2021年北京丰台第五小学高三数学文联考试题含解析

2021年北京丰台第五小学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步，程序和在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（

）A．种

B．种

C．种

D．种参考答案：C2.已知，，则中的元素个数为（

）A.1 B.2 C.6 D.8参考答案：B【分析】先化简集合B并求出其补集，然后和集合A进行交集计算.【详解】解：，或，，，的元素个数为2个.故选:.【点睛】本题考查了的交集、补集的运算，属于基础题．3.直线与曲线相切于点A（1，3），则2a+b的值为（

）A.2 B.-1 C.1

D.-2参考答案：C4.设等差数列{an}的前n项和为Sn若，是方程的两根，则(

)A.18 B.19 C.20 D.36参考答案：A【分析】由，是方程的两根，得，再根据等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，，是方程的两根，则，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和，其中解答中熟记等差数列的性质，合理利用等差数列的求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.已知p，q∈R，则“q＜p＜0”是“||＜1”的(

) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答： 解：∵“q＜p＜0”，∴0＜＜1，则||＜1成立，即充分性成立，若当q=2，p=﹣1时，满足||＜1，但q＜p＜0不成立，即必要性不成立，故“q＜p＜0”是“||＜1”充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．6.函数A.图象无对称轴,且在R上不单调B.图象无对称轴,且在R上单调递增C.图象有对称轴,且在对称轴右侧不单调D.图象有对称轴,且在对称轴右侧单调递增参考答案：D略7.关于函数，下列说法正确的是A．是奇函数且x=-1处取得极小值

B．是奇函数且x=1处取得极小值C．是非奇非偶函数且x=-1处取得极小值D．是非奇非偶函数且x=1处取得极小值参考答案：D略8.设双曲线交双曲线的两渐近线于点A、B，且，则双曲线的离心率为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B9.命题P：将函数个单位得到函数的图象；命题Q：函数的最小正周期，则复合命题“P∨Q”，“P∧Q”，“P”为真命题的个数是

（

）

A．1 B．2

C．3 D．4参考答案：答案：B10.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，几何体的直观图是底面为边长为3的正方形，高为1的四棱锥，即可求出体积．【解答】解：由三视图可得，几何体的直观图是底面为边长为3的正方形，高为1的四棱锥，体积为=3，故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在直角三角形中,,点是斜边上的一个三等分点,则_______________.参考答案：412.设：函数在区间上单调递增；，如果“┐p”是正真命题，那么实数的取值范围是

。参考答案：答案：13.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱，P为上底面A1B1C1D1上的动点，给出下列四个结论：①若，则满足条件的P点有且只有一个；②若，则点P的轨迹是一段圆弧；③若PD∥平面ACB1，则PD与平面ACC1A1所成角的正切的最大值为；④若PD∥平面ACB1，则平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得图形面积最大值为.其中所有正确结论的序号为

．参考答案：

①②③14.（5分）（2014?陕西）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsin（θ﹣）=1的距离是．参考答案：1【考点】：点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：把极坐标化为直角坐标的方法，利用点到直线的距离公式求得结果．解析：根据极坐标和直角坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得点（2，）即（，1）；直线ρsin（θ﹣）=1即﹣x+y=1，即x﹣y+2=0，故点（，1）到直线x﹣y+2=0的距离为=1，故答案为：1．【点评】：本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．15.给输入0，输入1,则下列伪代码程序输出的结果为▲参考答案：2,416.已知等比数列是递增数列，是的前项和，若，是方程的两个根，则

．参考答案：.6317.定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线上的点到直线的距离，已知曲线到直线的距离等于曲线到直线的距离，则实数______________.参考答案：【知识点】点到直线的距离；用导数求切线方程

H2

B11【答案解析】

解析：曲线到直线的距离为圆心到直线的距离与圆的半径之差，即，由可得，令，则.在曲线上对应的点，所以曲线到直线的距离即为点到直线的距离，故，所以，可得|，当时，曲线与直线相交，两者距离为0，不合题意，故.故答案为：【思路点拨】先根据定义求出曲线到直线的距离，然后根据曲线的切线与直线平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．参考答案：【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．19.已知直线l：为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且两坐标系中具有相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=a（a＞﹣3）（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l有唯一公共点，求实数a的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=a（a＞﹣3），把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入化为直角坐标方程．（II）直线l：为参数），消去参数t，化为普通方程．利用直线与圆相切的充要条件即可得出．【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=a（a＞﹣3），化为直角坐标方程：x2+y2﹣2y=a，配方为：x2+=3+a＞0．（II）直线l：为参数），消去参数t，化为普通方程：﹣y=0．∵曲线C与直线l有唯一公共点，∴圆心到直线l的距离d==3+a，解得a=﹣3．20.已知函数，（1）判断曲线在点（1，）处的切线与曲线的公共点个数；（2）若函数有且仅有一个零点，求的值；（3）若函数有两个极值点，且，求的取值范围参考答案：（1）由已知得曲线在点（1，）处的切线方程为

代入得所以，当或时，有两个公共点；当或时，有一个公共点；当时，没有公共点

（2）=，由得令，

所以，在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增

因此，

（3）=，令=∴，即有两个不同的零点，令=且当时，随的增大而增大；当时，所以，，此时

即时，

略21.给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆”.已知点是椭圆上的点（1）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，求被椭圆的伴随圆所截得的弦长：（2）是椭圆上的两点，设是直线的斜率，且满足，试问：直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由。参考答案：（1）因为点是椭圆上的点.即椭圆伴随圆当直线的斜率不存在时：显然不满足与椭圆有且只有一个公共点当直接的斜率存在时：设直线与椭圆联立得由直线与椭圆有且只有一个公共点得解得，由对称性取直线即圆心到直线的距离为直线被椭圆的伴随圆所截得的弦长（2）设直线的方程分别为设点联立得则得同理斜率同理因为所以

三点共线22.已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO=2，AB=2CD=2，E、F分别是AB、AP的中点．（1）求证：AC⊥EF；（2）求二面角F﹣OE﹣A的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用EF与AO的方向向量的数量积等于0，即可证明垂直；（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的余弦值．【解答】（1）证明：由ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，可知：△OAB是等腰直角三角形，∵AB=2CD=2，E是AB的中点，∴OE=EA=EB=，可得OA=OB=2．