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文档简介

第六章欧几里得空间内积的定义与性质向量的模、单位向量向量的夹角正交组、标准正交组正交基、标准正交基施密特正交化方法正交矩阵、正交变换定义1内积一、内积的定义及性质欧氏空间的基本性质：性质1.对于任意的α

V，都有证明：性质2.α为V中某个向量，若对于任意的β

V，都有证明：若α≠0，那么取β＝α与题设矛盾所以有α＝0定义2

对于任意向量α

V，都有实数二、向量的长度及性质定义向量α的长度(或者模)为模为1的向量称为单位向量。只有0向量的模为0例如，在欧氏空间Rn中，向量的模为在欧氏空间R2中，向量(1,0),(0,1),是单位向量。对于任意向量α

Rn,kR，我们有特别是，当是一个单位向量定理1.对于欧氏空间的任意两个向量α，β恒有或者证明：若α,β线性相关，则有α＝0,或者β＝0,或者α＝kβ

在上述情况下，容易证明题设的等号成立。若α,β线性无关，则对于任意kR,都有这是一个关于k的一元二次多项式，因为上述不等式成立的条件是即或者证明：由定理1还有，当α≠0，β≠0时，我们有定义为向量α,β的夹角当向量α,β的夹角等于

/2时，称α,β正交，此时有解例.在欧氏空间R2中，向量(1,0)与(0,1)相互正交，向量亦正交例.在欧氏空间中，若向量都正交则的任意线性组合正交证明：已知＝0的任意线性组合正交所以1正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．三、正交向量组的概念及求法例如：在欧氏空间Rn中，向量组是正交向量组证明2正交向量组的性质两端求α1的内积又例1

已知三维向量空间中两个向量正交，试求使构成三维空间的一组正交基.3向量空间的正交基即解之得由上可知构成三维空间的一组正交基.则有解５规范正交基（标准正交基）例如

同理可知问题：如果已知欧氏空间Vn的一组基（可能不是标准基），是否可以求得Vn的一组标准基？（1）正交化，取，６求规范正交基的方法（2）单位化，取例２

用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解

先正交化，取施密特正交化过程再单位化，得规范正交向量组如下例３解再把它们单位化，取例４解把基础解系正交化，即合所求．亦即取证明定义4定理四、正交矩阵与正交变换

为正交矩阵的充要条件是的列向量都是单位向量且两两正交．性质

正交变换保持向量的长度不变．证明例５

判别下列矩阵是否为正交阵．定义5

若为正交阵，则线性变换称为正交变换．解所以它不是正交矩阵．考察矩阵的第一列和第二列，由于所以它是正交矩阵．由于例６解1．将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交

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