第三章 方差分析

第三章方差分析第1页，课件共92页，创作于2023年2月第三章方差分析第一节

方差分析的基本原理第二节

单向分组的方差分析第三节

多重比较第2页，课件共92页，创作于2023年2月第一节方差分析的基本原理[例3-1]第3页，课件共92页，创作于2023年2月第一节方差分析的基本原理不同肥料处理对苗木高度的影响[例3-2]总差异组内差异组间差异抽样误差处理误差第4页，课件共92页，创作于2023年2月总变异（Totalvariation）：全部测量值

与总均数间的差异组间变异（betweengroupvariation）：各组的均数与总均数间的差异组内变异（withingroupvariation)：每组的每个测量值与该组均数的差异YijYij第一节方差分析的基本原理第5页，课件共92页，创作于2023年2月第一节方差分析的基本原理将所有测量值间的总变异按照其变异的来源分解为多个部分，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。第6页，课件共92页，创作于2023年2月组间变异总变异组内变异第一节方差分析的基本原理第7页，课件共92页，创作于2023年2月

ANOVA由英国统计学家R.A.Fisher首创，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称F检验（Ftest）。用于推断多个总体均数有无差异第一节方差分析的基本原理第8页，课件共92页，创作于2023年2月

将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要将总均方分解为处理间均方和处理内均方。总离均差平方和，简称为总平方和，剖分成处理间平方和与处理内平方和两部分；总自由度，剖分成处理间自由度与处理内自由度两部分来实现的。第一节方差分析的基本原理第9页，课件共92页，创作于2023年2月三种“变异”之间的关系离均差平方和分解：第一节方差分析的基本原理第10页，课件共92页，创作于2023年2月总平方和的剖分反映全部观测值总变异的总平方和是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，记为SST。即因为

其中第一节方差分析的基本原理第11页，课件共92页，创作于2023年2月所以（6-1）式中，为各处理平均数与总平均数的离均差平方和与重复数n的乘积，反映了重复n次的处理间变异，称为处理间平方和，记为SSA，即（6-2）式中，为各处理内离均差平方和之和，反映了各处理内的变异即误差，称为处理内平方和或误差平方和，记为SSe，即（6-3）第一节方差分析的基本原理第12页，课件共92页，创作于2023年2月则有SST=SSa+SSe

（6-4）(6-4)是单因素试验结果总平方和、处理间平方和、处理内平方和的关系式。这个关系式中三种平方和的简便计算公式如下：

（6-5）其中，C为矫正数。第一节方差分析的基本原理第13页，课件共92页，创作于2023年2月总自由度的剖分

在计算总平方和时，资料中的各个观测值要受这一条件的约束，故总自由度等于资料中观测值的总个数减一，即an-1。总自由度记为dfT，即dfT=an-1。在计算处理间平方和时，各处理均数要受这一条件的约束，故处理间自由度为处理数减一，即a-1。处理间自由度记为dft，即dfA=a-1。在计算处理内平方和时，要受a个条件的约束，即（i=1,2,…,a）。故处理内自由度为资料中观测值的总个数减a，即an-a。处理内自由度记为dfe，即dfe=an-a=a(n-1)第一节方差分析的基本原理第14页，课件共92页，创作于2023年2月因为所以

综合以上各式得：

第一节方差分析的基本原理第15页，课件共92页，创作于2023年2月

均方差，均方(meansquare，MS)变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等，因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值称为均方差，简称均方(meansquare，MS)。组间均方和组内均方的计算公式为:

总均方一般不等于处理间均方加处理内均方。MS总≠MS组间+MS组内第一节方差分析的基本原理第16页，课件共92页，创作于2023年2月F分布与F测验（一）F分布设想我们作这样的抽样试验，即在一正态总体N（μ，σ2）中随机抽取样本含量为n的样本a个。此时所谓的各处理没有真实差异，各处理只是随机分的组。因此，和都是误差方差的估计量。以为分母，为分子，求其比值。统计学上把两个均方之比值称为F值。即

