平面向量的数量积

第14讲：平面向量的数量积一．选择题（共12小题）1．对于向量a→、b→、c→A．若a→•b→=0，则a→=0→或b→=C．若a→2=b→2，则a→=b→或a→=−2．已知向量a→=(−1，1)，b→=(1，m)，a→A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）3．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1=OA→•OB→，I2=OB→•OC→，A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I34．已知AB→⊥AC→，|AB→|=1A．13 B．15 C．19 D．215．在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM→=2MA→，CN→=A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．06．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则A1A．[0，8+62] B．[−22，8+62]7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→•BCA．−58 B．14 C．18．已知点A，B，C均在半径为2的圆上，若|AB|＝2，则AC→A．3+22 B．2+22 C．4 9．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→•（PBA．﹣2 B．−32 C．−10．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则AE→A．2116 B．32 C．2511．如图，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，P是圆O上的动点，则下列叙述不正确的是（）A．PA→•PC→+PBB．PA→•PB→+PB→•PC→C．|PA→|+|PB→|+|PC→|+|D．PA→2+PB→2+PC12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点，BA→•CA→=4，BF→•CF→A．4 B．8 C．78 D．二．多选题（共2小题）（多选）13．关于平面向量a→，b→，A．若a→•c→=b→•c→，则a→=b→C．若a→2=b→2，则a→•c→=b→•c→ D．（a→（多选）14．已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），则（）A．|OP1→|＝|OP2→| C．OA→•OP3→=OP1→三．填空题（共17小题）15．已知向量a→+b→+c→=0→，|a→|＝1，|b→16．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则MP→•CP→的最小值为17．已知a→，b→是单位向量，且夹角为60°，|c18．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2BE→+DF→|的值为；（DE→19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若AB→•AC→=6AO→•EC→20．如图所示，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M为BC边的中点，则AM→⋅AO21．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，A=π3，且cosBsinC⋅AB22．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则AM→⋅AN23．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD→=λBC→，AD→•AB→=−32，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且|24．已知点M是边长为2的正△ABC内一点，且AM→=λAB→+μAC→25．已知△ABC中，AB边上的中线CM＝2，若动点P满足AP→=12si26．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P是平面ABC内一点，则PA→⋅(2PB27．已知a→，b→为单位向量，且a→•b→=0，若c→=228．若向量a→，b→满足|a→|＝3，|a→−b→|＝5，a29．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD→•AE→30．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且|λAB→+3(1−λ)AC→|(λ∈R)的最小值为332，若31．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA→•CA→=4，BF→•CF→=−1，则

第14讲：平面向量的数量积参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．对于向量a→、b→、c→A．若a→•b→=0，则a→=0→或b→=C．若a→2=b→2，则a→=b→或a→=−【解答】解：a→⊥b→时也有a→•bB正确；设a→=(2，2)，b→=(1，7)，此时a→2=b∵a→•b→=a→•c→得不到b→=c→，如故选：B．2．已知向量a→=(−1，1)，b→=(1，m)，a→A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）【解答】解：由题意得﹣1×1+m＜0且﹣m﹣1≠0，所以m＜1且m≠﹣1．故选：D．3．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1=OA→•OB→，I2=OB→•OC→，A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，∴AC＝22，∴∠AOB＝∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞OA→•OB→＞OC→•即I3＜I1＜I2，方法2：如图：作线段AC的垂直平分线l，由于DA＜DC，因此A，D在直线l的同侧，则OA＜OC，∠ABO＜45°，进而∠AOD＝∠ABO+∠BAO＜90°，在等腰三角形ABD中，OB＜OD，这样就有I3＝|OC→|•|OD→|cos∠COD＜|OA→|•|OB→|cos∠AOB＝I1故选：C．