斜面上的平抛运动模型及类平抛运动模型

一.必备知识和方法斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。1．从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个规律〔推论〕(1)位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。(2)刚落到侧面时的末速度方向都平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。(3)运动的时间与初速度成正比eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＝\f(2v0tanθ,g)))。(4)位移与初速度的二次方成正比eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s＝\f(2v\o\al(2,0)tanθ,gcosθ)))。(5)当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。2．常见的模型模型方法分解速度，构建速度三角形，找到斜面倾角θ与速度方向的关系分解速度，构建速度的矢量三角形分解位移，构建位移三角形，隐含条件：斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角根本规律水平：vx＝v0竖直：vy＝gt合速度：v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))方向：tanθ＝eq\f(vx,vy)水平：vx＝v0竖直：vy＝gt合速度：v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))方向：tanθ＝eq\f(vy,vx)水平：x＝v0t竖直：y＝eq\f(1,2)gt2合位移：s＝eq\r(x2＋y2)方向：tanθ＝eq\f(y,x)运动时间由tanθ＝eq\f(v0,vy)＝eq\f(v0,gt)得t＝eq\f(v0,gtanθ)由tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)得t＝eq\f(v0tanθ,g)由tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(gt,2v0)得t＝eq\f(2v0tanθ,g)3.类平抛运动模型〔1〕模型特点：物体受到的合力恒定，初速度与恒力垂直，这样的运动叫类平抛运动。如果物体只在重力场中做类平抛运动，那么叫重力场中的类平抛运动。学好这类模型，可为电场中或复合场中的类平抛运动打根底。〔2〕.类平抛运动与平抛运动的区别做平抛运动的物体初速度水平，物体只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g；做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒力，a＝eq\f(F合,m)。〔3〕求解方法(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动。(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。〔4〕求解类平抛运动问题的关键(1)对研究对象受力分析，找到物体所受合力的大小、方向，正确求出加速度。(2)确定是研究速度，还是研究位移。(3)把握好分解的思想方法，例题中研究位移，把运动分解成沿斜面的匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动，然后将两个方向的运动用时间t联系起来。二.典型例题精讲题型一：分解速度例1：如下图，以10m/s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为θ＝30°的斜面上，g取10m/s2，这段飞行所用的时间为()A．eq\f(\r(2),3)sB．eq\f(2\r(3),3)sC．eq\r(3)s D．2s答案：C[解析]如下图，把末速度分解成水平方向的分速度v0和竖直方向的分速度vy，那么有eq\f(vy,v0)＝cot30°，又vy＝gt将数值代入以上两式得t＝eq\r(3)s。题型二：分解位移例2：如下图，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，假设小球到达斜面的位移最小，那么飞行时间t为(重力加速度为g)()A．v0tanθ B．eq\f(2v0tanθ,g)C．eq\f(v0cotθ,g) D．eq\f(2v0cotθ,g)答案：D[解析]如下图，要使小球到达斜面的位移最小，那么小球落点与抛出点的连线应与斜面垂直，所以有tanθ＝eq\f(x,y)，而x＝v0t，y＝eq\f(1,2)gt2，解得t＝eq\f(2v0cotθ,g)。题型三：分解速度与分解位移相结合例3：如下图，小球由倾角为45°的斜坡底端P点正上方某一位置Q处自由下落，下落至P点的时间为t1，假设小球从同一点Q处以速度v0水平向左抛出，恰好垂直撞在斜坡上，运动时间为t2，不计空气阻力，那么t1︰t2等于()A．1︰2B．eq\r(3)︰1C．1︰eq\r(2) D．1︰eq\r(3)答案：B[解析]小球自Q处自由下落，下落至P点，那么有H＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)；小球自Q处水平向左抛出，恰好垂直撞在斜坡上，如下图，那么有vy＝v0＝gt2，h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)，x＝v0t2，由几何关系知x＝2h，H＝x＋h，联立解得t1︰t2＝eq\r(3)︰1，故B正确。