《二元一次方程组》大单元教学设计

初中数学二元一次方程组大单元教学设计考点精析知识盘点教学目标及重难点学情及教材分析《课标》要求1.探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用方程、函数进行表述的方法，体会模型的思想，建立符号意识.2.初步学会在具体的情境中能从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.3.能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.4.掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组和简单的三元一次方程组.5.体会一次函数与二元一次方程（组）的关系，会利用待定系数法确定一次函数的表达式.《课标》要求：二元一次方程组

学生已经学习了一元一次方程和一次函数的相关知识，初步感受了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验.在此基础上，本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等，它是一元一次方程的继续和发展，同时又是今后学习线性方程组及平面解析几何等知识的基础，因此，本章的学习将使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数方法的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识.学情分析：二元一次方程组教材分析：

本章共5节。第1节二元一次方程：通过丰富的实例，建立二元一次方程和二元一次方程组，观察归纳出有关概念，并从中体会方程的模型思想；第2节解二元一次方程组：通过具体实例总结出二元一次方程组的两种基本方法：代入消元法和加减消元法；第3节二元一次方程组的应用：再次根据问题情境，进行列二元一次方程组解决实际问题的训练。使学生在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养列方程解决现实问题的意识和能力，在实际问题的解决过程中提高学生的解题技能；第4节二元一次方程与一次函数，通过对二元一次方程、二元一次方程组与一次函数关系的讨论，建立方程与函数的联系，引导学生从“图形”的角度看待二元一次方程和二元一次方程组，并通过待定系数法，利用二元一次方程组确定一次函数的表达式；第5节三元一次方程组的基本解法为选学内容，是对解二元一次方程组的拓展提升。二元一次方程组教学目标：1.经历从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想，发展学生灵活运用有关知识解决实际问题的能力，培养学生良好的数学应用意识.2.了解二元一次方程(组)的有关概念，会解简单的二元一次方程组(数字系数)；能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，并能检验解的合理性.3.体会一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系，会利用待定系数法确定一次函数的表达式.4.了解解二元一次方程组和三元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想.二元一次方程组教学重难点：1.理解“消元”思想，会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组；2、能利用二元一次方程组解决实际问题，培养分析问题和解决问题的能力；3、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解。4、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式。二元一次方程组课时安排：二元一次方程组二元一次方程组二元一次方程组与一次函数解二元一次方程组二元一次方程组的应用✳三元一次方程组1课时2课时3课时2课时2课时二元一次方程组思维导图：概念解法应用二元一次方程与一次函数三元一次方程组二元一次方程组二元一次方程二元一次方程的解二元一次方程组二元一次方程组的解代入消元法加减消元法古代数学问题数量关系问题销售问题增长率问题行程问题二元一次方程与一次函数的关系二元一次方程组与一次函数的关系三元一次方程（组）三元一次方程的解三元一次方程的解法数字问题知识盘点：二元一次方程（组）定义解(1)二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程.注意：判断一个方程是否是二元一次方程，有时需先将方程变形，将其转化为ax+by=c（其中a,b,c是常数，且a≠0,b≠0)的形式再判断.（2）二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程.注意：整个方程组中共含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数.(1)二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值.(2)二元一次方程组的解:二元一次方程组中各个方程的公共解.注意：一般情况下，二元一次方程的解有无数组，二元一次方程组的解只有一组.验证：将一组数值分别代入方程的两边，看两边的值是否相等，若相等，则这组数值是方程组的解，否则不是。知识盘点：二元一次方程组的解法代入消元法（1）定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从消元而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法。（2）步骤：一变二代三求四回代五再求六写解（1）定义：通过将两个方程相加(诚)消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法.。（2）步骤：观察系数定方法加减转化为一元解出相应未知数带入求解另一未知数写出方程组的解加减消元法知识盘点：知识盘点：二元一次方程组的应用鸡兔同笼(1)鸡的只数+兔的只数=头数；(2)鸡的只数×2+兔的只数×4=脚的只数.和差倍分(1)两数和=较大的数+较小的数；(2)较大的数=较小的数×倍数±多(或少)的数.配套问题如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍，即甲产品数/a=乙产品数/b销售问题(1)销售额=售价×销量(2)利润率=利润/进价(3)总利润=总销售额-总成本=（售价-进价)×销量（4）打折后的价格=原价×折数×1/10知识盘点：二元一次方程组的应用行船问题顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度；顺流路程=顺流速度×顺流时间；逆流路程=逆流速度×逆流时间.行程问题相遇问题追及问题速度时间路程甲xtxt乙ytyt等量关系路程之和等于总路程：s=xt+yt速度时间路程甲xtxt乙ytyt等量关系路程之差等于相距的路程：s=|xt-yt|知识盘点：二元一次方程组的应用上下坡问题甲乙数字问题(1）求解数字问题时一般采用间接设元法，即通常设组成这个多位数的各个数位上的数字.(2)一个三位数,百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c，则这个三位数可表示为100a+10b+c.(3）设x是一个两位数,y是一个三位数，若将x放在y的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为1000x+y.知识盘点：二元一次方程（组）与一次函数(1)一般地，从图象的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标。(2)如果二元一次方程组无解，那么对应的两个一次函数的图象平行(无交点)；如果二元一次方程组有一组解，那么对应的两个一次函数的图象相交（有一个交点）；如果二元一次方程组有无数个解，那么对应的两个一次函数的图象重合(有无数个交点).（1）二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)与一次函数y=kx+b(k≠0)是一一对应关系，即每个二元一次方程都可以转化为一个一次函数，反之亦然。（2）二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)的解与一次函数y=kx+b(k≠0)图象上点的坐标是一一对应的。（3）一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线。概括为：设代解写知识盘点：用二元一次方程组确定一次函数的表达式考点精析：二元一次方程的概念例1