F具有两个自由度第一节方差分析的基本原理第17页，课件共92页，创作于2023年2月若在给定的a和n的条件下，继续从该总体进行一系列抽样，则可获得一系列的F值。这些F值所具有的概率分布称为F分布（Fdistribution）。F分布密度曲线是随自由度df1、df2的变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随着df1、df2的增大逐渐趋于对称，如图6-1所示。第一节方差分析的基本原理第18页，课件共92页，创作于2023年2月附表5列出的是不同df1和df2下，P（F≥）=0.05和P（F≥）=0.01时的F值，即右尾概率α=0.05和α=0.01时的临界F值，一般记作，。如查附表5，当df1=3，df2=18时，F0.05(3,18)=3.16，F0.01(3,18)=5.09，表示如以df1=dft=3，df2=dfe=18在同一正态总体中连续抽样，则所得F值大于3.16的仅为5%，而大于5.09的仅为1%。第一节方差分析的基本原理第19页，课件共92页，创作于2023年2月F检验附表5是专门为检验代表的总体方差是否比代表的总体方差大而设计的。若实际计算的F值大于，则F值在α=0.05的水平上显著，我们以95%的可靠性(即冒5%的风险)推断代表的总体方差大于代表的总体方差。这种用F值出现概率的大小推断两个总体方差是否相等的方法称为F检验(F-test)。在方差分析中所进行的F检验目的在于推断处理间的差异是否存在，检验某项变异因素的效应方差是否为零。因此，在计算F值时总是以被检验因素的均方作分子，以误差均方作分母。第一节方差分析的基本原理第20页，课件共92页，创作于2023年2月实际进行F检验时，是将由试验资料所算得的F值与查附表5所得的临界F值，相比较作出统计推断的。若F＜，各处理间差异不显著，在F值的右上方标记“ns”，或不标记符号；若≤F＜，各处理间差异显著，在F值的右上方标记“*”；若F≥，各处理间差异极显著，在F值的右上方标记“**”。第一节方差分析的基本原理第21页，课件共92页，创作于2023年2月第一节方差分析的基本原理第22页，课件共92页，创作于2023年2月a:水平数n:每个处理测定重复数第一节方差分析的基本原理第23页，课件共92页，创作于2023年2月第一节方差分析的基本原理第24页，课件共92页，创作于2023年2月方差分析的基本思想根据研究目的和设计类型，将总变异中的离均差平方和SS及其自由度分别分解成相应的若干部分，然后求各相应部分的变异；再用各部分的变异与组内（或误差）变异进行比较，得出统计量F值；最后根据F值的大小确定P值，作出统计推断。第一节方差分析的基本原理第25页，课件共92页，创作于2023年2月整个方差分析的基本步骤（1）建立检验假设；

H0：多个样本总体均数相等。

H1：多个样本总体均数不相等或不全等。

检验水准为0.05。（2）计算检验统计量F值；（3）确定P值并作出推断结果。第一节方差分析的基本原理第26页，课件共92页，创作于2023年2月方差分析的检验假设H0为各样本来自均数相等的总体，H1为各总体均数不等或不全相等。

若不拒绝H0时，可认为各样本均数间的差异是由于抽样误差所致，而不是由于处理因素的作用所致。理论上，此时的组间变异与组内变异应相等，两者的比值即统计量F为1；由于存在抽样误差，两者往往不恰好相等，但相差不会太大，统计量F应接近于1。若拒绝H0，接受H1时，可认为各样本均数间的差异，不仅是由抽样误差所致，还有处理因素的作用。此时的组间变异远大于组内变异，两者的比值即统计量F明显大于1。在实际应用中，当统计量F值远大于1且大于某界值时，拒绝H0，接受H1，即意味着各样本均数间的差异，不仅是由抽样误差所致，还有处理因素的作用。第一节方差分析的基本原理第27页，课件共92页，创作于2023年2月欲比较毛白杨4个无性系的生长量，每个无性系随机抽查3株，结果如下表，试判断4个无性系间是否存在差异。[例3-3]课堂练习第一节方差分析的基本原理第28页，课件共92页，创作于2023年2月不同肥料处理对苗木高度的影响[例3-2]第一节方差分析的基本原理第29页，课件共92页，创作于2023年2月1.建立检验假设

H0：4种肥料处理苗高总体均数相等。

H1：4种肥料处理的苗高均数不相等或不全等。2.计算检验统计量F值（1）自由度和平方和的分解

总变异自由度DFT=na-1=6×4-1=23

处理间自由度DFa=a-1=4-1=3

误差(处理内)自由度DFe=a(n-1)=4×(6-1)=20第一节方差分析的基本原理第30页，课件共92页，创作于2023年2月第一节方差分析的基本原理第31页，课件共92页，创作于2023年2月方差分析第一节方差分析的基本原理第32页，课件共92页，创作于2023年2月（2）F测验查F表当V1=3，V2=20时，F0.01=4.94，现实得F=8.46＞F0.01