题型四：类平抛运动例4：(多项选择)一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，以下说法正确的选项是()A．小球的运动轨迹为抛物线B．小球的加速度为gsinθC．小球从A处到达B处所用的时间为eq\f(1,sinθ)eq\r(\f(2h,g))D．小球到达B处的水平方向位移大小s＝v0eq\r(\f(2h,g))答案：ABC。解析：小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度方向垂直，做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确；根据牛顿第二定律知，小球的加速度a＝eq\f(mgsinθ,m)＝gsinθ，故B正确；小球在沿加速度方向上的位移为eq\f(h,sinθ)，根据eq\f(h,sinθ)＝eq\f(1,2)at2，解得t＝eq\f(1,sinθ)eq\r(\f(2h,g))，故C正确；小球在沿初速度方向的位移：x＝v0t＝eq\f(v0,sinθ)eq\r(\f(2h,g))，小球在沿加速度方向的位移的水平分位移：y＝eq\f(h,sinθ)cosθ＝eq\f(h,tanθ)，那么小球在水平方向的总位移：s＝eq\r(x2＋y2)>eq\f(v0,sinθ)eq\r(\f(2h,g))＞v0eq\r(\f(2h,g))，故D错误。题型五：空气阻力不能忽略的曲线运动例5．(·全国卷Ⅱ)(多项选择)如图a，在跳台滑雪比赛中，运发动在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运发动先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v­t图象如图b所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。那么()A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大答案BD解析v­t图象中图线与t轴包围的面积表示位移的大小，第二次滑翔过程中v­t图线与t轴所围面积比第一次的大表示在竖直方向上的位移比第一次的大，A错误；由图a知落在雪道上时的水平位移与竖直位移成正比，再由A项分析知，B正确；从起跳到落到雪道上，第一次滑翔过程中竖直方向的速度变化比第二次的大，时间比第二次的短，由a＝eq\f(Δv,Δt)，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，C错误；v­t图象的斜率表示加速度，竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上的加速度比第一次的小，设在竖直方向上所受阻力为f，由mg－f＝ma，可得第二次滑翔在竖直方向上受到的阻力比第一次的大，D正确。三.举一反三，稳固练习1.横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如下图。它们的竖直边长都是底边长的一半。现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其落点分别是a、b、c。以下判断正确的选项是()A．落在a点的小球落在斜面上的速度方向与斜面平行B．三小球比拟，落在c点的小球飞行时间最长C．三小球比拟，落在b点的小球飞行过程速度变化最快D．无论小球抛出时初速度多大，落到斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直2.(·全国卷Ⅲ·17)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和eq\f(v,2)的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的()A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍3.如下图，小球从斜面的顶端A处以大小为v0的初速度水平抛出，恰好落到斜面底部的B点，且此时的速度大小vB＝eq\r(\f(13,4))v0，空气阻力不计，该斜面的倾角为()A．60° B.45°C.37° D.30°4.如下图，D点为固定斜面AC的中点，在A点先后分别以初速度v01和v02水平抛出一个小球，结果小球分别落在斜面上的D点和C点。空气阻力不计。设小球在空中运动的时间分别为t1和t2，落到D点和C点前瞬间的速度大小分别为v1和v2，落到D点和C点前瞬间的速度方向与水平方向的夹角分别为θ1和θ2，那么以下关系式正确的选项是()A.eq\f(t1,t2)＝eq\f(1,2)B.eq\f(v01,v02)＝eq\f(1,2)C.eq\f(v1,v2)＝eq\f(1,\r(2))D.eq\f(tanθ1,tanθ2)＝eq\f(1,\r(2))5．甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持拍的拍面与水平方向成45°角，乙同学持拍的拍面与水平方向成30°角，如下图．设乒乓球击打拍面时速度方向与拍面垂直，且乒乓球每次击打球拍前、后的速度大小相等，不计空气阻力，那么乒乓球击打甲的球拍的速度大小v1与乒乓球击打乙的球拍的速度大小v2的比值为(C)A.eq\f(\r(6),3)B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(3),3)6.如下图，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端c处．今在c点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的三等分点d处．