福州大学有限元考试题

2017年福州大学研究生有限元试卷(第五组)一、 判断题(共10题，每小题1分，共10分)(V)1.四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标X、y的一次函数。(V)2.在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。(X)3.有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。(X)4.平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案。(X)5.不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型。(V)6.在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。(V)7.等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。(X)8.所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度。(X)9.在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。(V)10.在平面三结点三角形单元中，位移、应变和应力具有位移呈线形变化，应力和应变为常量特征。二、 简答题(50分)(前面5题每小题8分，最后一题10分，共50分)何为平面应力问题，何为平面应变问题？平面应力：几何特征：一个方向的尺寸比另外两个尺寸小的多，如薄平板。外力和约束仅平行于板面作用(外力只作用在板的周面)，而且垂直于板面不受应力。平面应变：几何特征:一个方向的尺寸比另外两个尺寸大得多，如圆柱体或者厚壁圆筒。外力作用方向垂直于轴线，物体沿长度方向不发生变形。什么是等参单元？等参单元有哪些特点？等参数单元(简称等参元)就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型单元。用于有限元法的分析。特点：

a） 可以模拟曲线和曲面边界，适用于处理各种复杂边界条件。b） 这种单元具有较高次的位移模式，能更好地反映结构的复杂应力分布情况，计算精度较好。c） 推导过程具有通用性。一维、二维、三维的推导方法基本相同d） 适用范围广。在平面和空间连续体、杆结构、板壳问题中都可以使用e） 可以灵活的增减结点，容易构造各种过渡单元。优点：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。（3）证明三节点三角形是完备协调单兀？完备单元：位移函数必须包括单元的刚体位移位移函数必须包括单元的常应变协调单元：位移函数在单元内必须连续，在相邻单元间必须协调三节点三角形单元的位移函数为a1a1 a2xa3y a a2xa5 a3ya5 a32TOC\o"1-5"\h\za5 a3 a5 a3a4 s^x a6y a° aey - -x- -x22则应变x a2xy a6yxy a3a5yx以上式子体现了弹性体的位移和常应变，所以三结点三角形单元是完备单元。由于位移函数是多项式，所以位移在单元内是连续的，任意的两个相邻的三角形单元的结点是相同的，又因为位移函数在单元内是线性函数，在公共边上也是线性函数。所以相邻单元之间是协调的。综上，三结点三角形单元是完备协调单元。⑷整体刚度矩阵的性质a） 对称性b） 稀疏性c） 非零元素呈带状分布d） 奇异性e） 主对角线元素全为正数（5） 有限元划分网格应该注意哪些问题？f） 单元长细比最好不大于2g） 集中力作用点，分布载荷突变点，约束支承点应选为节点h） 应力变化激烈区域划分细一些，应力变化平缓区划分粗一些i） 在计算数据变化梯度较大的部位（如应力集中处），为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格。j） 为了兼顾计算精度和计算量，同一结构可以采用不同阶次的单元，即精度要求高的重要部位用高阶单元，精度要求低的次要部位用低阶单元。k） 单元在交界面处必须协调。l） 应当利用结构的对称性和反对称性划分网格。（6） 有限元分析的步骤及应注意的问题？a） 结构的离散化b） 选择位移模式c） 分析单元的力学特性d） 集合所有单元平衡方程，得到整体结构的平衡方程e） 由平衡方程求解未知节点位移f） 单元应变和应力的计算三、计算题（每小题20分，共40分）1•如图桁架单元，结点坐标如图所示，已知面积A10cm2，材料E2.0GPa，整体坐标下的位移为e1.51.02.04.0 102cm。试确定两结点的轴向位'e和杆的应力。

解:l x22Xiy2 yi2 50102 40102 50(cm)X2Xi5010cos0.81150y2y4010sin0.6l 502）求结点位移由式（13-16），注意到v'i v'j0，得Ui'eu'icossin00ViU'j00cossinUjVj1.50.80.6001.021.821010(cm)000.80.62.04.04.03）求解杆应力Ecoslsincos・ esin1.592101.02620.80.60.80.6102 8.8106N/cm2502.04.02.—长方形薄板如图所示。其两端受均匀拉伸P。板长12cm,宽4cm,厚1cm。材料E2.0105MPa，泊松比0.3。均匀拉力p5MPa。使用有限元法求解板的内应力，并和精确解比较（提示：可利用结构对称性，并用2个三角形单元对结构进行离散）。P-— —0

23 4单元号121201223 4单元号1212012相邻结点130 442234解：结点编号1X坐标0Y坐标021 xi y2平面三角形单元的面积均为1 x2 y2 0.0024 m1 X3 y3D0.65932.1978 0 102.19780.6593 0D0.65932.1978 0 10应力矩阵为：000.7692单兀1的应变距阵为:16.6667016.6667 000B⑴ 025000252516.6667016.6667250111.30950.71430.73260.38460.57690.32970.71431.90480.32970.25640.38461.6484K⑴0.73260.32970.7326000.32970.38460.258400.25640.384600.57290.384600.38460.576900.32971.64840.3297001.6484单元1的单元刚度矩阵为:单元2的应变距阵为:1090016.6667016.66670b(2)025025002502516.6667016.6667单元2的单元刚度矩阵为:0.5769001.64840.57690.32970.38461.6484(2)0.57690.32971.30950.7143K(2)0.38461.64840.71431.904800.32970.73260.32970.384600.38460.25640.0525,0.15,0.07265100.0525,0.15,0.07265105m1.30950.71430.73260.38460.71431.90480.32970.25640.73260.32971.309500.38460.256401.9048K0.57690.384600.71430.32971.64840.71430000.57690.3297000.38461.6484位移分量为：810,v1,u2,v2,0,v3,u4,v4载荷列阵为：R81 Fx1,0,1000,0,Fx3,0,1000,0因为R81K8881可以得810,0.0649,0.15,0.0369,0,00.38460.329700.73260.384691090.32970.25640.7326000.25640.57690.3297000.38461.64840000.71430.57690.38460.714300.32971.648491091.309500.73260.329701.90480.38460.