3.作出结论推断出这个试验的处理平均数间是有极显著差异的。即否定H0，承认H1。第一节方差分析的基本原理第33页，课件共92页，创作于2023年2月作一水稻施肥的盆栽试验，设5个处理，A和B系分别施用两种不同工艺流程的氨水，C施碳酸氢铵，D施尿素，E不施氮肥。每处理4盆(施肥处理的施肥量每盆皆为折合纯氮1.2克)，共5×4=20盆，随机放置于同一网室中，其稻谷产量(克/盆)列于表6.11，试测验各处理平均数的差异显著性。[例3-4]第一节方差分析的基本原理第34页，课件共92页，创作于2023年2月

水稻施肥盆栽试验的产量结果第一节方差分析的基本原理第35页，课件共92页，创作于2023年2月分析步骤：1.建立检验假设

H0：5种肥料处理水稻产量总体均数相等。

H1：5种肥料处理水稻产量均数不相等或不全等。2.计算检验统计量F值(1)自由度和平方和的分解

总变异自由度DFT=na-1=5×4-1=19

处理间自由度DFA=k-1=5-1=4

误差(处理内)自由度DFe=a(n-1)=5×(4-1)=15第一节方差分析的基本原理第36页，课件共92页，创作于2023年2月第一节方差分析的基本原理第37页，课件共92页，创作于2023年2月第一节方差分析的基本原理第38页，课件共92页，创作于2023年2月(2)F测验将上述结果录入上表,计算处理间均方对误差均方的比率，算得F=75.3/6.73=11.19，查F表当V1=4，V2=15时，F0.01=4.89，现实得F=11.19＞F0.01

，推断这个试验的处理平均数间是有极显著差异的。即否定H0，承认H1。第一节方差分析的基本原理第39页，课件共92页，创作于2023年2月

某林业研究所为了比较四种肥料对某一苗木施肥效果，选取了条件基本相同的苗木20株，随机分成四组，施用不同肥料，经五个月试验以后，各株苗木增长的结果列于下表。[例3-5]施用4种肥料对苗木高度增长量的影响第一节方差分析的基本原理第40页，课件共92页，创作于2023年2月这是一个单因素试验，处理数a=4，重复数n=5。各项平方和及自由度计算如下：矫正数总平方和

处理间平方和处理内平方和第一节方差分析的基本原理第41页，课件共92页，创作于2023年2月总自由度处理间自由度处理内自由度用SSa、SSe分别除以dfa和dfe便得到处理间均方MSa及处理内均方MSe。第一节方差分析的基本原理第42页，课件共92页，创作于2023年2月因为F=MSa/MSe=38.09/5.34=7.13；根据df1=dft=3，df2=dfe=16查附表5，得F＞F0.01(3，16)=5.29,

表明四种肥料对苗高的增长效果差异极显著。在方差分析中，通常将变异来源、平方和、自由度、均方和F值归纳成一张方差分析表。表中的F值应与相应的被检验因素齐行。因为经F检验差异极显著，故在F值7.13右上方标记“**”。在实际进行方差分析时，只须计算出各项平方和与自由度，各项均方的计算及F值检验可在方差分析表上进行。第一节方差分析的基本原理第43页，课件共92页，创作于2023年2月第三章不同肥料处理对苗木高度的影响[例3-2]第二节

单向分组资料的方差分析比较例3-2、3-6有什么不同----组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析第44页，课件共92页，创作于2023年2月不同肥料处理对苗木高度的影响(dm)第二节

单向分组资料的方差分析[例3-6]----组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析第45页，课件共92页，创作于2023年2月组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析在a组处理中，每处理皆含有n个供试单位的资料。n1=n2=n3=n4=…ni=n第二节

单向分组资料的方差分析组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析若a个处理中的观察值数目不等，分别为n1，n2，…，na，在方差分析时有关公式因ni不相同而需作相应改变。

第46页，课件共92页，创作于2023年2月若a个处理中的观察值数目不等，分别为n1，n2，…，na，在方差分析时有关公式因ni不相同而需作相应改变。主要区别点如下：