假设不计空气阻力，以下关系式正确的选项是()A．ta＝eq\f(\r(3),2)tbB．ta＝3tbC．va＝eq\f(\r(3),2)vbD．va＝eq\f(3,2)vb7.为践行新形势下的强军目标，在某次军事演习中，水平匀速飞行的无人机在斜坡底端A的正上方投弹，炸弹垂直击中倾角为θ＝37°、长为L＝300m的斜坡的中点P，如图，假设sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，那么试估算无人机距A点的高度h和飞行的速度v分别为()A．h＝170mv＝30m/sB．h＝135mv＝40m/sC．h＝80mv＝30m/sD．h＝45mv＝40m/s8.(多项选择)(·市上学期期末)如图，在斜面顶端以不同的初速度水平抛出几个小球，所有小球均落在斜面上．忽略空气阻力，以下说法正确的选项是()A．所有小球的竖直位移与水平位移之比都相等B．小球的运动时间与初速度的平方成正比C．所有小球落到斜面上时的速度方向都相同D．小球从抛出到离斜面最远的过程中，竖直位移为总竖直位移的一半9.如下图，A、B两质点沿水平方向以相同的速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计阻力，那么以下关于P1、P2沿x轴方向相对抛出点距离远近的关系的判断正确的选项是()A．P1较远B.P2较远C．P1、P2等远D.A、B两项都有可能10.如下图，A、B两质点以相同的水平速度v抛出，A在竖直平面内运动，落地点在P1；B在光滑的斜面上运动，落地点在P2，P1、P2在同一水平面上。不计空气阻力，那么以下说法中正确的选项是()A．A、B的运动时间相同B．A、B沿x轴方向的位移相同C．A的轨迹是抛物线，B的轨迹是椭圆D．A、B落地点的速率相同11.如下图，在倾角为θ的斜面顶端A处以速度v0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求：(1)小球从A运动到B所需的时间；(2)从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离到达最大？四.举一反三，稳固练习参考答案1.横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如下图。它们的竖直边长都是底边长的一半。现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其落点分别是a、b、c。以下判断正确的选项是()A．落在a点的小球落在斜面上的速度方向与斜面平行B．三小球比拟，落在c点的小球飞行时间最长C．三小球比拟，落在b点的小球飞行过程速度变化最快D．无论小球抛出时初速度多大，落到斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直答案：D。解析：设落在a点的小球落在斜面上的速度方向与水平方向夹角为θ，位移方向与水平方向夹角为α，根据平抛运动的推论可知，tanθ＝2tanα，即落在a点的小球落在斜面上的速度方向不可能与斜面平行，A错误；根据平抛运动规律可知，三小球飞行时间t＝eq\f(\r(2h),g)，落在a点的小球竖直方向下落距离最大，所以落在a点的小球飞行时间最长，B错误；三小球都做平抛运动，速度变化快慢(加速度)均相同，C错误；通过A的分析可知，落在a点的小球不可能与斜面垂直，对于落在b、c点的小球而言，落在斜面上时竖直方向分速度为gt，水平方向分速度为v0，假设落到斜面上的瞬时速度能与斜面垂直，那么eq\f(v0,gt)＝tanα＝eq\f(1,2)，对应的竖直方向的位移为y＝eq\f(1,2)gt2，水平方向的位移为x＝v0t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)gt))t＝y，显然这是不可能满足的，因此D正确。2.(·全国卷Ⅲ·17)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和eq\f(v,2)的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的()A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍答案A解析如下图，可知：x＝vt，x·tanθ＝eq\f(1,2)gt2那么vy＝gt＝2tanθ·v那么落至斜面的速率v落＝eq\r(v2＋v\o\al(y2,))＝veq\r(1＋4tan2θ)，即v落∝v，甲、乙两球抛出速度为v和eq\f(v,2)，那么可得落至斜面时速率之比为2∶1.3.如下图，小球从斜面的顶端A处以大小为v0的初速度水平抛出，恰好落到斜面底部的B点，且此时的速度大小vB＝eq\r(\f(13,4))v0，空气阻力不计，该斜面的倾角为()A．60° B.45°C.37° D.30°答案C解析根据平行四边形定那么知，小球落到斜面底端时竖直分速度为：vy＝eq\r(v\o\al(2,B)－v\o\al(2,0))＝eq\r(\f(13,4)v\o\al(2,0)－v\o\al(2,0))＝eq\f(3,2)v0，那么小球运动的时间为：t＝eq\f(vy,g)＝eq\f(3v0,2g)，设该斜面的倾角为θ，那么有：tanθ＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq\f(gt,2v0)＝eq\f(3,4)，那么θ＝37°，故A、B、D错误，C正确。4.如下图，D点为固定斜面AC的中点，在A点先后分别以初速度v01和v02水平抛出一个小球，结果小球分别落在斜面上的D点和C点。空气阻力不计。