4．已知AB→⊥AC→，|AB→|=1A．13 B．15 C．19 D．21【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（1t，0），C（0，t∵AP→=AB∴PB→=（1t−1，﹣4），∴PB→⋅PC→=−（1t由基本不等式可得1t+4t≥2∴17﹣（4t+1当且仅当4t=1t即t∴PB→故选：A．5．在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM→=2MA→，CN→=A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0【解答】解：解法Ⅰ，由题意，BM→=2MA→，CN∴BMMA=CNNA=2，∴BC∥MN又MN2＝OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°＝1+4﹣2×1×2×（−1∴MN=7∴BC＝37，∴cos∠OMN=OM∴BC→•OM→=|BC→|×|OM→|cos（π﹣∠OMN解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM→=2MA→，CN知BC→=AC→−AB→=3∴BC→⋅OM→=（﹣3＝﹣3OM→2+3＝﹣3×12+3×2×1×cos120°＝﹣6．故选：C．6．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则A1A．[0，8+62] B．[−22，8+62]【解答】解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且|A1A2→|=|A再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，A1A3结合选项可得A1A3故选：B．7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→•BCA．−58 B．14 C．1【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴AF→•=(−1=(−5=−5故选：C．8．已知点A，B，C均在半径为2的圆上，若|AB|＝2，则AC→A．3+22 B．2+22 C．4 【解答】解：如图，∵A，B，C是半径为2的圆上三点，|AB|＝2，∴根据余弦定理，cos∠O=O则AB边所对的圆心角为π2，则∠C根据正弦定理可知：ACsinB∴AC＝22sinB，BC＝22sin（34π−∴AC→⋅BC→=CA→•CB→=CA×CB×cosC＝22sinB×22sin（34π−B）×2＝22sin（2B−π则当2B−π4=π2，即故选：B．9．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→•（PBA．﹣2 B．−32 C．−【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，3），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则PA→=（﹣x，3−y），PB→=（﹣1﹣x，﹣y），PC则PA→•（PB→+PC→）＝2x2﹣23y+2y2＝2[x2+（y∴当x＝0，y=32时，取得最小值2×（−3方法2：取BC的中点M，AM的中点N，则，PA→⋅(PB→+PC→当且仅当P与N重合时，取得等号．故选：B．10．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则AE→A．2116 B．32 C．25【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝ABcos60°=12，BN＝ABsin60°∴DN＝1+1∴BM=3∴CM＝MBtan30°=3∴DC＝DM+MC=3∴A（1，0），B（32，32），C（0，设E（0，m），∴AE→=（﹣1，m），BE→=（−32，∴AE→⋅BE→=32+m2−32m＝（m−当m=34时，取得最小值为故选：A．11．如图，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，P是圆O上的动点，则下列叙述不正确的是（）A．PA→•PC→+PBB．PA→•PB→+PB→•PC→C．|PA→|+|PB→|+|PC→|+|D．PA→2+PB→2+PC【解答】解：如图建立平面直角坐标系，并设正方形边长为2a，圆的半径为r，且r＞2然后设P（rcosθ，rsinθ），A（a，a），B（﹣a，a），C（﹣a，﹣a），D（a，﹣a）．∴PA→=(a−rcosθ，a−rsinθ)，PB→=（﹣a﹣rcosθ，a﹣rsinθ），PC→=（﹣a﹣rcosθ，﹣a﹣rsinθ），PD→=（a﹣rcos∴PA→⋅PB→=r2−2arsinθ，PA→PA→2=2a2+r对于A，原式＝﹣4a2+2r2（定值），故A结论成立；对于B，原式＝4r2（定值），故结论B成立；对于D，原式＝8a2+4r2（定值），故结论D成立．对于C，取θ＝0°时，原式＝2|PA|+2|PB|=2a2+(r−a)2显然两式不相等．故C结论不成立．故选：C．12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点，BA→•CA→=4，BF→•CF→A．4 B．8 C．78 D．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴BF→=BD→+DF→，CF∴BF→BA→⋅CA∴DF→2=又∵BE→=BD∴BE→⋅CE故选：C．二．多选题（共2小题）（多选）13．关于平面向量a→，b→，A．若a→•c→=b→•c→，则a→=b→C．若a→2=b→2，则a→•c→=b→•c→ D．（a→【解答】解：对于A，若c→=0→，则a→•c→=b→对于B，（a→+b→）•c→=a对于C，若a→2=b→2，则|a→|＝|b→|，但（a→−b→）•c对于D，（a→•b→）•c→与向量c→共线，而（b→•c→）•a→与向量a→共线，所以（a→•b→）•故选：ACD．（多选）14．已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），则（）A．|OP1→|＝|OP2→| C．OA→•OP3→=OP1→【解答】解：法一、∵P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），∴OP1→=（cosα，sinα），OPOP3→=（cos（α+β），sin（α+AP1→则|OP1→|=cos2α+si|A|A|AP1→|≠|AOA→⋅OP3→=1×cos（α+β）+0×sin（αOP1⋅OP2→=cosαcosβ﹣sin∴OA→•OP3→=OA→⋅OP1→=OP2→⋅OP3→=cosβcos（α+β）﹣sinβsin（α+β）＝cos[β∴OA→•OP1→≠故选：AC．