07-刚体的简单运动

第1节刚体的平行移动第2节刚体绕定轴的转动第3节转动刚体内各点的速度与和加速度第7章刚体的简单运动1第1节刚体的平行移动1.定义刚体在运动过程中，体内任意一直线始终与其原来位置保持平行，则称刚体作平行移动，简称平动。直线平动——平动刚体内各点的轨迹为直线曲线平动——平动刚体内各点的轨迹为曲线参见动画：火车轮参见动画：平动刚体加速度b2

动画第7章

刚体的基本运动刚体的平移参见动画：刚体的平移32.定理刚体平动时，体内各点的运动轨迹形状均相同，且在同一瞬时体内各点的速度和加速度均相同。刚体平动的问题可归结为点的运动问题来处理。结论:参见动画：平动刚体速度参见动画：平动刚体加速度4荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为l，长度单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为，其中t为时间，单位为s；转角φ0的单位为rad，试求当t=0和t=2s时，荡木的中点M的速度和加速度。例题1

刚体的基本运动

例题OABO1O2φll（+）M5

O1A=O2B=l

O1A

O2BAB

O1O2

荡木作平移

vM=vA

=vB

，aM=aA

=aB

又点A在半径为l的圆弧上运动。如以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为解：例题1

刚体的基本运动

例题OABO1O2φll（+）M对荡木作运动分析6例题1

刚体的基本运动

例题OABO1O2φll（+）M代入t=0和t=2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：t(s)φ(rad)φ0002v(m/s)(水平向右)000at(m/s2)an(m/s2)(铅直向上)7第2节刚体绕定轴的转动1.定义刚体运动时，体内有一条直线保持不动，而整个刚体绕此直线旋转，则称刚体作定轴转动。不动直线称为转轴（轴线、轴）不在转轴上的点作圆周运动参见动画：主轴参见动画：定轴转动82.运动方程(转动方程)转角的正负由右手螺旋法则确定。即从Oz轴正端俯视，自固定平面N0至动平面N，若是逆时针转动，则角

为正值，反之，则角

为负值。

=f（t）单位：弧度（rad）3.角速度定义：刚体转动的角速度等于转角对时间的一次导数。物理意义：刚体转动的角速度表示刚体转动的快慢和方向。单位：弧度/秒（rad/s）与转速的关系：

=

n/30转速n的单位:r/min94.角加速度物理意义：说明了角速度变化的快慢如

、

同号刚体作加速转动如

、

异号刚体作减速转动单位：弧度/秒2（rad/s2）定义：刚体转动的角加速度等于角速度对时间的一次导数，转角对时间的二次导数

=

k

=

k角速度矢量参见动画：角速度矢量b参见动画：角速度矢量a105.

几种特殊运动匀速转动匀变速转动11导杆机构如图所示。已知曲柄OA以匀角速度ω绕O轴转动，其转动方程φ=ωt，通过滑块带动摇杆O1B绕O1轴摆动。设OA=r，OO1=l=2r

，求摇杆O1B的转动方程。假设任意时刻，机构处于图示位置，由几何关系可知：

解：例题2

刚体的基本运动

例题12第3节转动刚体内各点的速度和加速度1.运动方程S=R

2.点的速度大小:

v=R

转动半径与刚体角速度的乘积方向：沿着轨迹的切线方向(即与转动半径R垂直)，指向与

一致参见动画：定轴转动参见动画：转动速度分布133.点的加速度

切向加速度 大小：at=R

转动半径与刚体转动的角加速度的乘积 方向：沿着轨迹的切线方向，指向与

一致法向加速度 大小：an=R

2

方向：指向转轴(即圆心)点M全加速度的大小

点M全加速度的方向参见动画：转动加速度分布144.结论：在每一瞬时,转动刚体上各点的速度和加速度的大小与到转轴的距离成正比;在每一瞬时,转动刚体上各点的加速度与半径间的夹角相同。15

动画第5章

刚体的基本运动平动和定轴转动刚体的速度参见动画：平动和定轴转动刚体的速度16

动画第5章

刚体的基本运动用矢积表示点的速度v=

r参见动画：用矢积表示点的速度17

动画第5章

刚体的基本运动用矢积表示点的加速度at

=

ran

=

v参见动画：用矢积表示点的加速度18已知如图所示的摆绕固定水平轴O的转动方程是，式中φ表示摆对铅直线的偏角，φ0为最大偏角；T表示摆的周期。已知摆的重心C到轴O的距离为l，试求在初瞬时和经过平衡位置(φ=0)时重心的速度和加速度。CC0lC1Oφ0φ例题3

刚体的基本运动

例题19CC0lC1Oφ0φ将转动方程对时间求导，得摆的角速度和角加速度

以t=0代入上式，得摆在初瞬时的角速度和角加速度此时重心C0的速度和加速度分别为此瞬时C0点的总加速度a0等于切向加速度，方向指向角φ减小的一边。a0解：例题3

刚体的基本运动

例题20CC0lC1Oφ0φ此时重心C1的速度和加速度分别为此瞬时C0点的总加速度a1等于法向加速度方向指向转轴O。得摆在初瞬时的角速度和角加速度经过平衡位置φ=0的瞬时，即或av1a1=a1n因而代入例题3

刚体的基本运动

例题21sBAOMvR半径R=20cm的滑轮可绕水平轴O转动，轮缘上绕有不能伸长的细绳，绳的另一端与滑轮固连，另一端则系有重物A，设物体A从位置B出发，以匀加速度a=4.9

m/s2向下降落，初速v0=4m/s，求当物体落下距离s=2m时轮缘上一点M

的速度和加速度。例题4

刚体的基本运动

例题22根据v2–v02=2as，得M点的速度M点的法向加速度M点的切向加速度

M点的总加速度解:sBAOMvR例题4

刚体的基本运动

例题sBAOMvR23如图a，b分别表示一对外啮合和内啮合的圆柱齿轮。已知齿轮Ⅰ的角速度是ω1

，角加速度是α1，试求齿轮Ⅱ的角速度ω2和角加速度α2

，齿轮Ⅰ和Ⅱ的节圆半径分别是R1和R2，齿数分别是z1和z2。ⅠⅡO1O2ⅠⅡO1O2（a）（b）例题5

刚体的基本运动

例题24ⅠⅡO1O2ⅠⅡO1O2（a）（b）例题5

刚体的基本运动

例题

设A，B是齿轮Ⅰ，Ⅱ节圆上相啮合的点。解：vAvBABvAvBABα1α2ω2ω1ω1ω2但故得转向分别如图所示。传动比25滑轮的半径r=0.2m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A（如图），已知滑轮绕轴O的转动规律φ=0.15t3，其中t以s计，φ

以rad计，试求t=2s时轮缘上M点和物体A的速度和加速度。AOαωM例题6

刚体的基本运动

例题26AOαωM例题6

刚体的基本运动

例题首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角