设小球在空中运动的时间分别为t1和t2，落到D点和C点前瞬间的速度大小分别为v1和v2，落到D点和C点前瞬间的速度方向与水平方向的夹角分别为θ1和θ2，那么以下关系式正确的选项是()A.eq\f(t1,t2)＝eq\f(1,2) B.eq\f(v01,v02)＝eq\f(1,2)C.eq\f(v1,v2)＝eq\f(1,\r(2)) D.eq\f(tanθ1,tanθ2)＝eq\f(1,\r(2))答案C解析设斜面的倾角为α，可得eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq\f(gt,2v0)＝tanα，所以eq\f(gt1,2v01)＝eq\f(gt2,2v02)，小球先后两次在竖直方向下降的高度之比为1∶2，由h＝eq\f(1,2)gt2知eq\f(t1,t2)＝eq\f(1,\r(2))，求得eq\f(v01,v02)＝eq\f(1,\r(2))，再结合速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的两倍，可得eq\f(tanθ1,tanθ2)＝1，那么eq\f(v1,v2)＝eq\f(v01,v02)＝eq\f(1,\r(2))，故C正确，A、B、D错误。5．甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持拍的拍面与水平方向成45°角，乙同学持拍的拍面与水平方向成30°角，如下图．设乒乓球击打拍面时速度方向与拍面垂直，且乒乓球每次击打球拍前、后的速度大小相等，不计空气阻力，那么乒乓球击打甲的球拍的速度大小v1与乒乓球击打乙的球拍的速度大小v2的比值为(C)A.eq\f(\r(6),3) B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),3)答案：C解析：将乒乓球击打球拍时的速度分解为水平方向和竖直方向，那么有乒乓球击打甲的球拍和击打乙的球拍的水平方向分速度大小相等，由v1sin45°＝v2sin30°，解得v1v2＝eq\f(\r(2),2)，选项C正确．6.如下图，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端c处．今在c点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的三等分点d处．假设不计空气阻力，以下关系式正确的选项是()A．ta＝eq\f(\r(3),2)tb B．ta＝3tbC．va＝eq\f(\r(3),2)vb D．va＝eq\f(3,2)vb答案：C解析：此题考查平抛运动与斜面体的结合问题．由于a、b两球下降的高度之比为3：1，根据h＝eq\f(1,2)gt2可知下落时间t＝eq\r(\f(2h,g))，那么两小球运动的时间关系是ta＝eq\r(3)tb，故A、B错误；因为两球水平位移之比为3：2，由v0＝eq\f(x,t)得va＝eq\f(\r(3),2)vb，故C正确，D错误．7.为践行新形势下的强军目标，在某次军事演习中，水平匀速飞行的无人机在斜坡底端A的正上方投弹，炸弹垂直击中倾角为θ＝37°、长为L＝300m的斜坡的中点P，如图，假设sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，那么试估算无人机距A点的高度h和飞行的速度v分别为()A．h＝170mv＝30m/sB．h＝135mv＝40m/sC．h＝80mv＝30m/sD．h＝45mv＝40m/s答案A解析根据速度的分解有：tanθ＝eq\f(v,vy)＝eq\f(v,gt)，x＝eq\f(L,2)cos37°＝vt，联立解得t＝4s，v＝30m/s；那么炸弹竖直位移为y＝eq\f(1,2)gt2＝80m，故无人机距A点的高度h＝y＋eq\f(L,2)sinθ＝170m，应选A.8.(多项选择)(·市上学期期末)如图，在斜面顶端以不同的初速度水平抛出几个小球，所有小球均落在斜面上．忽略空气阻力，以下说法正确的选项是()A．所有小球的竖直位移与水平位移之比都相等B．小球的运动时间与初速度的平方成正比C．所有小球落到斜面上时的速度方向都相同D．小球从抛出到离斜面最远的过程中，竖直位移为总竖直位移的一半答案AC解析所有小球都落在斜面上，所以所有小球的位移方向相同，设斜面的倾角为θ，所有小球的竖直位移与水平位移之比都等于tanθ，故A正确；小球水平方向做匀速直线运动：x＝v0t，竖直方向做自由落体运动：y＝eq\f(1,2)gt2，所以eq\f(y,x)＝eq\f(gt,2v0)＝tanθ，解得：t＝eq\f(2v0tanθ,g)，故B错误；平抛运动在某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，由于所有小球的位移方向相同，所以所有小球落到斜面上时的速度方向都相同，故C正确；小球在竖直方向的总位移为y＝eq\f(1,2)gt2＝eq\f(1,2)g(eq\f(2v0tanθ,g))2＝eq\f(2v\o\al(02,)tan2θ,g)，小球从抛出到离斜面最远时，速度方向与斜面平行，此时竖直方向的速度vy＝v0tanθ，位移为y′＝eq\f(v\o\al(y2,),2g)＝eq\f(v\o\al(02,)tan2θ,2g)，所以小球从抛出到离斜面最远的过程中，竖直位移为总竖直位移的eq\f(1,4)，故D错误．9.如下图，A、B两质点沿水平方向以相同的速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计阻力，那么以下关于P1、P2沿x轴方向相对抛出点距离远近的关系的判断正确的选项是()A．P1较远B.P2较远C．P1、P2等远D.A、B两项都有可能答案B解析A质点水平抛出后，只受重力，做平抛运动，在竖直方向有h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)。B质点水平抛出后，受重力和支持力，在斜面平面内所受合力为mgsinθ，大小恒定且与初速度方向垂