线性变换的矩阵

关于线性变换的矩阵第1页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三一.线性变换的矩阵表示1)V的任一线性变换σ，由它在基{α1，α2，…，αn}上的作用惟一确定，即如果σ(αi)＝τ(αi)(τ∈L(V),i=1,2,…,n),

则σ=τ;定理6.3.1设V是数域F上的一个n维线性空间，{α1，α2，…，αn}是V的一个基．1.线性变换对基的作用的重要性第2页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三证只须证2）．设ξ=x1α1+x2α2+…+xnαn是V的任意向量，规定V的一个变换σ:σ(ξ)=x1β1+x2β2,…,xnβn.这时，有σ(αi)=βi,i=1,2,…,n.以下我们证明σ是V的线性变换．2)任给β1，β2，…，βn∈V，必存在V的惟一线性变换σ，使σ(αi)=βi(i=1,2,…,n).第3页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三设η=y1α1+y2α2+…+ynαn∈V,

ξ+η=(x1+y1)α1+(x2+y2)α2+…+(xn+yn)αn.于是σ(ξ+η)=(x1+y1)β1+(x2+y2)β2+…+(xn+yn)βn=(x1β1+x2β2+…+xnβn)+(y1β1+y2β2+…+ynβn)=σ(ξ)+σ(η),σ(kξ)=kx1β1+kx2β2+…+kxnβn=kσ(ξ).

所以，σ是V的满足定理所要求的条件和的线性变换．第4页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三如果τ∈L(V),且τ(αi)=βi,i=1,2,…,n,ξ=x1α1+x2α2+…+xnαn∈V,则τ(ξ)=x1τ(α1)+x2τ(α2)+…+xnτ(αn)=x1β1+x2β2+…+xnβn=σ(ξ).所以，σ＝τ．第5页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三定义1设{α1，α2，…，αn}是数域F上的n维线性空间V的一个基，σ∈L(V)．基向量的象可由基线性表示：2.线性变换矩阵的定义第6页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三我们把（1）写成矩阵等式的形式(σ(α1),σ(α2),…,σ(αn))=(α1,α2,…,αn)A(2)其中矩阵A称为线性变换σ在基{α1，α2，…，αn}下的矩阵．第7页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三例1求F3[x]的线性变换σ：σ(f(x))=2f(x)-f′(x)在基{1,x,x2,x3}下的矩阵．解因为σ(1)=2=2+0x+0x2+0x3,σ(x)=2x-1=-1+2x+0x2+0x3σ(x2)=2x2-2x=0-2x+2x2+0x3σ(x3)=2x3-3x2=0+0x

-3x2+2x3,所以σ在基{1,x,x2,x3}下的矩阵是3.几个例子第8页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三采用矩阵形式的写法为(σ(1),σ(x),σ(x2),σ(x3))=(1,x,x2,x3)A例2求M2(F)的线性变换σ：σ(X)=第9页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三解因为σ(E11)=aE11+0E12+c

E21+0E22,σ(E12)=0E11+aE12+0E21+c

E22,σ(E21)=b

E11+0E12+d

E21+0E22,σ(E22)=0E11+b

E12+0E21+d

E22,在基｛E11,E12,E21,E22｝下的矩阵．故σ在基｛E11,E12,E21,E22｝下的矩阵是第10页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三例3设σ是F3的一个线性变换，ε1＝（1，0，0），ε2＝（0，1，0），ε3＝（0，0，1），σ(ε1)＝（2，-1，3），σ(ε2)＝（-1，0，4），σ(ε3)＝（0，-5，5）．求σ在标准基｛ε1，ε2，ε3｝下的矩阵．解由于σ(ε1)=2ε1-ε2+3ε3,

σ(ε2)=-ε1+0ε2+4ε3,σ(ε3)=0ε1-5ε2+5ε3,第11页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三有（σ(ε1)，σ(ε2)，σ(ε3)）＝（ε1，ε2，ε3）即σ在基{ε1，ε2，ε3}下的矩阵是第12页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三一般地，Fn的一个线性变换σ在标准基{ε1，ε2，…，εn}下的矩阵A

就是把σ(εi)的分量作列排成的n阶方阵.例4单位变换ι在任何基下的矩阵都是单位矩阵I．数乘变换kι在任何基下的矩阵都是数量矩阵kI．第13页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三在V中取定一个基后，通过（2）式，我们在L(V)与Mn(F)之间建立了一个映射Φ，它把每个σ∈L(V)映成σ在该基下的矩阵A∈Mn(F)．Φ：σA定理6.3.1的2）说明Φ是双射．这个映射的重要性还在于它能保持加法、数乘和乘法运算．二.L(V)与Mn(F)之间的密切关系1.Φ的性质第14页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三定理6.3.2

L(V)到Mn(F)的上述映射Φ具有以下性质：1)对任意的σ，τ∈L(V)，有

Φ（σ+τ）＝Φ（σ）+Φ（τ）；2)对任意的σ∈L(V),k∈F,有Φ(kσ)=kΦ(σ);3）对任意的σ，τ∈L(V)，，有

Φ（στ）＝Φ（σ）Φ（τ）；第15页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三4)若σ∈L(V)，σ可逆，则

Φ（σ）＝A是可逆矩阵，且Φ（σ-1）＝A-1．反之，若A可逆，则σ也可逆．证令Φ(σ)=A=(aij)nn，Φ(τ)=B=(bij)nn,即(σ(α1),σ(α2),…,σ(αn))=(α1,α2,…,αn)A,(τ(α1),τ(α2)),…,σ(αn))=(α1,α2,…,αn)B.第16页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三1)(σ+τ)(αi)=σ(αi)+τ(αi)=(a1i+b1i)α1+(a2i+b2i)α2+…+(ani+bni)αn,i=1,2,…,n.由此可得((σ+τ)(α1),(σ+τ)(α2),…,(σ+τ)(αn))=(α1,α2,…,αn)(A+B),即Φ(σ+τ)=A+B=Φ(σ)+Φ(τ).

