

叵叵

2、当a>0时，a当时，a

3、若［(4—1)2=］一」,则a

4、当a<0时，/&

5、当a+2〈0时，J4?+4a+4的化简结果是

6、耳化为最简二次根式是

例3、选择题

(1)如果J二彳=x成立，那么()

(A)x=0(B)x<0(C)x，0(D)xWO

(2)下列各式中正确的是()

(A)QT=|a|-1(B)(诉

(C)4(a+b)~=a+b(口)y]a4=cr

(3)下列各组中，是同类二次根式的是()

(A)后与遥(B也与亚(C)6与&(D)也与屈

例4、(1)化简13242(a<0)

(2)若l<a<2,化简Jq--2a+1+1(7—2|

暑假培优教材20

初二数学(培优)

(3)化简J+8x+16—VX~—2x+1(—4<x<l)

【经典称灯】膜名，成楂，

一、填空题

1、当a时，(JZ)2=a成立。

2、J(X_2)2=

3、若a>c,则小(c-a)2-

4、若a>g,则(J3"4)2=

5、若a<0,则2a-dcr+3同=

二、选择题

★1、若J而是整数，则正整数〃的最小值为()

Ax3B、4C、5D、6

2、“6一5¥+卜—百|化简的结果为()

A、4B、273-6C、6-273D、6

3、若。=百二?(〃20)是整数，则。的值是()

A、0B、1C、9D、0和9

三、化简题

1、若a<b<0,请化简：_|a+b|_2j(a_b)2

暑假培优教材21

初二数学(培优)

2、实数。,6在数轴上所对应的点的位置如图(1)所示，化简|b_a|_J(a+b)2

~a0b

图⑴

★3、已知。、b、C为△ABC的三边长,请化简J(4—6—0厂一J(C+a—/))?o

【锦后作业】姓名____6g横_____家衣签名_____

一、选择题

1、(Ja_1)=。一1成立的条件是：()

A.。W1B.a>\C.a<\D.a<\

2、把化成最简二次根式结果为：()

V27

暑假培优教材22

初二数学（培优）

3、已知t<l,化简1—t—,\lt'—2/+1得：()

A.2—2/B.2tC.2D.0

4、下列各式中，正确的是：()

A.(-V7)2B.J(-0.7『=0.7

=-7

2

C.(-V7)=72D.(V-0.7)-=0.7

二、指出下列各组中，哪些数是最简二次根式，哪几个数又是一组同类二次根式?

V2V27V3V125V8V5V6V18V12

、、、、、、、、

思考题：★］、若J而是整数，则正整数〃的最小值为（）

A、3B、4C、5D、6

第M饼台母/理化

月曰姓名：

【当灯目标】

1、使学生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算题;

2、让学生能够进一步学习二次根式的化简，对二次根式化简有进一步的认识，使化简进

暑假培优教材23

初二数学(培优)

一步完善。

3、本节的主要内容是二次根式的乘除法的巩固以及分母有理化。这在二次根式的化简和运

算的运用中是关键，从化简与运算又引出初中重要的内容之一：分母有理化，分母有理

化的理解决定了最简二次根式化简的最终的掌握程度。

4、通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力.

【加钠要点】

1、分母有理化的概念：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2、有理化因式的概念：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，

就说这两个代数式互为有理化因式。

注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。

3、熟记一些常见的有理化因式：右的有理化因式是J3；。+〃痣的有理化因式是。-〃、历；&+J3

的有理化因式是“及+〃“'的有理化因式是“及-〃〃'；加土布的有理化因式是

+y[ab+\[b^.

【算型例敢】

例1、找出下列各式的有理化因式。

Ja+b5+2,y/3—3>f2a—Jx?—a~(x>a)

例2、将下列各式分母有理化。

ajb♦by/a

(4)

例3、化简下列各式

⑴石♦Ja♦1ajb♦by/a

(2)

G-Ja.[4^

暑假培优教材24

⑸2*卜2闾⑹°百.2市)+(2j.3⑸

例4、已知x-----二-,求2

X-6x+2的值。

3+2点x-3

【经粪炼行】膜名，鼠殖，

1、找出下列各式的有理化因式。

(1)2V2-3V3(2)4ab(3)2Vx-l(4)后+而

2、将下列各式分母有理化

暑假培优教材25

初二数学(培优)

V2

⑵邛(3)1-^-b(bwl)

(1)「

3-V33+2V2l-Jh

3、化简下列各式。

1

—V3

4、已知x=抵+百，丫=亚_