自由度和平方和的分解第二节

单向分组资料的方差分析

----组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析

总变异自由度组间变异自由度组内变异自由度第47页，课件共92页，创作于2023年2月第二节

单向分组资料的方差分析

----组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析

第48页，课件共92页，创作于2023年2月不同肥料处理对苗木高度的影响(dm)第二节

单向分组资料的方差分析

----组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析

[例3-6]第49页，课件共92页，创作于2023年2月建立检验假设

H0：4种肥料处理苗高总体均数相等。

H1：4种肥料处理的苗高均数不相等或不全等。第二节

单向分组资料的方差分析

----组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析

第50页，课件共92页，创作于2023年2月矫正系数总平方和处理间平方和处理间平方和组内离均差平方和第二节

单向分组资料的方差分析

----组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析

第51页，课件共92页，创作于2023年2月该资料=6+6+7+7=26

故总变异自由度DFT=Σni-1=26-1=25不同肥料处理间自由度DFa=a-1=4-1=3误差自由度DFe=Σni-k=25-3=22第二节

单向分组资料的方差分析

----组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析

第52页，课件共92页，创作于2023年2月处理间均方处理内均方方差分析表第二节

单向分组资料的方差分析

----组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析

第53页，课件共92页，创作于2023年2月标准差与标准误标准差（standarddeviation）是随机误差的代表，是随机误差绝对值的统计均值。标准误（standarderror）是在抽样试验中常用到的样本平均数的标准差，也就是样本平均数的标准误，简称为标准误。标准差：表示个体间变异大小的指标，是衡量数据精密程度的指标。标准误：反映样本均数对总体均数的变异程度，是度量结果精密度的指标。标准误=Excel中只有计算standdeviation的公式（=stdev()），没有计算standerror的函数。

第54页，课件共92页，创作于2023年2月第55页，课件共92页，创作于2023年2月[例3-7]

某病虫测报站，调查四种不同类型的水稻田28块，每块田所得稻纵卷叶螟的百丛虫口密度列于下表，试问不同类型稻田的虫口密度有否显著差异？不同类型稻田纵卷叶螟的虫口密度

第二节

单向分组资料的方差分析

----组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析

第56页，课件共92页，创作于2023年2月该资料=7+6+8+7=28

故总变异自由度DFT=Σni-1=28-1=27稻田类型间自由度DFa=a-1=4-1=3误差自由度DFe=Σni-k=27-3=24第二节

单向分组资料的方差分析

----组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析

第57页，课件共92页，创作于2023年2月SSaSSe=226.11-96.13=129.98第二节

单向分组资料的方差分析

----组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析

第58页，课件共92页，创作于2023年2月方差分析F=5.91＞F0.01，即4块麦田的虫口密度间有极显著差异。F测验显著。4块麦田的虫口密度间是否两两都存在差异？---多重比较第二节

单向分组资料的方差分析

----组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析

第59页，课件共92页，创作于2023年2月不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据不足

————>分析终止。拒绝H0，接受H1,表示总体均数不全相等哪两两均数之间相等？哪两两均数之间不等？

————>需要进一步作多重比较。 第三节

多重比较(Multiplecomparisons)

第60页，课件共92页，创作于2023年2月 第三节

多重比较定义对有些试验来说，其目的不仅在于了解一组处理间总体上有无实质性差异，更在于了解哪些处理间存在真实差异，故需进一步做处理平均数间的比较。一个试验中a个处理平均数间可能有a(a-1)/2个比较，因而这种比较是复式比较亦称为多重比较。第61页，课件共92页，创作于2023年2月最小显著差数法：leastsignificantdifference，简称LSD最小显著极差法：leastsignificantrange，简称LSR

第三节

多重比较q法SSR法第62页，课件共92页，创作于2023年2月

第三节

多重比较基本思路：寻找尺子，然后丈量处理间平均数的差异第63页，课件共92页，创作于2023年2月计算程序：计算最小显著差数标准（）由所具的自由度查t值表，获得值，计算

制作多重比较表进行判断将各处理平均数按大小顺序排列，制作多重比较表。若显著；否则，则不显著。 第三节

多重比较

----最小显著差数法（LSD法）若两处理样本数相等第64页，课件共92页，创作于2023年2月

[例3-8]

试以LSD法测验各种药剂处理的苗高平均数间的差异显著性。不同药剂处理的苗高（cm） 第三节

多重比较

----最小显著差数法（LSD法）第65页，课件共92页，创作于2023年2月 第三节

多重比较

----最小显著差数法（LSD法）第66页，课件共92页，创作于2023年2月

第三节

多重比较

----最小显著差数法（LSD法）F=20.56为显著，MSe=8.17，dfe=12，由附表4，12时，t0.05（12）=2.179，t0.01（12）

=3.055故LSD0.05=2.179×2.02=4.40(cm)；LSD0.01=3.055×2.02=6.17(cm)第67页，课件共92页，创作于2023年2月

q法，也称Student-Newman-Keuls（S-N-K），是1953年提出的，根据q值的抽样分布作出统计推论。

q测验方法是将一组a个平均数由大到小排列后，根据所比较的两个处理平均数的差数是几个平均数间的极差分别确定最小显著极差值。q测验因是根据极差抽样分布原理，其各个比较都可保证同一个显著水平。第三节

