级数与广义积分考研

/1.利用有上界的非空数集必有上确界证明：单调增加的有界数列必有极限.2.证明：在上不一致连续.但在上一致连续.3.若.用柯西收敛准则判定数列的收敛性.4.〔1证明：在上不一致连续.〔2若.用柯西收敛准则判定数列的收敛性.5.设是非空有上界的实数集.〔1给出E的上确界的定义；〔2若证明：在数集中可取出严格单调增加的数列.使得6.证明：7.判断下述各论断的对错.正确的请给出证明.错误的请举出反例.<1><2>若收敛.且8.广义积分是收敛还是发散？若收敛.是条件收敛还是绝对收敛？9.求10.设.〔1求；〔2试证对于任意的常数.级数收敛.11.利用级数的敛散性判别级数的敛散性.12.设且级数发散.试判断下列级数的收敛性：〔1〔213.设级数14.设证明：级数收敛.15.设16.若函数在上连续.且证明：3.〔10分利用有上界的非空数集必有上确界证明：单调增加的有界数列必有极限.证明：设数列单增有界.记,为非空有界集合.必有上确界.记.……………1分任给……………4分因为单增.故当…………3分即有.故.………2分7.〔15分证明：在上不一致连续.但在上一致连续.证明：在上.令………3分虽然有.但是.因此.在上不一致连续.………4分在上.对任意的取.………4分对任意的当时.有.即在上一致连续.………4分2.〔10分若.用柯西收敛准则判定数列的收敛性.解：数列收敛.考察……………2分…………2分……………2分对任意给定的.取.………………2分则当时.对任意的正整数.总有.根据柯西收敛准则.数列收敛.………………2分1.〔每小题10分.共20分〔1证明：在上不一致连续.〔2若.用柯西收敛准则判定数列的收敛性.解：〔1构造两个数列,…………………5分有,………2分但不趋于0,…………2分故在上不一致连续.…………………1分〔2数列收敛.考察………………2分…………2分……………2分对任意给定的〔不妨设.取.………………2分则当时.对任意的正整数.总有.根据柯西收敛准则.数列收敛.………………2分8.〔15分设是非空有上界的实数集.〔1给出E的上确界的定义；〔2若证明：在数集中可取出严格单调增加的数列.使得解：〔1若满足：①；………………2分②………………2分则称是E的上确界.记为………………1分〔2证明：因此使得.……………3分取………………2分取；取；……取；………………3分……从而在E中取到了严格单调增加的数列.使得………………2分证明：证明：故1.〔每小题9分.共18分判断下述各论断的对错.正确的请给出证明.错误的请举出反例.<1><2>若收敛.且12.〔15分广义积分是收敛还是发散？若收敛.是条件收敛还是绝对收敛？解：由于从而不是瑕点.………………2分对每个有限的A.都有,在上单调减少且.由Dirichlet判别法可知收敛.………………5分类似得.有收敛.………………1分又有但发散.从而发散.进一步得到发散.………………5分因此.条件收敛.………………2分求解：考虑正项级数由知该级数收敛.设收敛于S.故有所以=0.设.〔1求；〔2试证对于任意的常数.级数收敛.〔1解：.令.则上式=.因此.于是.〔2证明：令.则.所以对于任意的常数.〔2分.而级数收敛.从而级数收敛.解：〔1〔2由〔1.故由正项级数的比较判别法知收敛.12.〔15分利用级数的敛散性判别级数的敛散性.解：………5分………5分故………3分由级数发散.知原级数发散.………2分11.〔15分设且级数发散.试判断下列级数的收敛性：〔1〔2解：<1>而收敛.故原级数收敛.<2>若则,而发散.故原级数发散.若无上界.则不趋于0,此时级数也发散.故原级数总是发散.12.〔13分设级数证明：记故6.〔13分设证明：级数收敛.证明：因为………………3分…………………3分故有………2分…………………3分因此正项级数收敛.………………2分设证明：因令而对任一.故发散.若函数在上连续.且证明：证明：由于从而对任意的对任意的有.于是又由于因此最后得设收敛.且在上一致连续.证明=