线性代数二次型和对称矩阵的有定性_第1页
线性代数二次型和对称矩阵的有定性_第2页
线性代数二次型和对称矩阵的有定性_第3页
线性代数二次型和对称矩阵的有定性_第4页
线性代数二次型和对称矩阵的有定性_第5页
已阅读5页，还剩16页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

线性代数二次型和对称矩阵的有定性第1页，课件共21页，创作于2023年2月一、正定二次型正定矩阵定义由定义，可得以下结论：

充分性是显然的；下面用反证法证必要性：

代入二次型，得

2第2页，课件共21页，创作于2023年2月由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性变换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性。

3第3页，课件共21页，创作于2023年2月定理推论实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全为正。☎正定矩阵。这是因为：4第4页，课件共21页，创作于2023年2月解例1判别二次型是否正定。二次型对应的矩阵为

5第5页，课件共21页，创作于2023年2月全为正，

因此二次型正定。

6第6页，课件共21页，创作于2023年2月定理设矩阵A正定，则

（1）A的主对角元全为正；

证明7第7页，课件共21页，创作于2023年2月上述定理是A正定的必要条件，但不是充分条件。

定理8第8页，课件共21页，创作于2023年2月解例2判别二次型是否正定。二次型对应的矩阵为

它的顺序主子式为：

因此

A是正定的，

即二次型

f正定。

9第9页，课件共21页，创作于2023年2月解例3设有实二次型

问

t

取何值时，该二次型为正定二次型？

f的矩阵为顺序主子式为：

解得10第10页，课件共21页，创作于2023年2月☎实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使得

实际上，正定二次型的规范形为即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E，即存在可逆矩阵C，使11第11页，课件共21页，创作于2023年2月☎证因为于是12第12页，课件共21页，创作于2023年2月2、其它有定二次型定义如果二次型不是有定的，就称为不定二次型。

13第13页，课件共21页，创作于2023年2月显然，A是负定（半负定）的当且仅当-A是正定（半正定）的。由此，容易得出以下结论：

（2）A负定的充分必要条件是A的特征值全负；

（3）A半负定的充分必要条件是A的特征值非正；

（4）A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；

（1）A半正定的充分必要条件是A的特征值非负；

（5）若A负定，则A的对角元全为负。

注意:1.最后一条只是必要条件。2.A的顺序主子式全非负，A也未必是半正定的。14第14页，课件共21页，创作于2023年2月例如，设矩阵显然A的顺序主子式但对角元有正有负，显然A是不定的。15第15页，课件共21页，创作于2023年2月例5判定下列二次型是否是有定二次型。

解（1）f的矩阵为

顺序主子式

所以

f是负定的。16第16页，课件共21页，创作于2023年2月例5判定下列二次型是否是有定二次型。

解（2）f的矩阵为

顺序主子式

所以

f是不定的。17第17页，课件共21页，创作于2023年2月练习：P222习题五18第18页，课件共21页，创作于2023年2月ENDEND19第19页，课件共21页，创作于2023年2月选用例题1、解C是正定的。且C是实对称阵，故C是正定矩阵。

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 备课教案

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论