多重比较

----q检验法第68页，课件共92页，创作于2023年2月计算程序：计算最小显著差数标准（）由自由度查q值表，获得值，计算

制作多重比较表进行判断将各处理平均数按大小顺序排列，制作多重比较表。若显著；若则不显著。 第三节

多重比较

----q检验法第69页，课件共92页，创作于2023年2月式中2≤p≤a，p是所有比较的平均数按大到小顺序排列所计算出的两极差范围内所包含的平均数个数(称为秩次距)，SE为平均数的标准误，可见在每一显著水平下该法有a-1个尺度值。平均数比较时，尺度值随秩次距的不同而异。

第三节

多重比较

----q检验法第70页，课件共92页，创作于2023年2月

[例3-8]

以q法测验各种药剂处理的苗高平均数间的差异显著性不同药剂处理的苗高（cm） 第三节

多重比较

----q检验法第71页，课件共92页，创作于2023年2月

第三节

多重比较

----q检验法第72页，课件共92页，创作于2023年2月查附表7q值表，当DFe=12时，p=2，3，4的值，并计算出尺度值，列于下表。

第三节

多重比较

----q检验法第73页，课件共92页，创作于2023年2月值的计算(q测验)第三节

多重比较

----q检验法单位：cm第74页，课件共92页，创作于2023年2月将平均数由大到小排序，=29cm，=23cm，=18cm，=14cm。由此可得到：第三节

多重比较

----q检验法在平均数的差值后，标注**、*或ns是否简便些？第75页，课件共92页，创作于2023年2月

不同秩次距p下的最小显著极差变幅比较大，为此，D.B.Duncan(1955)提出了新复极差法，又称最短显著极差法。该法与q法相似，其区别在于计算最小显著极差时不是查q表而是查SSR表，所得最小显著极差值随着k增大通常比q测验时减小。查得后，有第三节

多重比较

----SSR检验法第76页，课件共92页，创作于2023年2月试对[例3-8]各平均数作新复极差测验。已知=29cm，=23cm，=18cm，=14cm，MSe=8.17，n=4查附表8，得值，算得在p=2，3，4时的值，即为测验不同p时的平均数间极差显著性的尺度值。第三节

多重比较

----SSR检验法第77页，课件共92页，创作于2023年2月[例3-8]LSR值的计算(新复极差测验)第三节

多重比较

----SSR检验法第78页，课件共92页，创作于2023年2月结论：[例3-8]4个处理的苗高，除处理A与C差异不显著外，其余处理间均达显著差异，本例结果与上面介绍的q测验法相同，但q法的要比新复极差法的大。第三节

多重比较

----SSR检验法第79页，课件共92页，创作于2023年2月第三节

多重比较

----多重比较方法的选择第80页，课件共92页，创作于2023年2月a=2时，LSD、SSR、q测验的显著尺度完全相同，并且SSRa=qa。a>2时，三种方法的检验尺度不同，LSD最低，SSR居中，q最高。思考：LSD尺度与SSR、q法尺度个数使用方法有何差异？第三节

多重比较

----多重比较方法的选择第81页，课件共92页，创作于2023年2月各平均数经多重比较后，应以简洁明了的形式将结果表示出来。常用的表示方法有：(一)

列梯形表法将全部平均数从大到小顺次排列，然后算出各平均数间的差数。凡达到α=0.05水平的差数在右上角标一个“*”号，凡达到α=0.01水平的差数在右上角标“**”号，凡未达到α=0.05水平的差数则不予标记。若以列梯形表法表示，则成下表。第三节

多重比较

----多重比较结果表示方法第82页，课件共92页，创作于2023年2月[例3-7]的差异显著性(新复极差测验)该法十分直观，但占篇幅较大，特别是处理平均数较多时。因此，在科技论文中少见。

第三节

多重比较

----多重比较结果表示方法第83页，课件共92页，创作于2023年2月(二)

划线法将平均数按大小顺序排列，以第1个平均数为标准与以后各平均数比较，在平均数下方把差异不显著的平均数用横线连接起来，依次以第2，…，a-1个平均数为标准按上述方法进行。这种方法称划线法。下面就是[例5-7]用划线法标出0.01水平下平均数差异显著性结果(q法)。该法直观、简单方便，所占篇幅也较少。

第三节

多重比较

----多重比较结果表示方法第84页，课件共92页，创作于2023年2月(三)

标记字母法首先将全部平均数从大到小依次排列；然后在最大的平均数上标上字母a；并将该平均数与以下各平均数相比，凡相差不显著的，都标上字母a，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母b(向下过程)；再以该标有b的平均数为标准，与上方各个比它大的平均数比，凡不显著的也一律标以字母b(向上过程)；再以该标有b的最大平均数为标准，与以下各未标记的平均数比，凡不显著的继续标以字母b，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母c。……如此重