第17页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三2)(kσ)(αi)=ka1iα1+ka2iα2+…+kan

iαn,i=1,2,…,n.由此可得((kσ)(α1),(kσ)(α2),…,(kσ)(αn))=(α1,α2,…,αn)(kA),即Φ(kσ)=kA=kΦ(σ).第18页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三3)στ(αj)=σ(τ(αj))j=1,2,…,n.由此可得(στ(α1),στ(α2),…,στ(αn))=(σ(α1),σ(α2),…,σ(αn))B=(α1,α2,…,αn)(AB),

即Φ(στ)=AB=Φ(σ)Φ(τ).=σ()=第19页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三4）σ可逆时，σ-1∈L(V),σσ-1=ι.Φ(σσ-1)=Φ(σ)Φ(σ-1)=AΦ(σ-1)=Φ(ι)=In,所以，A可逆，且A-1=Φ(σ-1).若A可逆，有AA-1=In

．设Φ(τ)=A-1,Φ(ι)=In=AA-1=Φ(σ)Φ(τ)=Φ(στ)=A-1A=Φ(τ)Φ(σ)=Φ(τσ).于是有ι=στ=τσ，即σ可逆．□第20页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三定理6.3.2说明，双射Φ除了是F上的两个线性空间L(V)和Mn(F)之间的一个同构映射外，还保持乘法运算和可逆性．这样，我们在L(V)与Mn(F)之间建立了十分密切的联系．利用线性变换的矩阵可以直接计算向量的象．2.线性变换矩阵的一个应用第21页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三定理6.3.3设V是数域F上的一个n维线性空间，σ∈L(V)，σ在基{α1，α2，…，αn}下的矩阵是A，如果V中的向量ξ在这个基下的坐标是（x1,x2，…，xn），而σ(ξ)在该基下的坐标是（y1,y2,…，yn）．那么第22页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三证由假设（σ（α1），σ（α2），…，σ（αn））

=(α1，α2，…，αn)A

ξ=x1α1+x2α2+…+xnαn=(α1，α2，…，αn)第23页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三σ是V的线性变换，所以σ(ξ)=x1σ(α1)+x2σ(α2)+…+xnσ(αn)=(σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αn))=(α1，α2，…，αn)A第24页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三另方面，由假设知σ（ξ）=(α1，α2，…，αn)

比较（4）与（5）两式，有.□第25页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三定理6.3.4线性空间V的线性变换σ在V的两个基｛α1，α2，…，αn｝（6）｛β1，β2，…，βn｝（7）线性变换的矩阵显然依赖于基的选择．同一线性变换在不同基下的矩阵一般是不同的．我们来看线性变换在不同基下的矩阵之间的关系．三.矩阵的相似1.同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系第26页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三证因为（σ（α1），σ（α2），…，σ（αn））

=(α1，α2，…，αn)A,（σ（β1），σ（β2），…，σ（βn））

=(β1，β2，…，βn)B,(β1，β2，…，βn)

=(α1，α2，…，αn)T,

下的矩阵分别是A和B，从（6）到（7）的过渡矩阵是T，那么B=T-1AT.第27页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三所以

(β1，β2，…，βn)B=（σ（β1），σ（β2），…，σ（βn））=（σ（α1），σ（α2），…，σ（αn））T=(α1，α2，…，αn)AT=(β1，β2，…，βn)T-1AT

故B=T-1AT.□第28页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三定义2设A,B是数域F上的两个n阶方阵．如果存在F上的一个n阶可逆矩阵T，使B=T-1AT，则称B与A相似或A相似于B，记为A~B.根据这个定义，定理6.3.4说的是，n维线性空间V的同一线性变换在两个基下的矩阵是相似的．2.相似矩阵及其性质第29页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三矩阵的相似关系具有如下性质：1)自反性．A~A．因为A=I-1AI;2)对称性．如果A~B,那么B~A,这是因为当

B=T-1AT时，A=(T-1)-1BT-1;3)传递性．如果A~B,B~C,那么A~C．这是因为当B=T1-1AT1，且

C=T2-1BT2时，有

C=T2-1(T1-1AT1)T2=(T1T2)-1A(T1T2).第30页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三由于上述性质，我们可以把集合Mn(F)中的元素按相似关系分类，凡是彼此相似的矩阵属于同一类，不同的相似类之间没有公共元素．下面的定理阐明了相似类的实际意义．定理6.3.5设A,B∈Mn(F),A~B的充分必要条件是，它们是某个σ∈L(V)在两个基下的矩阵．3.相似类的实际意义第31页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三证充分性已由定理6.3.4证明．由定理6.3.1知,存在F上的n维线性空间V的一个线性变换σ,使它在V的基{α1,α2,…,αn｝下的矩阵为A．因为A～B,存在可逆矩阵T使B=T-1AT.令(β1，β2，…，βn)＝（α1，α2，…，αn）T，｛β1，β2，…，βn｝也是V的一个基．由定理6.3.4，σ在这个基下的矩阵就是T-1AT＝B．□第32页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三从上面的讨论可以知道，L(V)中的一个线性变换在不同基下的矩阵组成一个Mn(F)中的相似类与该线性变换对应；不同的线性变换与不同的相似矩阵类对应．第33页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三我们自然要问，对于线性变换σ能否找到一个基，使σ在这个基下的矩阵具有最简单的形式？换句话说，在Mn(F)的每个相似类中，能否找到一个形式最简单的矩阵？