广西柳铁一中2022高二数学上学期期考（理）

广西柳铁一中2022高二上学期期考（数学理）命题人：宋程审题人：桂芳说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案写在答卷上，否则答题无效第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．直线过点，下列可以作为直线方向向量的是（）A． B． C． D．2．双曲线的实轴长为（）A．1 B． C． D．3．如图所示，为等边三角形，，且，则PC与平面ABC所成的角为（）A．90° B．60°C．45° D．30°4．已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是（）A．B．C．D．5．若直线与直线互相垂直，那么的值等于（） A． B． C． D．6．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（）A．B． C．D．7．将一个钢球置于由6根长度为的钢管焊接成的正四面体的钢架内,那么,这个钢球的最大体积为（）A． B． C． D．8．已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为（）A． B． C． D．9．圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程是（）A．B．C．D．10．若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A．B．C．D．12．如图所示的“双塔”形立体建筑，已知是两个高相等的正三棱锥，A、B、D、C在一个平面内。要使塔尖P、Q之间的距离为，则底边AB的长为A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．不等式，表示的平面区域的面积等于________；14．若直线AB的斜率为。将直线AB绕A点按逆时针方向旋转后，所得直线的斜率是________；15．长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，，则顶点A、B间的球面距离是；16．如图，P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，且，则点P到该椭圆左准线的距离为．三、解答题：本大题共6小题，共7分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。17．（本题满分10分）的两个顶点B、C的坐标分别为，顶点A到这两个定点的距离的平方和为24，求顶点A的轨迹方程。18．（本题满分12分）求经过点，和直线相切，且圆心在直线上的圆的方程。19．（本题满分12分）如图，已知四棱锥的底面是正方形，⊥底面，且，点、分别在侧棱、上，且（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）若，求平面与平面的所成锐二面角的大小20．（本题满分12分）如图,在直三棱柱中，,，点是的中点.（1）求证：∥平面（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求.21．（本题满分12分）双曲线C是中心在原点，焦点为的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是（1）求曲线C的方程；（2）已知点，若直线与曲线C交于不同于点E的P、R两点，且，求证：直线过一个定点，并求出定点的坐标。22．（本题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，点P（1，－1）在抛物线上。（1）求过点P的抛物线的切线方程；（2）若过点P斜率为的直线交抛物线于点A，过点P斜率为的直线交抛物线于点B，若，且∠PAB为钝角，求点A的纵坐标的取值范围。

参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题BDCDACBDDCDB二、填空题：13． 14． 15． 16．三、解答题：17．解：设点A的坐标为（x，y）…………1分由题意：…………4分即：…………7分化简得：…………10分当点A在x轴上时不能形成三角形，故点P的轨迹方程为…12分注：最后没有扣2分。18．解：因为圆心在直线上，所以可设圆心坐标为，根据题意，所以：解得：所以，圆心为，半径为。从而所求的圆的方程为19．解：（Ⅰ）因为四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，则CD⊥侧面PAD 又又……………5分（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系又PA=AD=2，则有P（0，0，2），D（0，2，0）设则有同理可得即得…………8分由而平面PAB的法向量可为故所求平面AMN与PAB所成锐二面角的大小为20．解：（1）设交点为E,连结DE，则…8分（3）由A、B关于点D对称，则所求即为点到平面的距离在中，.，又由解得：为…12分21.解：（1）设则………4分（2）①当不垂直x轴时，设由化简得：或（此时过点E，不合题意，舍去）过定点②当垂直x轴时，又，过定点综上可知，过定点22．解：（1）由题意可设抛物线的方程为,将点P（1，－1）的坐标代入抛物线方程，得，故抛物线方程为……1分 设过点的切线方程为, 联立……3分 化简得：得：………………4分 ∴过点P的抛物线的切线方程为……5分（2）直线的方程为，代入抛物线方程得设则有同理得……………6分于是……………7分