数学思想的渗透的范例教学微积分基本公式

微积分基本公式教课章节：定积分——§5.2微积分基本公式教课目的：掌握微积分基本公式.教课要求：（1）学会用变限积分的方法结构所需函数；3）能运用变限积分性质解决问题；3）深刻领会牛顿-莱布尼兹公式。教课要点：变限积分，牛顿-莱布尼兹公式.教课过程：前言b定积分f(x)dx的计算，当当前为止我们只好由定义计算极限a在知f(x)可积状况下按某一方式区分和选用后计算nf(i)xi，再求极限。往常i1nf(i)xi很难计算，即便在平分区间和选用界限点状况下亦是这样。例i1在直线运动的速度为v(t)Ca,b运动的行程为s(t)，注意到s(t)v(t)亦即s(t)是v(t)的一个原函数。由定积分的定义可知ba,b时间段的位移，v(t)dt表示直线运动在a故亦即“该定积分等于被积函数的一个原函数在积分区间上的增量”。这拥有广泛性，进而很多定积分的计算就能够转变为不定积分的计算，而防止了计算烦人的注：这表现了数学的研究方法：察看-猜想-证明-应用。一．变限积分（一）变（上）限制积分一般地，若函数f(x)在a,b上可积,则可定义a,b上的一个函数称它为变上限的定积分，或变上限函数。可积函数用定积分的方法------变（上）限的定积分法能够结构函数：且x1dt，则F(x)是以y1为曲边，以1,x为底边的曲边梯形的“面例F(x)t1t积”。明显（1）F(x)在1,有定义，且（2）当0x1时F(x)0;当x1时F(x)0;当x1时F(x)0。（3）F(x)在1,严格增，故有反函数。y1上的一个函数事实上用变下限的定积分法也可定义ya,bt更一般的若x,x在[c,d]连续，且值域在a,b内，则用变上下限的定积分法也可定义[c,d]函数o1xt注：函数是微积分的研究对象，怎样已知函数结构新函数是一个重要的问题，以前我们有初等方法——四则运算及切合的方法、极限的方法——求导，今又实用积分变限的方法事实上也是极限的方法来结构函数。这是一个极为重要数学思想方法，并且按此方法函数获取了几何意义，表现剖析与几何互相浸透。（二）变限函数性质我们研究函数F(x)xf(t)dt性质a定理1若函数f(x)在a,b上连续,则变上限函数F(x)xf(t)dt在a,b可a导，且它的导函数证明取x使得xx[a,b]，则有limf( )xlimf( )f(x)，此中介于x与xx与之间。x0xx0因为F(x)xf(t)dt可导，自然F(x)在a,b上也连续。定理表示连续函数的原函a数是存在的，()x()dt就是其一个原函数。a例函数F(x)x1dt由定理1可知F(x)是1一个原函数，由不定积分可知F(x)形1tx如lnxc，又由F(1)0可知F(x)lnx；又F(x)lnx有反函数yex，故e2有几何意义：当如图曲边梯形面积为2时，x的取值。注：利用变限积分思想结构函数成功给出连续函数原函数的存在性，并且把定积分f(x)dxnlimf(xx)f(x)这两个完整不一样的极ba0x0xi1限联系起来，表现数学对希望在不一样事物之间成立联系的思想。比如又表此刻积分中值定理亦是微分中值定理此中F(x)xf(t)dt，且有F(x)f(x)。axtf(t)dt例1设fx在0,内连续，且fx0，证明F(x)0在0,xf(t)dt0内为单一递加函数。xf(x)xxtf(t)dtf(x)xf(t)dtf(t)dtf(x)xt证明F(x)000x2x2f(t)dtf(t)dt00f(x)(x)f( )x，此中(0x)，故F(x)在0,内为单一递加函数。x02f(t)dt0例2设f(x),g(x)在a,b上连续，且g(x)0，试证起码存在一点(a,b)使bf(x)dxf( )abg( )g(x)dxa证明法一令F(x)xbxbg(x)dxf(x)dxf(x)dxg(x)dx，aaaa因f(x),g(x)在a,b上连续，则F(x)在a,b可导，且F(a)0F(b)，故由罗尔定理知少存在一点(a,b)使F()0,即g()bb0（*）f(x)dxf( )g(x)dxaa又b)d( )0，此中(a,b)，故由（*）可得(xbaa法二xx令F(x)f(t)dt,G(x)g(t)dt,则明显有F(x)、G(x)在a,b可导，又aaG(x)g(x)0,故由Cauchy定理知起码存在一点(a,b)使即二牛顿-莱布尼兹公式定理2（牛顿-莱布尼兹公式）设f(x)在a,b上连续，F(x)是f(x)在a,b上的任一个原函数，则证明由定理1知xf(t)dt也是f(x)在a,b上的一个原函数，故a进而有b，()a()dF(b)f(t)dtcFftcaa故注：在未有牛顿-莱布尼兹公式以前要计算像1x2dx此刻看来极为简单问题也耗0费阿基米德这样天才的许多心血。而有牛顿-莱布尼兹公式后计算一大类定积分bfxdx，转变为求fx的原函数，亦即求fxdx，而计算fxdx有一系列计算方a法，表现数学对算法的追求，表现了人类智慧的光荣，进而定积分n中烦人的和式limf(i)xi及极限运算。例0i11niesinxcosxdxlimsin困难，此刻0encosi1n0i1nn在牛顿-莱布尼兹公式以前，微分和积分是各自独立发展的，牛顿-莱布尼兹公式向我们展现微分学中微分的逆运算不定积分和积分学中的积分有这样密切(这也是为什么我们把微分学中微分的逆运算称为不定积分的原由)，微分和积分不再各自觉展而是一致在一同成为数学剖析，表现了数学对事物内在联系和一致的追求。例3计算（1）3dx2,（2）2cos5xsinxdx，11x0（3）e21（4）11dx。xxdx，exlnx0解（1）3dxarctanx13arctan3arctan(1)( )711x23412（2）2cos5xsinxdxcos6x|021066e212（3）dxlnlnx|eeln2exlnx125（4）xx1dxx1205

23|10284x12315利用牛顿-莱布尼兹公式公式我们能够获取变限函数的求导公式：设f(x)在a,b上连续，x,x在[c,d]可导，且值域在a,b内，则(x)f(t)dt可导，且(x)特别地dbf(x)，dxf(t)dtxd(x)dxf(t)dtf[(x)](x)，a事实上设F(x)是f(x)一个原函数，则故1et2dt例4求limcosxx2x0解令F(x)

et2dt,则F(x)是连续函数，故cosx1et2dt0型，故由洛必达法例可得即limcosxx2是x00例5确立常数x解limln(1x0b

a,b,c的值,使xt2)dtln(1100t2)dtlimbaxsin