法二、如图建立平面直角坐标系，A（1，0），作出单位圆O，并作出角α，β，﹣β，使角α的始边与OA重合，终边交圆O于点P1，角β的始边为OP1，终边交圆O于P3，角﹣β的始边为OA，交圆O于P2，于是P1（cosα，sinα），P3（cos（α+β），sin（α+β）），P2（cosβ，﹣sinβ），由向量的模与数量积可知，A、C正确；B、D错误．故选：AC．三．填空题（共17小题）15．已知向量a→+b→+c→=0→，|a→|＝1，|b→|＝|c【解答】解：方法1：由a→+b→+c→∴（a→+b→）2＝（−c→）2或（a→+c→）2＝（−b又∵|a→|＝1，|b→|＝|c→|＝2，∴5+2a→•b→∴a→•b→=−12，a→•c→=−12，b→故答案为：−9方法2：a→•b→+b→故答案为：−916．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则MP→•CP→的最小值为−【解答】解：建立平面直角坐标系如下，则B（2，0），C（0，2），M（1，0），直线BC的方程为x2+y2=点P在直线上，设P（x，2﹣x），∴MP→=（x﹣1，2﹣x），CP→=（∴MP→•CP→=x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2x2﹣3x∴MP→•CP→的最小值为故答案为：−917．已知a→，b→是单位向量，且夹角为60°，|c→|=【解答】解：据题意，设a→∴a→−1∴(=5=5∵−1≤sin(θ+π∴−1∴(a→−故答案为：[−118．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2BE→+DF→|的值为1；（DE→+DF【解答】解：如图，设BE＝x，∵△ABC是边长为1等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE=3x，DC＝1﹣2x∵DF∥AB，∴△DFC是边长为1﹣2x等边三角形，DE⊥DF，∴（2BE→+DF→）2＝4BE→2+4BE→•DF→+DF→则|2BE→∵（DE→+DF→）•DA→=（DE=(3x)2+（1﹣2x）×（1﹣x）＝5＝5(x−310)2+11∴（DE→+DF→）•故答案为：1，112019．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若AB→•AC→=6AO→•EC→，则AB【解答】解：设AO→=λAD→AO→=AE→+EO＝（1﹣μ）AE→+μAC∴λ2=1−μ∴AO→=1EC→6AO→•EC→=6×14=32（=−1∵AB→•AC∴12AB→∴ABAC故答案为：320．如图所示，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M为BC边的中点，则AM→⋅AO【解答】解：（如图）取AB、AC的中点D、E，可知OD⊥AB，OE⊥AC，∵M是边BC的中点，∴AM→=1∴AM→⋅AO→==AD由数量积的定义可得AD→⋅AO→=|AD而|AO→|cos＜AD→，AO同理可得AE→故AD→故答案为：5．21．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，A=π3，且cosBsinC⋅AB→+【解答】解：分别取AB，AC的中点D，E，连接OD，OE，可得AB→•OA→=−AB→•12AB→=−12设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理可得asinA=b由cosBsinC两边点乘OA→，可得cosBsinC•（AB→•OA→）+cosCsinB•（AC→即−12•csinC•ccosB−12•bsinB•bcos所以−12•2R（ccosB+bcosC）＝2λR所以﹣（c•a2+c2−b2所以﹣a＝2λR，所以λ=−a2R=−sin故答案为：−322．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则AM→⋅AN【解答】解：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，3），D（1，3），M（2，3）．设N（x，y），N为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域．因为AM→=(2，3)，AN→=（x，y），则令z＝2x+3y，则由图象可得当目标函数z＝2x+3y过点C（3，3）时，z＝2x+3此时z=2×3+3故答案为9．23．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD→=λBC→，AD→•AB→=−32，则实数λ的值为16，若M，N是线段BC上的动点，且|MN【解答】解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B＝60°，AB＝3，∴A（32，3∵BC＝6，∴C（6，0），∵AD→=λ∴AD∥BC，设D（x0，33∴AD→=（x0−32，0），AB→∴AD→•AB→=−32（x0−32∴D（52，3∴AD→=（1，0），∴AD→∴λ=1∵|MN→设M（x，0），则N（x+1，0），其中0≤x≤5，∴DM→=（x−52，−332），∴DM→•DN→=（x−52）（x−32）+274=x2﹣4x+故答案为：16，1324．已知点M是边长为2的正△ABC内一点，且AM→=λAB→+μAC→，若λ+μ=【解答】解：以A为原点，AB和AB的垂线分别为x和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（1，3），设M（x，y），∵AM→∴（x，y）=λ(2，0)+μ(1，3)，即∴MB=(2=4(μ−16)∴当μ=16时，MB→故答案为：1325．已知△ABC中，AB边上的中线CM＝2，若动点P满足AP→=12si【解答】解：由题意可得：AB→∴AP→=sin2θ⋅AM→所以P、M、C三点共线，即点P在CM上，而PA→+PB→＝2|PM→||PC→∵|PM|PM→||故答案为：﹣226．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P是平面ABC内一点，则PA→⋅(2PB→+【解答】解：建立平面坐标系如图所示：则A（﹣1，0），B（1，0），C（0，3），设P（x，y），PA→=（﹣1﹣x，﹣y），PB→=（1﹣x，﹣y），PC→=2PB→+PC→=（2﹣3x∴PA→⋅(2PB→+PC→)=3x2+x﹣2+3y2−3y＝3（x+∴当x=−16，y=36时，故答案为：−727．已知a→，b