：已知方程是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值.解析：由题意，得n-1＝1，且m-3≠0，m2-8＝1，解得n＝2，m＝-3.易错分析：解答此题时，容易只注意x，y的次数为1，而忽略了x的系数不为零，从而导致错误.例2：代入法解方程二元一次方程组:解析

由①得y＝2x＋11，③把③代入②，得4x＋3（2x＋11）＝3，解得x＝-3，把x＝-3代入③，得y＝5，∴原方程组的解为考点精析：代入消元法解二元一次方程组例3：用加减消元法解方程组3(x-1)=4(y-4)，5(y-1)=3(x+5).解：化简整理得3x-3=4y-16，①3x+15=5y-5，②由②-①得

18=y+11,解得y=7,把y=7代入①得3x=28-16+3,解得x=5.由此可得二元一次方程组的解为x=5，y=7.考点精析：加减消元法解二元一次方程组【归纳拓展】①代入消元法是将其中的一个方程写成“y=”或“x=”的形式，并把它代入另一个方程，得到一个关于x或y的一元一次方程求得x或y值.②加减消元法是通过两个方程两边相加（或相减）消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程.例4：若和的和是单项式，则=（）。解：根据题意可知：由①+②得

把

代入①得考点精析：解二元一次方程组的综合应用①②所以例5

：已知关于x，y的方程组和有相同解，求(-a)b的值.考点精析：二元一次方程组的同解问题解析

因为两组方程组有相同的解，所以可得方程组（1）方程组（2）解方程组（1），得将代入方程组（2），得

解得所以（-a）b＝（-2）3＝-8.点拨:因为两个方程组有相同的解，所以只要将两个方程组重组，将不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值.考点精析：二元一次方程组的同解问题考点精析：列二元一次方程组解应用题数学问题的解（二元一次方程组的解）实际问题

设未知数，列方程组数学问题（二元一次方程组）解方程组检验实际问题的答案

代入法加减法（消元）解题思路：行程问题例6

A、B两码头相距140km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7h，逆水航行用了10h.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.考点精析：列二元一次方程组解应用题解析

设轮船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h.由题意，得解得所以这艘轮船在静水中的速度为17km/h，水流速度为3km/h.点拨：解本题的关键是找到顺水速度、逆水速度和船在静水中的速度、水流速度之间的关系，再结合公式“路程＝速度时间”列方程组.考点精析：列二元一次方程组解应用题考点精析：一次函数与二元一次方程组的解的关系例7：

如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b和y＝mx＋n的图象相交于点（2，-1），则关于x、y的方程组的解是（

）A.B.C.D.解析

两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的方程组的解，从题图上看，两直线交点的坐标为（2，-1），因此方程组的解是.考点精析：一次函数与二元一次方程组的解的关系例8：

如图所示，已知点A（6，0）、点B（0，2）.（1）求直线AB所对应的函数表达式；（2）若C为直线AB上一动点，当△OBC的面积为3时，试求点C的坐标.考点精析：待定系数法解析

（1）设直线AB所对应的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0），根据题意，得，解得∴直线AB所对应的