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2021年河南省信阳市黎集高级中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.
设函数,其中是的反函数,则对任意实数,是的(
)
A.充分必要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件参考答案:答案:A2.已知双曲线与圆交于A、B、C、D四点,若四边形ABCD是正方形,则双曲线的离心率是
(▲)(A)
(B)
(C)
(D)参考答案:A3.若为不等式组表示的平面区域,则当的值从连续变化到时,动直线扫过的中的那部分区域的面积为
.参考答案:略4.下列函数中,周期为1的奇函数是()
参考答案:D5.复数的实部与虚部的和为1,则实数a的值为
(
)
(A)1
(B)2
(C)l
(D)2参考答案:A略6.设F1、F2是椭圆的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()A. B. C. D.参考答案:C【考点】椭圆的简单性质.【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,根据P为直线x=上一点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率.【解答】解:∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C.7.如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别是DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中:①DE与MN平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的个数是(
)A.1
B.
2
C.
3
D.4参考答案:C分析:正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B、C)﹣DEF,①,依题意,MN∥AF,而DE与AF异面,从而可判断DE与MN不平行;②,假设BD与MN共面,可得A、D、E、F四点共面,导出矛盾,从而可否定假设,肯定BD与MN为异面直线;③,依题意知,GH∥AD,MN∥AF,∠DAF=60°,于是可判断GH与MN成60°角;④,连接GF,那么A点在平面DEF的射影肯定在GF上,通过线面垂直得到线线垂直.详解:将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B、C)﹣DEF,如图:对于①,M、N分别为EF、AE的中点,则MN∥AF,而DE与AF异面,故DE与MN不平行,故①错误;对于②,BD与MN为异面直线,正确(假设BD与MN共面,则A、D、E、F四点共面,与ADEF为正四面体矛盾,故假设不成立,故BD与MN异面);对于③,依题意,GH∥AD,MN∥AF,∠DAF=60°,故GH与MN成60°角,故③正确;对于④,连接GF,A点在平面DEF的射影A1在GF上,∴DE⊥平面AGF,DE⊥AF,而AF∥MN,∴DE与MN垂直,故④正确.综上所述,正确命题的序号是②③④,故答案为:②③④.
8.设随机变量,则实数的值为(
)参考答案:B9.函数y=+1(x≥1)的反函数是(
)A.y=x2-2x+2(x<1
B.y=x2-2x+2(x≥1C.y=x2-2x(x<1
D.y=x2-2x(x≥1参考答案:答案:B10.设,,,当,且时,点在(
)
A.线段AB上
B.直线AB上C.直线AB上,但除去A点
D.直线AB上,但除去B点参考答案:B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数.①当时,若函数f(x)有且只有一个极值点,见实数a的取值范围是______;②若函数f(x)的最大值为1,则a=______.参考答案:(-∞,1)
±1【分析】①首先求出当时的极值点,根据题意即可得到的取值范围.②分别讨论当,和时,求出函数的最大值,比较即可求出的值.【详解】①当时,.,令,解得.因为函数在有且只有一个极值点,所以.②当时,,此时,舍去.当时,,.,..所以,因为,所以.当时,,.,令,解得.,,为增函数,,,为减函数..,..当时,即,,解得.当当时,即,,解得,舍去.综上所述:.故答案为:,【点睛】本题主语考查利用导数求含参函数的极值点和最值,分类讨论是解题的关键,属于难题.12.如果复数的实部与虚部互为相反数,则实数
.参考答案:-313.函数f(x)若f(x)的两个零点分别为x1,x2,则|x1﹣x2|=.参考答案:3【考点】函数零点的判定定理.【分析】作出函数y=log4x和y=3﹣x的图象交点A,作出y=()x与y=x+3的交点B,y=4x与y=3﹣x的交点C,根据A,B,C之间的对称关系得出x1,x2的关系.【解答】解:当x>0时,令f(x)=0得log4x=3﹣x,作出函数y=log4x和y=3﹣x的函数图象,设交点为A(x1,y1),当x<0时,令f(x)=0得()x=x+3,作出函数y=()x和y=x+3的函数图象,设交点为B(x2,y2),显然x1>x2.作函数y=4x的函数图象,与y=3﹣x的图象交于C(x0,y0)点.∵y=()x与y=4x的函数图象关于y轴对称,y=x+3与y=3﹣x的图象关于y轴对称,∴B,C关于y轴对称,∴x0=﹣x2,y0=y2,∵y=4x与y=log4x互为反函数,∴y=4x与y=log4x的函数图象关于直线y=x对称,又y=3﹣x关于y=x对称,∴A,C关于直线y=x对称.∴x0=y1,y0=x1.∴x2=﹣y1,∴|x1﹣x2|=x1﹣x2=x1+y1,又A(x1,y1)在直线y=3﹣x上,∴x1+y1=3.故答案为:3.14.已知,是虚数单位.若,则______.参考答案:15.设,其中实数满足,若的最大值为12,则实数_______。参考答案:
16.已知是定义在上的奇函数,则的值域为
.参考答案:17.如图,正方体ABCD—的棱长为1,M是的中点,则下列四个命题:
①直线与平面所成的角等于45°;
②四面体在正方体六个面内的摄影图形面积的最小值为;
③点M到平面的距离是;④BM与所成的角为,其中真命题的序号是____________________。参考答案:答案:①②④解析:如图,①知直线BC与面所成的角即为∠,故①正确。②易知四面体在四个侧面的摄影图形面积均最小,为正方形面积之半,故②正确③点M到平面的距离,即为点到平面的距离。其等于,故③不正确。④易知BM与所成的角,即为BM与所成的角,设∠∠易知,,即,故④正确。三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.在△ABC中,角的对边分别为,已知,且成等比数列。(I)求+的值;(II)若,求的值。参考答案:(1)∵成等比数列,∴,由正弦定理得,……3分∴
.……7分(2)由得,∵,∴,∴,∴,……10分由余弦定理得,∴,即,∴,
∴……………14分
略19.(本小题满分12分)
已知,与的夹角为。(1)求与方向上的投影;(2)与的夹角为锐角,求的取值范围。参考答案:20.(本小题满分13分)(1)解关于x的不等式;(2)记(1)中不等式的解集为A,函数
的定义域为B.若,求实数a的取值范围.参考答案:略21.已知函数f(x)=lnx-mx(mR).(1)若曲线y=f(x)过点P(1,-1),求曲线y=f(x)在点P处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;(3)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,求证:x1x2>e2.参考答案:
函数的最小值大于零,即可得证.(3)不妨
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